RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Ex 11.2

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Ex 11.2

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों को झुकाव रूप तथा अन्त:खण्ड रूप में परिवर्तित कर इनके मानक रूप में प्रयुक्त अचर पदों के मान ज्ञात कीजिए।
(i) 7x – 13y = 15
(ii) 5x + 6y + 8 = 0
हल-
(i) दिया गया रेखा का समीकरण
7x – 13y = 14
⇒ – 13y = – 7x + 15

यह रेखा का झुकाव रूप y = mx + c है। जहाँ

यह रेखा का अन्त:खण्ड रूप \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) है, जहाँ
a = \(\frac { 15 }{ 7 }\) व b = \(\frac { -15 }{ 13 }\)

(ii) दिया गया रेखा का समीकरण
5x + 6y + 8 = 0
5x + 6 = – 8
6y = – 5x – 8

यह रेखा का झुकाव रूप y = mx + c है, जहाँ

यह रेखा का अन्त:खण्ड रूप \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) है, जहाँ
a = \(\frac { -8 }{ 5 }\) व b = \(\frac { -4 }{ 3 }\)

प्रश्न 2.
रेखा x cos α + y sin α = p की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा है
x cos α + y sin α = p.

y = (-cot α)x + p cosec α
इस समीकरण की तुलना रेखा के झुकाव रूप y = mx + c से करने पर
m = -cot α
जो कि अभीष्ट प्रवणता है।

प्रश्न 3.
निम्न रेखाओं के x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की। स्पर्शज्या ज्ञात कीजिए।
(i) √3x – y + 2 = 0
(ii) x + √3y – 2√3 = 0
हल-
(i) रेखा का समीकरण
√3x – y + 2 = 0
⇒ y = √3x + 2
इस समीकरण की तुलना रेखा के झुकाव रूप y = mx + c से करने पर,
m = √3
⇒ tan θ = √3 = tan 60°
अतः रेखा द्वारा -अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या
= tan 60°

(ii) रेखा का समीकरण
x + √3y – 2√3 = 0
⇒ √3y = – x + 2√3

इस समीकरण की तुलना रेखा के झुकावे रूप y = mx + c से करने पर,
\(m=-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
⇒ tan θ = \(-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) = – tan 30°
⇒ tan θ = tan (180°- 30°)
⇒ tan θ = tan 150°
अतः रेखा द्वारा x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या
= tan 150°

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि रेखा \(\frac { x }{ { 2x }_{ 1 } } +\frac { y }{ { 2y }_{ 1 } } =1\) द्वारा अक्षों पर काटे गये भाग के मध्य बिन्दु के निर्देशांक (x₁, y₁) होंगे।
हल-
दिया गया रेखा का समीकरण है-
\(\frac { x }{ { 2x }_{ 1 } } +\frac { y }{ { 2y }_{ 1 } } =1\)
इस समीकरण की तुलना रेखा के अन्त:खण्ड रूप \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) से करने पर

a = 2x₁, b = 2y₁
तब अक्षों के मध्य काटे गए भाग के सिरों के निर्देशांक
A(2x₁, 0) वे B(0, 2y₁)
इस भाग AB के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

प्रश्न 5.
सरल रेखा 3x + 4y = 6 से अक्षों के मध्य कटे हुए अन्त:खण्ड की लम्बाई और उसका मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल-
सरल रेखा को समीकरण
3x + 4 = 6

इस समीकरण की तुलना रेखा के अन्त:खण्ड रूप \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) से करने पर,
a = 2, b = \(\frac { 3 }{ 2 }\)
तब दी गई रेखा का अक्षों के मध्य कटे भाग के सिरों के निर्देशांक = (2. 0) व (0.\(\frac { 3 }{ 2 }\))
अतः इस अन्त:खण्ड की अभीष्ट लम्बाई

प्रश्न 6.
a और b के नाम बताओ जबकि समीकरण 5x – 4y = 20 और ax – by + 1 = 0 एक ही सरल रेखा को प्रदर्शित करें।
हल-
दी गई रेखाएँ हैं-
5x – 4y = 20 ….(1)
एवं ax – by + 1 = 0 ….(2)
समीकरण (1) से

अतः दी गई दोनों रेखाएँ एक ही रेखा को निरूपित करें तब a व b के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { -1 }{ 4 }\) व \(-\frac { 1 }{ 4 }\) हैं

प्रश्न 7.
निम्न समीकरणों को x cos α + y sin α = p के रूप में। परिवर्तित कीजिए।
(i) x + y + √2 = 0
(ii) √3x – y + 2 = 0
हल-
(i) x + y + √2 = 0
⇒ x + y = -√2
⇒ – x – y = √2

चूँकि cos α तथा sin α दोनों ऋणात्मक हैं अतः α तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः cos α = – cos 45° = cos(180° + 45°) = cos 225°
∴ α = 225°
अतः दिए गए समीकरण का अभीष्ट अभिलम्ब रूप
x cos 225° + y sin 225° = 1

(ii) √3x – y + 2 = 0
√3x – y = – 2
-√3x + y = 2 ….(1)

यहाँ cos α, ऋणात्मक एवं sin α धनात्मक है अतः α द्वितीय चतुर्थाश में होगा। अतः
cos α = – cos 30°
= cos(180° – 30°) = cos 150°
∴ α = 150°
अतः दिए गए समीकरण का अभीष्ट अभिलम्ब रूप
x cos 150° + y sin 150° = 1

प्रश्न 8.
सरल रेखा 3x – 4y – 11 = 0 को लम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए तथा इस रेखा पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्बे की लम्बाई और x-अक्ष से उसकी प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा का समीकरण है
3x – 4y – 11 = 0
3x – 4y = 11 ….(1)
समीकरण (1) में

5 का भाग दोनों पक्षों में करने पर,

इस समीकरण की तुलना रेखा के अभिलम्ब रूप x cos α + y sin α = p से करने पर
p = रेखा पर मूल बिन्दु से डाले गए लम्ब की लम्बाई
= \(\frac { 11 }{ 5 }\)
cos α = \(\frac { 3 }{ 5 }\) एवं sin α = \(-\frac { 4 }{ 5 }\)
तब tan α = रेखा पर मूल बिन्दु से डाले गए लम्ब की प्रवणता

प्रश्न 9.
सरल \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) तथा 2x – 3y = 5 एक ही रेखा निरूपित करते हैं, तो a व b का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा है
2x – 3y = 5

प्रश्न 10.
सरल रेखा y = mx + c एवं x cos α + y sin α = p एक ही रेखा को निरूपित करे तो रेखा का x-अक्ष से झुकाव कोण तथा y-अक्ष से काटे गये अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए। हल-
दी गई रेखा है
y = mx + c ….(1)
x cos α + y sin α = p ….(2)
ये दोनों समीकरण एक ही रेखा के हैं। समीकरण (2) से
y sin α = – x cos α + p

समी. (1) व (3) की तुलना करने पर,
रेखा को x-अक्ष से झुकाव = m = – cot α
⇒ m = tan(90 + α)
अतः अभीष्ट झुकाव कोण = 90 + α
y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड c = \(\frac { p }{ sin\alpha } \)

प्रश्न 11.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 3) से होकर जाती है और x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
हल-
रेखा द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण = 45°
अतः रेखा का झुकाव = m = tan 45° = 1
चूँकि रेखा (2, 3) से होकर जाती है अतः बिन्दु झुकाव रूप में रेखा का समीकरण ।
⇒ y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 3 = 1(x – 2)
⇒ y – 3 = x – 2
⇒ y = x – 2 + 3
⇒ x – y + 1 = 0

प्रश्न 12.
निम्न दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) (3, 4) और (5, 6)
(ii) (0, -a) और (b, 0)
(iii) (a, b) और (a + b, a – b)
(iv) (at₁, alt₁) और (at₂, alt₂)
(v) (a sec α, b tan α) और (a sec β, b tan β)
हल-
दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

(i) बिन्दु (3, 4) और (5, 6) तब अभीष्ट रेखा

⇒ y – 4 = x – 3
⇒ y – x = 4 – 3
⇒ y – x = 1

(ii) बिन्दु (0, – a) और (b, 0) से गुजरने वाली रेखा

⇒ by + ab = ax
⇒ ax – by = ab

(iii) (a, b) और (a + b, a – b) से गुजरने वाली रेखा

by – b² = (a – 2b)x – a² + 2ab
(a – 2b)x – by + b² + 2ab – a² = 0

(iv) (at₁, alt₁) और (at₂, alt₂) से गुजरने वाली रेखा

(v) (a sec α, b tan α) और (a sec β, b tan β) से गुजरने वाली रेखा

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