RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Additional Questions

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Additional Questions is part of RBSE Solutions for Class 10 Maths. Here we have given Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Additional Questions.

Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 10
Subject	Maths
Chapter	Chapter 3
Chapter Name	बहुपद
Exercise	Additional Questions
Number of Questions Solved	88
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Additional Questions

विविध प्रश्नमाला 3

प्रश्न 1.
यदि बहुपद f(x) = 5 + 13x + k को एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम हो, (RBSESolutions.com) तो k का मान होगा-
(क) 0
(ख) 1/5
(ग) 5
(घ) 6
उत्तर:
(ग) 5

प्रश्न 2.
बहुपद x² – x – 6 के शून्यक हैं
(क) 1, 6
(ख) 2. -3
(ग) 3, – 2
(घ) 1, – 6
उत्तर:
(ग) 3, – 2

प्रश्न 3.
यदि बहुपद 2x² + x + k का एक शून्यक 3 है तो k का मान (RBSESolutions.com) होगा-
(क) 12
(ख) 21
(ग) 24
(घ) – 21
उत्तर:
(घ) – 21

प्रश्न 4.
यदि α, β बहुपद – p(x + 1) = 0 के शून्यक इस प्रकार हैं कि (α + 1) (β + 1) = 0 है तो c का मान होगा-
(क) 0
(ख) – 1
(ग) 1
(घ) 2
उत्तर:
(ग) 1

प्रश्न 5.
यदि द्विघात समीकरण x² – kx + 4 = 0 के मूल समान हों तो k का (RBSESolutions.com) मान होगा-
(क) 2
(ख) 1
(ग) 4
(घ) 3
उत्तर:
(ग) 4

प्रश्न 6.
यदि x = 1, समीकरण ax² + ax + 3 = 0 तथा x² + x + b = 0 का एक उभयनिष्ठ मूल है तो ab का मान होगा-
(क) 1
(ख) 3.5
(ग) 6
(घ) 3
उत्तर:
(घ) 3

प्रश्न 7.
द्विघात समीकरण \(3\sqrt { 3 } { x }^{ 2 }+10x+\sqrt { 3 } =0\) का (RBSESolutions.com) विविक्तिकर होगा
(क) 10
(ख) 64
(ग) 46
(घ) 30
उत्तर:
(ख) 64

प्रश्न 8.
द्विघात समीकरण 4x² – 12x – 9 = 0 के मूलों की प्रकृति है-
(क) वास्तविक एवं समान
(ख) वास्तविक एवं भिन्न
(ग) काल्पनिक एवं समान
(घ) काल्पनिक एवं भिन्न
उत्तर:
(ख) वास्तविक एवं भिन्न

प्रश्न 9.
व्यंज़कों 8a²b²c तथा 20ab³c² का HCF है-
(क) 4ab²c
(ख) 4abc
(ग) 40a²b³c²
(घ) 40abc
उत्तर:
(क) 4ab²c

प्रश्न 10.
व्यंजकों x² – 1 तथा x² + 2x + 1 का (RBSESolutions.com) LCM है
(क) x + 1
(ख) (x² – 1) (x – 1)
(ग) (x – 1)(x + 1)²
(घ) (x² – 1) (x + 1)²
उत्तर:
(ग) (x – 1)(x + 1)²

प्रश्न 11.
व्यंजक 6x²y⁴ तथा 10xy² का LCM 30x²y⁴² है तो HCF होगा-
(क) 6x²y²
(ख) 2xy²
(ग) 10x²y³
(घ) 60x³y⁶
उत्तर:
(ख) 2xy²

प्रश्न 12.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल ज्ञात करने का (RBSESolutions.com) श्रीधर आचार्य सूत्र लिखिए।
हल:

प्रश्न 13.
समीकरण ax² + bx + c = 0 के विविक्तिकर का व्यापक रूप लिखकर मूलों की प्रकृति समझाइए।
हल:
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 के मूलों की प्रकृति विविक्तकर D = b≠ – 4ac के मान पर निम्न प्रकार निर्भर करती है

1. यदि (b² – 4ac) > 0 तब मूल वास्तविक एवं भिन्न होंगे।
2. यदि (b² – 4ac) = 0 तब मूल वास्तविक एवं समान होंगे।
3. यदि (b² – 4ac) < 0 तब मूल काल्पनिक होंगे।

प्रश्न 14.
द्विघात बहुपद 2x² – 8 + 6 के शुन्यक ज्ञात कीजिए (RBSESolutions.com) और शून्यकों एवं गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार
2x² – 8x + 6 = 2x² – 6x – 2x + 6
= 2(x – 3) – 2(x – 3)
= (x – 3) (2x – 2)
अतः 2x² – 8x + 6 को मान शून्य होगा यदि (x – 3) (2x – 2) का मान शून्य है।
यानि x – 3 = 0 ∴ x = 3
यांनि 2x – 2 = 0 ∴ x = 1
अतः 2x² – 8x + 6 के शून्यक 1 और 3 हैं।
अब शून्यकों का योग = 1 + 3 = 4

प्रश्न 15.
यदि और B द्विघात बहुपद f(x) = x² – px + q के शून्यक हैं, (RBSESolutions.com) तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-
(i) α² + β²
(ii) \(\frac { 1 }{ \alpha } +\frac { 1 }{ \beta } \)
हल:
यदि α और β द्विघात बहुपद f(x) = x² – px + q के शून्यक हैं, तब

प्रश्न 16.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25r + 10 को एक (RBSESolutions.com) अन्य बहुपदे x² – 2x + k से भाग दिया जाता है और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a को मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 17.
एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मी.² है। भूखण्ड की (RBSESolutions.com) लम्बाई (मीटर में), चौड़ाई के दोगुने से 1 अधिक है। अभीष्ट द्विघात समीकरण निरूपित कर भूखण्ड की लम्बाई तथा चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:


क्योंकि x एक विमा होने के कारण ऋणात्मक नहीं हो सकता है इसलिए (RBSESolutions.com) भूखण्ड की चौड़ाई 16 मीटर है और लम्बाई (2 x 16 + 1) = 33 मीटर है। उत्तर

प्रश्न 18.
द्विघात समीकरण x² + 4x – 5 = 0 को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा हल कीजिए।
हल:
दिया गया द्विघात समीकरण
x² + 4x – 5 = 0
या x² + 4x = 5
दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर
⇒ x² + 4x + 4 = 5 + 4
⇒ (x + 2)² = 9
∴ x + 2 = \(\pm \sqrt { 9 } \pm 3\)
धनात्मक चिह्न लेने पर
x + 2 = 3
∴ x = 3 – 2 = 1
ऋणात्मक चिह्न लेने पर
x + 2 = – 3
∴ x = -3 – 2 = – 5
अतः दी गई द्विघात (RBSESolutions.com) समीकरण x² + 4x – 5 = 0 के हल x = 1, -5 हैं। उत्तर

प्रश्न 19.
निम्न समीकरणों को गुणनखण्डन विधि से हल कीजिए-

हल:

प्रश्न 20.
यदि द्विघात समीकरण 2x² + pr – 15 = 0 का एक मूल -5 है तथा (RBSESolutions.com) द्विघात समीकरण p(x² + x) + k = 0 के मूल बराबर हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया द्विघात समीकरण
2x² + px – 15 = 0
इस द्विघात समीकरण का एक मूल – 5 है इसलिए यह मूल द्विघात समीकरण को सन्तुष्ट करेगा अतः x = – 5 रखने पर
2(-5)² + p(- 5) – 15 = 0
⇒ 2 x 25 – 5p – 15 = 0
⇒ 50 – 5p – 15 = 0
⇒ 35 – 5p = 0
या 5p = 35
∴ p = 7
दूसरी दी गई द्विघात समीकरण के मूल बराबर हैं। इसलिए D = b² – 4ac = 0 होना चाहिए।
दिया गया द्विघात का समीकरण
p(x² + x) + k = 0
⇒ px² + px + k = 0
P का मान रखने पर
7x² + 7x + k = 0
यहाँ पर a = 7, b = 7 तथा c = k
D = b² – 4ac = 0 रखने पर
⇒ (7)² – 4 x 7 x k = 0
⇒ 49 – 28k = 0
या 28k = 49
∴ \(k=\frac { 49 }{ 28 } =\frac { 7 }{ 4 } \) उत्तर

प्रश्न 21.
श्रीधर आचार्य द्विघाती सूत्र का उपयोग करके निम्न द्विघात (RBSESolutions.com) समीकरणों को हल कीजिए
(i) p²x² + (p² – q²)x – q² = 0
(ii) 9x² – 9(a + b)x + (2a² + 5ab + 2b²) = 0
हल:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है-
p²x² + (p² – q²)x – q² = 0
यहाँ पर a = p²
b = p² – q² तथा c = – q²

प्रश्न 22.
दो द्विघातीय व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्तक एवं महत्तम (RBSESolutions.com) समापवर्तक क्रमशः x³ – 7x + 6 एवं (x – 1) हैं। व्यंजक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है
HCF = (x – 1)
LCM = x³ – 7x + 6
माना दो द्विघातीय व्यंजक u(x) तथा v(x) हैं।
अब x³ – 7x + 6 में
= x²(x – 1) + (x – 1) – 6x + 6
= x²(x-1) + x(x – 1) – 6(x – 1)

प्रश्न 23.
दो बहुपदों का लघुत्तम समापवर्तक x³ – 6x² + 3x + 10 है। तथा महत्तम (RBSESolutions.com) समापवर्तक (x + 1) है। यदि एक बहुपद x² – 4x -5 है तो दूसरा बहुपद ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है-
LCM = x³ – 6x² + 3x + 10
HCF = (x + 1)
पहला बहुपद = x² – 4x – 5
दूसरा बहुपद = ?
हम जानते हैं
u(x) x v(x) = HCF × LCM
या पहला बहुपद × दूसरा बहुपद = HCF × LCM

अतः दूसरा बहुपद् = (x + 1) x (x – 2)
= x² – x – 2 उत्तर

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
बहुपद p(x) का शून्यक, (RBSESolutions.com) जहाँ p(x) = ax + 1 है, a ≠ 0 है
(A) 1
(B) – a
(C) ()
(D) \(-\frac { 1 }{ a } \)
उत्तर:
(D) \(-\frac { 1 }{ a } \)

प्रश्न 2.
यदि α, β तथा γ त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d= 0 के शून्यक हों, तो α + β + γ का मान होगा
(A) 4
(B) 6
(C) c
(D) \(-\frac { b }{ a } \)
उत्तर:
(D) \(-\frac { b }{ a } \)

प्रश्न 3.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर x⁴ – 3x² + 2x + 5 में x- 1 का भाग (RBSESolutions.com) देने पर भागफल व शेषफल होगा-
(A) भागफल = x⁴ – 3x² + 2x + 5 , शेषफल = 6
(B) भागफल = x³ – 3x + 2 , शेषफल = – 5
(C) भागफल = x³ + x² – 2x , शेषफल = 5
(D) भागफल = 3x² + 2x + 5 , शेषफल = 3
उत्तर:
(C) भागफल = x³ + x² – 2x , शेषफल = 5

प्रश्न 4.
यदि समीकरण x² + 3ax + k = 0 का एक हल x = – a हो तो k का मान होगा
(A) 0
(B) 2a²
(C) a²
(D) – 2a
उत्तर:
(B) 2a²

प्रश्न 5.
किसी संख्या का वर्ग उसके तिगुने से 70 अधिक है। (RBSESolutions.com) इस कथन को प्रकट करने वाला समीकरण है-
(A) x² + 3x – 70 = 0
(B) x² – 3x – 70 = 0
(C) x² – 3x + 70 = 0
(D) x² + 3x + 70 = 0
उत्तर:
(B) x² – 3x – 70 = 0

प्रश्न 6.
द्विघात समीकरण px² + qx + r = 0, p ≠ 0 के मूल समान होंगे यदि
(A) p² < 4qr
(B) p² > 4qr
(C) q² = 4pr
(D) p² = 4qr
उत्तर:
(C) q² = 4pr

प्रश्न 7.
समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 के मूल वास्तविक नहीं होंगे यदि
(A) b² < 4ac
(B) b² > 4ac
(C) b² = 4ac
(D) b = 4ac
उत्तर:
(A) b² < 4ac

प्रश्न 8.
4x²yz³ और 12xy²z का (RBSESolutions.com) म.स. है-
(A) 4x²y²z³
(B) 4xyz
(C) 12xyz
(D) 12x²y²z³
उत्तर:
(B) 4xyz

प्रश्न 9.
दो व्यंजकों का गुणनफल 360x⁷y⁷z³ है और यदि उनका म.स.प. 6x²y³z हो, तो उनका ल.स.प. है
(A) 60x⁵y⁴z²
(B) 360x⁵y⁴z²
(C) 360x⁹y¹⁰z⁴
(D) 60x⁹y¹⁰z⁴
उत्तर:
(A) 60x⁵y⁴z²

प्रश्न 10.
3x², 7y³ तथा 42:का ल.स. (RBSESolutions.com) होगा-
(A) x²y²z²
(B) x²y³z⁴
(C) 42x²y³z⁴
(D) 88x²y³z⁴
उत्तर:
(C) 42x²y³z⁴

प्रश्न 11.
द्विघात समीकरण 2x² – x – 6 = 0 के मूल हैं-

उत्तर:
(b) \(2,\quad \frac { -3 }{ 2 } \)

प्रश्न 12.
k के किस मान के लिये द्विघात (RBSESolutions.com) समीकरण 2x² – kx + k = 0 के मूल संमान हैं-
(A) केवल 0
(B) केवल 4
(C) केवल 8.
(D) 0, 8
उत्तर:
(D) 0, 8

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
बहुपद का शून्यक क्या होता है?
उत्तर:
एक वास्तविक संख्या 4 किसी बहुपद p(x) का शून्यक कहलाएगी यदि p(a) = 0 हो अर्थात् चर का वह मान जिससे बहुपद का मान शून्य हो जाए।

प्रश्न 2.
रैखिक बहुपद का उदाहरण लिखिए।
उत्तर:
ax + b, जहाँ a, b ϵ R तथा a ≠ (0)

प्रश्न 3.
यदि द्विधात (RBSESolutions.com) बहुपद ax² + br + c के शून्यक α और β हों तो α + β तथा का मान लिखिए।
उत्तर:
α + β = \(-\frac { b }{ a } \) तथा αβ = \(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 4.
यदि व्यंजक x³ – 2x + 1 का एक भाजक (x – 1) है तो शेषफल लिखिए।
उत्तर:
माना कि व्यंजक f(x) = x³ – 2x + 1 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है।
अतः f(1) = (1)³ – 2(1) + 1 = 1 – 2 + 1
= 0
∴ शेषफल = शून्य

प्रश्न 5.
द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:

∴ x² + 7x + 10 के शून्यक – 2 और 5 हैं। उत्तर

प्रश्न 6.
यदि (x – 2) व्यंजक x² + 2x – a का एक गुणनखण्ड है तो a का मान लिखिए।
उत्तर:
x – 2 = 0 या x = 2 व्यंजक में रखने पर इसका मान शून्य होना चाहिए। अतः
(2)² + 2 x 2 – a = 0
4 + 4 – a = 0
∴ a = 8 उत्तर

प्रश्न 7.
यदि x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + k) हो, तो k का (RBSESolutions.com) मान लिखिए।
उत्तर:
k = – xy – yz – zx उत्तर

प्रश्न 8.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमशः – 4 और 3 हों।
हल:
x² – (मूलों का योग) x + मूलों का गुणनफल
x² – (-4) x + 3
x² + 4x + 3 उत्तर

प्रश्न 9.
एक n घात वाले बहुपद के अधिकतम शून्यकों की संख्या लिखिए।
उत्तर:
n शून्यक

प्रश्न 10.
द्विघात बहुपद ax² + bx + c के आलेख की (RBSESolutions.com) आकृति किस प्रकार की प्राप्त होती है?
उत्तर:
परवलयी आकृति।

प्रश्न 11.
वह बहुपद ज्ञात कीजिये जिसके शून्यक – 5 और 4 हों।
हल:
[x – (- 5)] (x – 4)
⇒ (x + 5) (x – 4)
⇒ x² – 4x + 5x – 20
⇒ x² + x – 20 उत्तर

प्रश्न 12.
समीकरण \({ x }^{ 2 }-\frac { x }{ 3 } =0\) के हल लिखिए।
हल

प्रश्न 13.
जाँच कीजिये कि क्या x(2x + 3) = x² + 1 एक द्विघात (RBSESolutions.com) समीकरण है?
हल:

अतः उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण है। उत्तर

प्रश्न 14.
यदि समीकरण x² – 8x + a = 0 का एक मूल 5 है, तो दूसरा मूल लिखिए।।
हल:
यहाँ मूलों का योग 8 है अतः दूसरा मूल 8 – 5 = 3 होगा। उत्तर

प्रश्न 15.
दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग 25 है। (RBSESolutions.com) यदि छोटी संख्या x हो तो इस तथ्य को अभिव्यक्त करने वाला समीकरण लिखिए।
हल:
x² + (x + 1)² = 25

प्रश्न 16.
संख्या x तथा उसके व्युत्क्रम का योग \(\frac { 5 }{ 2 } \) है, इसे बीजीय समीकरण के रूप में लिखिए।
हल:
\(x+\frac { 1 }{ x } =\frac { 5 }{ 2 } \)

प्रश्न 17.
एक घन संख्या x अपने वर्ग से 56 कम है। इस वाक्य को प्रकट करने वाला समीकरण लिखिए।
हल:
x² – 56 = x, या x² – x = 56 ∴ x² – x – 56 = 0

प्रश्न 18.
समीकरण \(\frac { x }{ 5 } -\frac { 5 }{ x } =0\) को सन्तुष्ट (RBSESolutions.com) करने वाले x के मान लिखिए।
हल:

प्रश्न 19.
यदि समीकरण x² – 8x + k = 0 के मूल समान हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 20.
समीकरण \(x-\frac { 1 }{ x } =0\) को (RBSESolutions.com) हल कीजिए।
हल:

प्रश्न 21.
समीकरण 2x² + 3x +4= 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
हल:
a = 2, b = 3, c = 4
∴ विविक्तकर का मान D = b² – 4ac
= (3)² – 4 x 2 x 4
= 9 – 32 = – 23 < 0
∴ विविक्तकर का मान ऋणात्मक है अतः मूल विद्यमान नहीं है। (RBSESolutions.com) अर्थात् मूल काल्पनिक होंगे।

प्रश्न 22.
द्विघात सूत्र लिखिए।
हल:

प्रश्न 23.
k का मान ज्ञात कीजिये जिसके लिये x = 2 द्विघात समीकरण 3x² – kx – 2 = 0 का एक मूल है।
हल:
∵ x = 2 समीकरण 3x² – kx – 2 = 0 का एक मूल है अतः x = 2 समीकरण में रखने पर
3(2)² – k(2) – 2 = 0
⇒ 12 – 2k – 2 = 0
⇒ 2k = – 10
∴ k = 5 उत्तर

प्रश्न 24.
x² – 1 तथा (x + 1)² का ल.स. (RBSESolutions.com) लिखिए।
हल:
x² – 1 = (x + 1) (x – 1)
(x + 1)² = (x + 1) (x + 1)
अतः ल.स. = (x + 1)² (x – 1) उत्तर

प्रश्न 25.
दो व्यंजकों का गुणनफल 24x⁶y⁴z³ है। यदि इनको ल.स. 8x⁴y³z² हो तो इनका म.स. ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 26.
(x² – 1) तथा (x² – 2x + 1) का म.स. ज्ञात कीजिए।
हल:
p(x) = (x² – 1) ⇒ (x + 1) (x – 1)
q(x) = (x² – 2x + 1) = (x – 1)²
अतः म.स. = (x – 1) उत्तर

प्रश्न 27.
12 (a² – b²) तथा 18 (a + b)² का ल.स. (RBSESolutions.com) लिखिए।
हल:
12 (a² – b²) = 2 x 2 x 3 (a + b) (a – b)
18 (a+ b)² = 2 x 3 x 3 (a + b) (a + b)
अत: ल.स. = 2 x 3 x 3 x 2 (a – b) (a + b)²
= 36 (a + b)² (a – b) उत्तर

प्रश्न 28.
(x² – 4) और (x – 2) (x + 1) का म.स. ज्ञात कीजिए।
हल:
x² – 4 = (x – 2) (x + 2)
अतः प्रथम व्यंजक = (x – 2) (x + 2)
द्वितीय व्यंजक = (x – 2) (x + 1)
अतः म.स. = (x – 2) उत्तर

प्रश्न 29.
दो व्यंजकों के म.स. और ल.स. क्रमशः 2x²y² और 2x⁵y³ हैं। यदि उनमें से एक व्यंजक 4x⁵y² हो, तो दूसरा व्यंजक ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 30.
a²b – ab² तथा a³b² + a²b³ का ल.स. ज्ञात कीजिए।
हल:
माना u(x) = a²b – ab²
= ab(a – b)
तथा v(x) = a³b² + a²b³
= a²b² (a + b)
अतः उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = a²b² (a – b) (a + b)
ल.स.प. = a²b² (a – b) (a + b)
= a²b² (a² – b²) उत्तर

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये जिसके शून्यकों को योग तथा (RBSESolutions.com) गुणनफल \(\frac { 1 }{ 4 } \) और -1 है।
हल:
माना द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हैं।

प्रश्न 2.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर बहुपद p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5 को g(x) = x² + 1 – x से भाग देने पर प्राप्त भागफल एवं शेषफल ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:
सर्वप्रथम हम बहुपद को मानक रूप में लिखते हैं तब विभाजन (RBSESolutions.com) प्रक्रिया करते हैं।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात (RBSESolutions.com) कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
p के किसे मान के लिए बहुपद px³ + 9x² + 6x – 1 व्यंजक (3x + 2) से पूर्णतः (RBSESolutions.com) विभाजित होता है।
हल:
दिया गया है कि (3x + 2) दिये गये व्यंजक का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 5.
यदि द्विघात व्यंजक kx² + 5x + 3k के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के (RBSESolutions.com) बराबर हो, तो k का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिए गए व्यंजक kx² + 5x + 3k के अनुसार

प्रश्न 6.
3x² – x³ – 3x + 5 को x – 1 – x² से भाग दीजिए और विभाजन एल्गोरिथ्म की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल:
दिए हुए बहुपद मानक रूप में नहीं हैं। भाग की क्रिया करने के लिए, हम सर्वप्रथम (RBSESolutions.com) भाज्य और भाजक दोनों को उनकी घातों के घटते क्रम में लिखते हैं।

यहाँ शेषफल (3) प्राप्त होता है। इसकी घात भाजक x² + x – 1 से कम है। अतः विभाजन प्रक्रिया यहीं रोक देते हैं। इस प्रकार भागफल (x – 2) एवं शेष (3) प्राप्त होता है। विभाजन एल्गोरिथ्म में निम्न कथन की जाँच करते हैं।
भाजक x भागफल + शेषफल = भाज्य
= (-x² + x – 1) (x – 2) + 3
= – x³ + x² – x + 2x² – 2x + 2 + 3
= – x³ + 3x² – 3x + 5
= भाज्य
अतः, विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित हो गया। उत्तर

प्रश्न 7.
गुणनखण्ड विधि से द्विघात समीकरण x² – 3x – 10 = 0 के मूल (RBSESolutions.com) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण ।
x² – 3x – 10 = 0
गुणनखण्ड करने पर,
x² – 5x + 2x – 10 = 0
या x(x – 5) + 2(x – 5) = 0

प्रश्न 8.
गुणनखण्ड विधि से द्विघात समीकरण \(\sqrt { 2 } { x }^{ 2 }+7x+5\sqrt { 2 } =0\) को हल कीजिए।
हल:
दिया गया समीकरण-

प्रश्न 9.
निम्न व्यंजकों को लघुत्तम समापवर्तक (LCM) (RBSESolutions.com) ज्ञात कीजिए-
(i) 4a²b²c तथा 6ab²d
(ii) x² – 4x + 3 तथा x² – 5r + 6
(iii) – 2 (x – 1)(x – 2)(x + 3) तथा 3(x – 1)(x – 2)(x + 3)(x + 5)
हल:

प्रश्न 10.
निम्न व्यंजकों का महत्तम (RBSESolutions.com) समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए-
(i) 8a²b²x तथा 18ab³c²
(ii) 20x² – 9x + 1 तथा 5x² – 6x +1
(iii) (x + 1)²(x + 2)²(x + 3)² तथा (x + 1)³(x – 2)³(x + 3)³
हल:
(i) माना u(x) = 8a²b²c तथा v(x) = 18ab³c²
अतः गुणनखण्डन रूप में लिखने पर।
u(x) = 2³ x a² x b² x c तथा v(x) = 2 x 3² x a x b³ x c²
यहाँ महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक = 2 x 2 x b² x c
या = न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल।
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = 2ab²c है।

(ii) माना u(x) = 20x² – 9x + 1 तथा v(x) = 5x² – 6x + 1 है।
इनको गुणनखण्ड रूप में लिखने पर।
u(x) = 20x² – 9x + 1 = 20x² – 5 – 4x + 1
= 5x(4x – 1) – 1(4 – 1) = (4 – 1)(5x – 1) …..(1)
तथा v(x) = 5x² – 6x + 1 = 5x² – 5x – x + 1
= 5x(x – 1) – 1(x – 1) = (x – 1)(5x – 1) …..(2)
समीकरण (1) एवं (2) से स्पष्ट है कि महत्तम घात (RBSESolutions.com) का सर्वनिष्ठ भाजक (5x – 1) है।
अतः अभीष्ट महत्तम समापवर्तक = (5x – 1) है।

(iii) माना u(x) = (x + 1)² (x + 2)²-(x + 3) तथा
v(x) = (x + 1)³(x – 2)(x + 3)²
अतः महत्तम घात का सर्वनिष्ठ भाजक = (x + 1)²(x + 3)²
= न्यूनतम घात के सर्वनिष्ठ गुणनखण्डों का गुणनफल
अर्थात् अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (HCF) = (x + 1)²(x + 3)² है।

प्रश्न 11.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 8 व 12 है। ( माध्य, शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18 )
हल:

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
द्विघात बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यक एवं गुणांकों के बीच के (RBSESolutions.com) सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
द्विघात बहुपद 3x² + 5x – 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों एवं गुणांकों के (RBSESolutions.com) मध्य सम्बन्ध की जाँच कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
बहुपद f(x) = 3x⁴ + 6x³ – 6x³ – 2x² – 10x – 5 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि (RBSESolutions.com) इसके दो शून्यक ई और -ई हैं।
हल:

प्रश्न 4.
यदि (x + 1) तथा (x – 2) बहुपद x³ + kx² + hx + 6 के गुणनखण्ड हों तो h तथाk (RBSESolutions.com) के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
बहुपद f(x) = 3x³ + ax² + 4x + b का एक गुणनखण्ड (x +2) है। यदि इसमें (x – 3) का भाग दिया (RBSESolutions.com) जाये तो शेषफल -5 बचता है। a तथा B के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
निम्न द्विघात समीकरण का गुणनखण्ड विधि (RBSESolutions.com) से मूल ज्ञात कीजिए

हल:

प्रश्न 7.
द्विघात समीकरण 2x² – 7x + 3 = 0 को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा हल कीजिए (RBSESolutions.com) तथा श्रीधर आचार्य द्विघाती सूत्र से मूलों का सत्यापन कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए तथा मूलों का (RBSESolutions.com) अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए|
(i) 2x² – 6x + 3 = 0
(ii) 3x² – \(4\sqrt { 3 } x\) + 4 = 0
(iii) x² + x + 1 = 0
हल:

प्रश्न 9.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में ) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के (RBSESolutions.com) व्युत्क्रम का योग 3 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
एक मोटर बोट जिसकी स्थिर जल में चाल 18 किमी/घण्टा है। (RBSESolutions.com) उस बोट ने 12 किमी धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा \(\frac { 1 }{ 2 } \) घण्टा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 11.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लम्बा है। (RBSESolutions.com) यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि आयताकार खेत की छोटी भुजा = AD = x m

प्रश्न 12.
17 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा के एक बिन्दु पर एक खम्भा (RBSESolutions.com) इस प्रकार गोड़ना है कि इस पार्क के एक व्यास के दोनों अन्त बिन्दुओं पर बने फाटकों A और B से खम्भे की दूरियों का अन्तर 7 मीटर हो। क्या ऐसा करना सम्भव है ? यदि है तो दोनों फ़ाटकों से कितनी दूरियों पर खम्भा गाड़ना है?
हल:
माना खम्भे की अभीष्ट स्थिति P है। माना खम्भे की फाटक B से दूरी x मीटर है अर्थात् BP = x मीटर है। अब खम्भे की दोनों फाटकों की दूरियों को अन्तर = AP – BP (या BP – AP) = 7 मीटर है। इसलिये, AP = 7 + BP = (7 + x) मीटर होगा।

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