RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.3

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Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 10
Subject	Maths
Chapter	Chapter 2
Chapter Name	वास्तविक संख्याएँ
Exercise	Exercise 2.3
Number of Questions Solved	3
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Ex 2.3

प्रश्न 1.
प्रमाणित कीजिए कि \(5-\sqrt { 3 } \) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
\(5-\sqrt { 3 } \) एक अपरिमेय संख्या के विपरीत मान (RBSESolutions.com) लें कि 5-3 एक परिमेय संख्या है, तो इस प्रकार के दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b विद्यमान होंगे कि

यह इस तथ्य का विरोध करता है कि 3 एक अपरिमेय संख्या है। अतः प्रारम्भ में ली गई परिकल्पना गलत है।
अतः \(5-\sqrt { 3 } \) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ हैं
(i) \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
(ii) \(6+\sqrt { 2 } \)
(iii) \(3\sqrt { 2 } \)
हल:
(i) \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
प्रश्न में दिए गए कथन के विपरीत (RBSESolutions.com) माना कि \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) एक परिमेय संख्या है।
अंतः हम अविभाज्य पूर्णांक a और B (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं अर्थात्

क्योंकि दो पूर्णांकों का भागफल एक परिमेय संख्या होती है।
अतः \(\frac { 2a }{ b } \) = एक परिमेय संख्या
(i) से \(\sqrt { 2 } \) भी एक परिमेय संख्या है। परन्तु यह कथन असत्य है। अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अतः \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) एक अपरिमेय संख्या है। (इतिसिद्धम् )

(ii) \(6+\sqrt { 2 } \)
माना कि \(6+\sqrt { 2 } \) एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसी सह-अभाज्य संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि

चूँकि a तथा b पूर्णांक हैं अतः \(\frac { a-6b }{ b } \) भी एक पूर्णांक संख्या होगी क्योंकि पूर्णांकों की बाकी तथा पूर्णांकों का भाग भी पूर्णांक होता है। अर्थात्

परिमेय संख्या परन्तु यह कथन कि \(\sqrt { 2 } \) एक अपरिमेय (RBSESolutions.com) संख्या होती है, का विरोधाभासी कथन है। अत: हमारी कल्पना असत्य है। अर्थात् \(6+\sqrt { 2 } \) एक अपरिमेय संख्या है।

(इतिसिद्धम्)

(iii) \(3\sqrt { 2 } \)
माना कि दी गई संख्या \(3\sqrt { 2 } \) एक परिमेय संख्या है। अतः हम ऐसे दो पूर्णाक a और B (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि

चूँकि (i) में a, 3 और b सभी पूर्णांक हैं तथा दो (RBSESolutions.com) पूर्णांकों का भाग भी एक परिमेय संख्या होती है। अर्थात्
\(\frac { a }{ 3b } \) = एक परिमेय संख्या
अतः (i) से \(\sqrt { 2 } \) = एक परिमेय संख्या
जो कि कथन \(3\sqrt { 2 } \) एक अपरिमेय संख्या है, का विरोधाभासी कथन है। अर्थात् हमारी कल्पना असत्य है। अत: \(3\sqrt { 2 } \) एक अपरिमेय संख्या है।

(इतिसिद्धम् )

प्रश्न 3.
यदि p और q अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, (RBSESolutions.com) तो सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt { p } +\sqrt { q } \) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
\(\left( \sqrt { p } +\sqrt { q } \right) \) एक अपरिमेय संख्या के विपरीत यह मान लें कि
\(\left( \sqrt { p } +\sqrt { q } \right) \) एक परिमेय संख्या है, तो इस प्रकार के दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b विद्यमान हैं, कि

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