RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Ex 11.2

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Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 10
Subject	Maths
Chapter	Chapter 11
Chapter Name	बिन्दु पथ
Exercise	Exercise 11.2
Number of Questions Solved	10
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 11 समरूपता Ex 11.2

प्रश्न 1.
∆ABC की भुजाएँ AB व AC पर क्रमशः D व E बिन्दु इस प्रकार (RBSESolutions.com) स्थित हैं कि DE || BC हो तो
(i) यदि AD = 6 सेमी., DB = 9 सेमी. और AE = 8 सेमी. हो तो || AC का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि \(\frac{A D}{D B}=\frac{4}{13}\) और AC = 20.4 सेमी. हो तो EC का मान ज्ञात कीजिए।
(iii) \(\frac{A D}{D B}=\frac{7}{4}\) और AE = 6.3 सेमी. हो तो AC का मान ज्ञात कीजिए।
(iv) यदि AD = 4x – 3, AE = 8x – 7, BD = 3 – 1 और CE = 5x – 3 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) ∆AIBC में DE || BC दिया गया है अतः
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) (आधारभूत अनुपातिकता प्रमेय से)
या \(\frac{6}{9}=\frac{8}{E C}\)
∴ EC = 9 × 8 = 3 × 4 = 12 सेमी.
∴ AC = AE + EC
= 8 + 12
= 20 सेमी.

(ii) ∆ABC में DE || BC दिया गया (RBSESolutions.com) है अतः
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}-\mathrm{AE}}\)
या, \(\frac{4}{13}=\frac{A E}{20.4-A E}\)
या, 13AE= 4 (20.4 – AE):
या, 13AE = 4 × 20.4 – 4AE
या, 13AE + 4 AE = 4 × 20.4
या, 17AE= 4 × 20.4
\(\therefore \quad \mathrm{AE}=\frac{4 \times 20.4}{17}\) = 4 × 1.2 = 4.8 सेमी.
∴ AE = 4.8 सेमी.
∴ EC = AC – AE
= 20.4 – 4.8 = 15.6 सेमी.

(iii) AABC में DE || BC दिया गया है अतः
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
या \(\frac{7}{4}=\frac{6.3}{\mathrm{EC}}\)
17EC = 4 × 6.3
\(\therefore \quad \mathrm{EC}=\frac{4 \times 6.3}{7}\) = 4 × 9 = 3.6 सेमी.
∵ AC = AE + EC = 6.3 + 3.6 = 9.9 सेमी. उत्तर

(iv) AABC में DE || BC दिया गया है (RBSESolutions.com) अतः
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) (आधारभूत अनुपातिकता प्रमेय से)
प्रश्नानुसार \(\frac{4 x-3}{3 x-1}=\frac{8 x-7}{5 x-3}\)
या (4 – 3) (5x – 3) = (3x – 1) (8Y – 7)
या 20 – 15 – 12x + 9 = 24 – 8x – 21 + 7
या 24 – 20 – 29x + 27x + 7 – 9 = 0
या 4 – 2x – 2 = 0
या 4 – 4x + 2 – 2 = 0
4x (x – 1) + 2 (x – 1) = 0
(x – 1) (4x + 2) = 0
∴ या तो x – 1 = 0
∴ x = 1
या 4x + 2 = 0
4x = – 2
\(x=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore \quad x=-\frac{1}{2}\)

प्रश्न 2.
∆ABC की भुजाएँ AB एवं AC पर क्रमशः D व E दो बिन्दु स्थित हैं, (RBSESolutions.com) निम्न प्रश्नों में दिये गये मानों के माध्यम से DE || BC होने एवं नहीं होने की जानकारी दीजिए।
(i) AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
(ii) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. तथा AE = 1.8 सेमी.
(iii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.
(iv) AD = 5.7 सेमी., BD = 9.5 सेमी., AE = 3.3 सेमी. तथा EC = 5.5 सेमी.
हल:
(i) दिया है कि AABC की भुजाओं AB एवं AC पर क्रमश: D व E दो बिन्दु स्थित हैं अतः
AB = 12 सेमी., AD = 8 सेमी., AE = 12 सेमी. और AC = 18 सेमी.
हम जानते हैं कि
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)

∵ BD=”AB – AD = 12 – 8 = 4 सेमी.
तथा EC = AC – AE = 18 – 12 = 6 सेमी.
\(\therefore \quad \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{8}{4}=2\) सेमी. …………….(1)
तथा \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{12}{6}=2\) सेमी. …………………(2)
(1) व (2) से \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
DE || BC
(आधारभूत आनुपातिको प्रमेय के विलोम से)

(ii) AB = 5.6 सेमी., AD = 1.4 सेमी., AC = 9.0 सेमी. (RBSESolutions.com) तथा AE = 1.8 सेमी.

∴ DE, BC के समान्तर नहीं है।

(iii) AD = 10.5 सेमी., BD = 4.5 सेमी., AC = 4.8 सेमी. तथा AE = 2.8 सेमी.

∴ DE, BC के समान्तर नहीं है।

(iv) AD = 5.7 सेमी., BD = 9.5 सेमी., AE = 3.3 सेमी., EC = 5.5 सेमी.

आधारभूत आनुपातिक प्रमेय के विलोम से
⇒ DE || BC
⇒ DE भुजा BC के समान्तर है।

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में OA, OB और 0C पर क्रमशः L, M एवं N बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं (RBSESolutions.com) कि LM || AB तथा MN || BC है तो दर्शाइए LN ॥ AC है।

हल:
दिया है-
∆ABC में बिन्दु L, M एवं N क्रमशः OA, OB तथा OC भुजाओं पर (RBSESolutions.com) इस प्रकार स्थित हैं कि
LM || AB तथा MN || BC.
सिद्ध करना है-
LN || AC
उपपत्ति-
∆OAB में LM || AB (दिया है)

प्रश्न 4.
∆ABC में AB व AC भुजाओं पर क्रमशः D और E बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि BD = CE है। (RBSESolutions.com) यदि ZB =∠C हो तो दर्शाइए DE || BC।
हल:
∆ABC में दिया है कि ∠B = ∠C

प्रश्न 5.
आकृति में DE || BC और CD || EF हो तो सिद्ध (RBSESolutions.com) कीजिए AD² = AB × AF

हल:
ΔABC में दिया है कि DE || BC हैं।

प्रश्न 6.
आकृति में यदि EF || DC || AB हो तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathbf{A} \mathbf{E}}{\mathbf{E} \mathbf{D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F} \mathbf{C}}\)

हल:
A और C को मिलाएँ जो EF को G पर प्रतिच्छेद (RBSESolutions.com) करे (देखिए आकृति)।
AB || DC और EF || AB (दिया है)

इसलिए EF || DC (एक ही रेखा के समान्तर रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं) अब ΔADC में,
EG || DC (PTF EF || DC)
अतः \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{GC}}\) (प्रमेय 6.1 के अनुसार) …………(i)
इसीप्रकार ΔCAB में

प्रश्न 7.
ABCD पर समान्तर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा BC पर कोई बिन्दु P स्थित है। (RBSESolutions.com) यदि DP एवं AB को आगे बढ़ाएँ तो वे L पर मिलते हैं। तो सिद्ध कीजिए
(i) \(\frac{\mathbf{D P}}{\mathbf{P L}}=\frac{\mathbf{D C}}{\mathbf{B L}}\)
(ii) \(\frac{\mathrm{DL}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{D} \mathrm{C}}\)
हल:
दिया है-
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है जिसकी भुजा BC पर बिन्दु P इस प्रकार है कि बढ़ी हुई DP भुजा AB को बिन्दु L पर काटती है।
सिद्ध करना है-
(i) \(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PL}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BL}}\)
(ii) \(\frac{\mathrm{DL}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{DC}}\)

उपपत्ति-
(i) स्पष्ट है कि AALD ) में BP || AD है।
अतः आधारभूत Aअनुपातिकता प्रमेय से

प्रश्न 8.
AABC की भुजी AB पर D और E दो ऐसे बिन्दु स्थित हैं कि AD = BE हो। यदि DP || BC तथा EQ || AC हो तो सिद्ध (RBSESolutions.com) कीजिए PQ || AB।
हल:
ΔABC में दिया है कि DP || BC और EQ || AC

= बिन्दु P और Q त्रिभुज ABC की भुजाओं CA और CB को एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।
⇒ PO || AB.

प्रश्न 9.
∆BCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी AB || DC है तथा इसके विकर्ण o पर प्रतिच्छेद करते हैं। (RBSESolutions.com) दर्शाइए \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
हल:
दिया है-
ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC है। विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है-
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)
रचना-
O में से FO || DC || AB खींचिए।
उपपत्ति-
अब ΔDAB में,

प्रश्न 10.
यदि D और E क्रमशः AB और AC, त्रिभुज ABC की भुजाओं पर (RBSESolutions.com) स्थित ऐसे बिन्दु हैं कि BD = CE हो तो सिद्ध कीजिए AABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल:
त्रिभुज ABC में,

अत: त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु है।

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