RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Ex 7.1

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Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 10
Subject	Maths
Chapter	Chapter 7
Chapter Name	त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
Exercise	Exercise 7.1
Number of Questions Solved	30
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Ex 7.1

प्रश्न 1.
∠θ के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec θ के पदों में (RBSESolutions.com) व्यक्त कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि

प्रश्न 2.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin θ, sec θ, tan θ को cot θ के पदों में (RBSESolutions.com) व्यक्त कीजिए।
हल:

निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए

प्रश्न 3.
cos²θ + cos²θ . cot²θ = cot²θ
हल:
L.H.S. = cos²θ + cos²θ . cot²θ
= cos²θ6(1 + cot²θ)
= cos²θ . cosec²θ [∵ 1 + cot²θ = cosec²θ]
\(=\cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\sin ^{2} \theta} \quad\left[\because \csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}\right]\)
\(=\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}=\cot ^{2} \theta\) = R.H.S
∴ L.H.S. = R.H.S. ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 4.
sec θ(1 – sin θ) (sec θ + tan θ) = 1
हल:
L.H.S = sec θ(1 – sin θ) (sec θ + tan θ)

प्रश्न 5.
cosec²θ + sec²θ = cosec²θ sec θ (RBSESolutions.com)
हल:
L.H.S. = cosec²θ + sec²θ

प्रश्न 6.
\(\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=\sec \theta-\tan \theta\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta}\) = tan θ+ cot θ
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{\cot \alpha+\cot \beta}\) = tan α tan β
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=2 \sec \theta\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\frac{\sin ^{4} \theta-\cos ^{4} \theta}{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}=1\)
हल:

प्रश्न 11.
cot θ – tan θ = \(\frac{1-2 \sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
हल:

प्रश्न 12.
cose⁴ θ + sin⁴ θ = 1 – 2 cos²θ sin²θ (माध्य शिक्षा बोर्ड मॉडल (RBSESolutions.com) पेपर, 2017-18)
हल:

प्रश्न 13.
(sec θ – cos θ) (cot θ + tan θ) = tan θ sec θ
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{\cot ^{2} \alpha-1}=\tan ^{2} \alpha\)
हल:

प्रश्न 15.
\(\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}=\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\)
हल:

प्रश्न 16.
sin⁶θ + cos⁶θ = 1 – 3 sin²θ cos²θ
हल:
L.H.S = sin⁶θ + cos⁶θ
= (sin²θ)³ + (cos²θ)³
= (sin²θ + cos²θ)[(sin²θ)² + (cos²θ)² – sin²θ cos²θ]
=(1) [sin⁴θ + cos⁴θ – sin²θ cos²θ]
= [(sin²θ)² + (cos²θ)² + 2 sin²θ cos²θ – 2 sin²θcos²θ – sin²θ cos²θ]
= [(sin²θ + cos²θ)² – 3sin²θcos²θ]
= (1)² – 3 sin²θcos²θ
= 1 – 3 sin²θ cos²θ = R.H.S
∴ L.H.S = R.H.S ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 17.
\(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\) = 1 + tanθ + cotθ (माध्य (RBSESolutions.com) शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:


= 1 + tan θ + cot θ = R.H.S
∴ L.H.S = R.H.S ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 18.
sin θ (1 + tan θ) + cos θ(1 + cot θ) = cosec θ + sec θ
हल:
L.H.S. = sin θ(1 + tan θ) + cos θ(1 + cot θ)

प्रश्न 19.
sin²θ cos θ + tan θ sin θ + cos³θ = sec θ
हल:
L.H.S. = sin²θ cos θ + tan θ sin θ + cos²³ θ
= sin²θ cos θ + cos³θ + tan θ. sin θ

प्रश्न 20.
\(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\) = 1 + sec θ cosec θ
हल:

प्रश्न 21.
(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot²A
हल:
L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= {sin² A + cosec² A + 2 sin A × cosec A}

प्रश्न 22.
sin⁸θ – cos⁸θ = (sin²θ – cos²θ) (1 – 2sin²θ cos²θ)
हल:
L.H.S. = sin⁸θ – cos⁸θ
= (sin⁴θ)² – (cos⁴θ)²
= (sin⁴θ – cos⁴θ) (sin⁴θ + cos⁴θ)
= [(sin²θ)² – (cos²θ)]² (sin⁴θ + cos⁴θ)
= (sin²θ – cos²θ) (sin²θ + cos²θ) (sin⁴θ + cos⁴θ)
= (sin²θ – cos²θ) (sin⁴θ + cos⁴θ] [:: sin²θ+ cos²θ = 1]
= (sin²θ – cos²θ) [(sin²θ)² + (cos²θ)² + 2sin²θcos²θ– 2sin²θ cos²θ]
(2 sin²θ cos²θ उपर्युक्त मे जोड़ने व घटाने पर)
= (sin²θ – cos²θ) [(sin²θ + cos²θ)² – 2 sin²θ cos²θ]
= (sin²θ – cos²θ) (1 – 2 sin²θ cos²θ)
= R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S. ( इतिसिद्धम् )

प्रश्न 23.
\(\sqrt{\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}}\) = cot θ + cosec θ (माध्य शिक्षा (RBSESolutions.com) बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)
हल:

प्रश्न 24.
\(\frac{(1+\cot \theta+\tan \theta)(\sin \theta-\cos \theta)}{\sec ^{3} \theta-\csc ^{3} \theta}=\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta\)
हल:

प्रश्न 25.
\(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}+\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta+\cos \theta}=\frac{2}{1-2 \cos ^{2} \theta}=\frac{2}{2 \sin ^{2} \theta-1}\)
हल:

प्रश्न 26.
\(\frac{\cos A}{1-\tan A}+\frac{\sin A}{1-\cot A}\) = sin A + cos A (माध्य (RBSESolutions.com) शिक्षा बोर्ड, 2018)
हल:

प्रश्न 27.
(cosec A – sin A)(sec A – cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
हल:

प्रश्न 28.
\(\frac{\cos ^{2} \theta}{1-\tan \theta}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta}\) = 1 + sin θ cos θ
हल:

प्रश्न 29.
यदि sec θ + tan θ = P हो, तो सिद्ध करो कि \(\frac{\mathbf{P}^{2}-1}{\mathbf{P}^{2}+1}=\sin \theta\)
हल:

प्रश्न 30.
यदि \(\frac{\cos A}{\cos B}=m\) तथा \(\frac{\cos A}{\sin B}=n\) हो, (RBSESolutions.com) तो सिद्ध कीजिए (m² +n²) cos²B = n² (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18 )
हल:

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