RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Ex 11.3

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सरल रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए।
(i) y = (2 – √3)x + 5 तथा y = (2 + √3)x – 7
(ii) 2y – 3x + 5 = 0 तथा 4x + 5y + 8 = 0
(iii) \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) तथा \(\frac { x }{ b } -\frac { y }{ a } =1\)
हल-
(i) रेखा y = (2 – √3)x + 5 की प्रवणता
m₁ = (2 – √3)
(y = mx + c से तुलना करने पर)
तथा रेखा y = (2 + √3)x – 7 की प्रवणता
m₂ = (2 + √3)
यदि दोनों रेखाओं के मध्य कोण θ है, तब

⇒ tan θ = √3 = tan 60°
⇒ θ = 60°
रेखाओं के मध्य दूसरा कोण = 180° – 60° = 120°

(ii) रेखा 2y – 3x + 5 = 0
2y = 3x – 5

(iii) दी गई रेखाएँ हैं
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
bx + ay = ab ३
ay = – bx + ab
\(y=-\frac { b }{ a }x+b\) ….(1)
रेखा (1) की प्रवणता (m1) = \(-\frac { b }{ a }\)

अतः दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं अर्थात् दोनों रेखाओं के मध्य कोण θ = 90°

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित सरल रेखाएँ समान्तर हैं।
(i) 2y = mx + c तथा 4y = 2mx
(ii) x cos α + y sin α = p तथा x + y tan α = 5 tan α
हल-
(i) दी गई रेखाएँ

अत: दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।

(ii) दी गई रेखाएँ हैं-
x cos α + y sin α = p
y sin α = – x cos α + p.

m₂ = – cot α
यहाँ m₁ = m₂ = – cot α.
अतः दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ जिनके समीकरण 4x + 5y + 7 = 0 तथा 5x – 4y – 11 = 0 है परस्पर लम्बवत् हैं।
हल-
दी गई रेखाएँ हैं
4x + 5y + 7 = 0
5y = – 4x – 7

अतः दी गई रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं।

प्रश्न 4.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(i) बिन्दु (4, 5) से गुजरती है तथा 2x – 3y – 5 = 0 रेखा के समान्तर है।
(ii) बिन्दु (1, 2) से गुजरती है तथा रेखा 4x + 3y + 8 = 0 के लम्बवत् है।
(ii) रेखा 2x + 5y = 7 के समान्तर है तथा बिन्दुओं (2, 7) तथा (-4, 1) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु से होकर जाती है।
(iv) बिन्दुओं (-3, 7) तथा (5, -4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 : 7 के अनुपात में विभाजित करती है तथा इस पर लम्ब है।
हल-
(i) दी गई रेखा है
2x – 3y – 5 = 0
3y = 2x – 5

रेखा (1) की प्रवणता = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
(y = mx + c से तुलना करने पर)।
दिया है कि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के समान्तर है अतः अभीष्ट रेखा की प्रवणता (m) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
तथा अभीष्ट रेखा (4.5) से गुजरती है तब रेखा का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = \(\frac { 2 }{ 3 }\)(x – 4)
3y – 15 = 2x – 8
2x – 3y + 7 = 0

(ii) दी गई रेखा है
4x + 3y + 8 = 0
3y = – 4x – 8

4y – 8 = 3x – 3
3x – 4y + 5 = 0

(iii) बिन्दु (2, 7) व (-4, 1) का मध्य बिन्दु के निर्देशांक

= (-1, 4)
दी गई रेखा 2x + 5y = 7
रेखा (1) के समान्तर रेखा का समीकरण
2x + 5y = λ
रेखा (2) यदि बिन्दु (-1, 4) से गुजरती है तब
2(-1) + 5(4) = λ
λ = -2 + 20 = 18 ….(3)
अतः बिन्दु (2, 7) व (-4, 1) के मध्य बिन्दु (-1, 4) से जाने वाली तथा रेखा 2x + 5y = λ के समान्तर रेखा का अभीष्ट समीकरण
2x + 5y = 18

(iv) बिन्दु (-3, 7) व (5, -4) को 4 : 7 में अन्त:विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक

⇒ 121y – 363 = 88x + 8
⇒ 88 – 121y + 371 = 0

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज के शीर्ष (0, 0), (4, -6) और (1, -3) हैं, इन बिन्दुओं से त्रिभुज की सम्मुख भुजाओं पर डाले गये लम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
माना त्रिभुज के शीर्ष A(0, 0), B(4, -6) व C(1, -3) हैं।
माना AD ⊥ BC, BE ⊥ CA, CF ⊥ AB
हमें AD, BE व CF के समीकरण ज्ञात करने हैं।

BC की प्रवणता

अत: BC के लम्बवत् रेखा AD की प्रवणता = \(-\frac { 1 }{ (-1) }\) = 1
अत: BC के लम्बवत् रेखा AD का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 1(x – 0)
y = x
y – x = 0
इसी प्रकार, AB की प्रवणता

तब AB के लम्बवत् रेखा CF का समीकरण

तब AC के लम्बवत् BE का समीकरण

⇒ 3y + 18 = x – 4
⇒ x – 3y = 22

प्रश्न 6.
उस त्रिभुज का लम्ब केन्द्र ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2, 0), (3, 4) और (0, 3) हैं।
हल-

माना त्रिभुज के शीर्ष A(2, 0), B(3, 4) व C(0, 3) हैं।
माना AD ⊥ BC, BE ⊥ CA, CF ⊥AB
तब, AD, BE तथा CF एक ही बिन्दु O से संगामी होते हैं जिसे लम्बकेन्द्र कहते हैं ।
लम्बकेन्द्र O के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए हम दो लम्बों AB व BE को ज्ञात करते हैं।

अतः BC के लम्बवत् रेखा AD का समीकरण
⇒ y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 0 = -3(x – 2)
⇒ y = -3x + 6
⇒ 3x + y = 6 ….(1)
इसी प्रकार, AC की प्रवणता = \(\frac { 3-0 }{ 0-2 }\)
= \(\frac { 3 }{ 2 }\)
अतः AC के लम्बवत् रेखा BE का समीकरण
⇒ y – 4 = \(-\frac { 1 }{ -3/2 }(x-3)\)
⇒ y – 4 = \(\frac { 2 }{ 3 }(x-3)\)
⇒ 3y – 12 = 2x – 6
⇒ 2x – 3y = -12 + 6
⇒ 2x – 3y = – 6 ….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर अभीष्ट लम्ब केन्द्र

प्रश्न 7.
किसी त्रिभुज के दो शीर्ष (3, -1) तथा (-2, 3) हैं । त्रिभुज का लम्ब केन्द्र मूल बिन्दु पर है। तीसरे शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल-

माना त्रिभुज के शीर्ष A(x₁, y₁), B(3, -1) तथा C(-2, 3) हैं तथा AD ⊥ BC, BE ⊥ AC
त्रिभुज ABC का लम्ब केन्द्र O(0, 0) है, जो AD व BE का प्रतिच्छेद बिन्दु
अत: AO ⊥ BC तथा BO ⊥ AC
तब (AO की प्रवणता) (BC की प्रवणता) = -1

प्रश्न 8.
बिन्दुओं (2, -3) तथा (-1, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्बे अर्द्धक का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
बिन्दु (2, -3) व (-1, 5) का मध्य बिन्दु

= (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1)
बिन्दुओं (2, -3) व (-1, 5) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता

बिन्दुओं (2, -3) व (-1, 5) को मिलाने वाली रेखा का लम्ब अर्द्धक इनके मध्य बिन्दु (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) से गुजरता है तथा इसके लम्बवत् होता है। अतः अभीष्ट लम्ब अर्द्धक का समीकरण

⇒ 16y – 16 = 6x – 3
⇒ 6x – 16y + 13 = 0

प्रश्न 9.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सरल रेखा \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) पर, उस बिन्दु से जहाँ वह x-अक्ष से मिलती है, लम्ब है।
हल-
दी गई रेखा है

इस रेखा की प्रवणता = \(\frac { b }{ a }\)[y = mx + c से तुलना करने पर]
दी गई रेखा x-अक्ष पर जहाँ मिलती है वहाँ y = 0 होगा तब
\(\frac { x }{ a } -\frac { 0 }{ b } =1\)
⇒ x = a
अतः रेखा x-अक्ष को (a, 0) बिन्दुओं पर मिलती है।
अब प्रश्नानुसार अभीष्ट रेखा (a, 0) से जाती है तथा दी गई रेखा (1) के लम्बवत् है तब अभीष्ट रेखा का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)

by = -ax + a²
ax + by = a²

प्रश्न 10.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 2x + 3y + 11 = 0 के समान्तर है तथा अक्षों पर काटे गए अन्तखण्डों का योग 15 है।
हल-
रेखा 2x + 3 + 11 = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण
2x + 3y + λ = 0 ….(1)
⇒ 2x + 3 = -λ

λ = -18 समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट समीकरण
2x + 3y – 18 = 0

प्रश्न 11.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, -3) से गुजरती हैं तथा सरल रेखा 3x – 2y = 4 से 45° का कोण बनाती हैं।
हल-
∵ एक दिये हुए बिन्दु (x₁, y₁) से गुजरने वाली तथा दी गई रेखा y = mx + c के साथ दिया गया कोण α बनने वाली रेखाओं के समीकरण

प्रश्नानुसार यहाँ (x₁, y₁) = (2, -3), α = 45°, ∴ tan α = tan 45 – 1 तथा m, रेखा 3x – 2 = 4 की प्रवणती है।

इनके मान समीकरण (1) व (2) में रखने पर अभीष्ट रेखाओं के समीकरण

5y + 15 = x – 2
5y – x + 17 = 0

प्रश्न 12.
उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4, 5) से गुजरती हैं तथा रेखाओं 3x = 4y + 7 और 5y = 12x + 6 से समान कोण बनाती हैं।
हल-
माना अभीष्ट रेखा का समीकरण है–
y – y₁ = m(x – x₁)
यहाँ (x₁, y₁) = (4, 3) रखने पर
y – 5 = m(x – 4) ….(1)
यहाँ m रेखाओं की प्रवणता है।
अब दी गई रेखाएँ हैं-
3x = 4y + 7 ….(2)
5y = 12x + 6 ….(3)
रेखा (2) की प्रवणता m₁ = \(\frac { 3 }{ 4 }\) ….(4)
[y = \(\frac { 3 }{ 4 }x\)–\(\frac { 7 }{ 4 }\) अर्थात् y = mx + c में बदलने पर)
रेखा (3) की प्रवणता m₂ = \(\frac { 12 }{ 5 }\) ….(5)
प्रश्नानुसार अभीष्ट रेखा, दी गई रेखाओं (2) व (3) से समान कोण बनाती है। माना कि यह कोण θ है। तब

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि उस रेखा का समीकरण निम्नलिखित होगा जो मूल बिन्दु से होकर गुजरती है तथा रेखा y = mx + c से θ कोण बनाती है।

हल-
माना कि मूलं बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है
y = m₁x …..(1)
तथा दी गई रेखा y = mx + c …..(2)
माना कि इन दोनों रेखाओं के बीच कोण θ है।

या (1 + m₁m) tan θ = ± (m₁ – m)
धनात्मक चिह्न लेने पर
(1 + m₁m) tan θ = m₁ – m
या tan θ + m₁m tan θ = m₁ – m
या m + tan θ = m₁ – m₁m tan θ
या m + tan θ = m₁ (1 – m tan θ)

ऋणात्मक चिह्न लेने पर
(1 + m₁m) tan θ = – (m₁ – m)
tan θ + m₁m tan θ = – m₁ + m
tan θ – m = – m₁ – m₁m tan θ
tan θ – m = – m₁ (1 + m tan θ)
m – tan θ = m₁ (1 + m tan θ)

अत: समीकरण (3) तथा (4) से स्पष्ट है कि

अतः सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण प्राप्त करने के लिए m₁ का मान समीकरण (1) में रखने पर

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a cos³θ, a sin³θ) से गुजरने वाली तथा सरल रेखा x sec θ + y cosec θ = a पर लम्ब सरल रेखा का समीकरण x cos θ – y sin θ = a cos 2θ है।
हल-
प्रश्नानुसार दी गई सरल रेखा
x sec θ + y cosec θ = a पर लम्ब रेखा का कोई समीकरण
x cosec θ – y sec θ = k होगा (जहाँ k स्वेच्छ है) ….(1)
अब यदि रेखा (1) बिन्दु (a cos³θ, a sin³θ) से गुजरती है तो x = a cos³θ, y = a sin³θ समीकरण (1) को सन्तुष्ट करेगी।
अतः a cos³θ x cosec³θ – a sin³θ sec θ = k

k के मान समीकरण (1) में रखने पर रेखा को अभीष्ट समीकरण होगा

प्रश्न 15.
एक समबाहु त्रिभुज के एक शीर्ष के निर्देशांक (2, 3) हैं तथा सम्मुख भुजा का समीकरण x + y = 2 है। शेष भुजाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
एक दिए हुए बिन्दु (x₁, y₁) से गुजरने वाली तथा दी गई रेखा y = mx + c के साथ दिया गया कोण α बनाने वाली रेखाओं के समीकरण

हल करने पर, (2 + √3)x – y = 1 + 2√3

प्रश्न 16.
उन दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (3, -2) से गुजरती हैं तथा रेखा x + √3y = 1 से 60° का कोण बनाती है।
हल-
दी गई रेखा x + √3y = 1 की प्रवणता m = \(-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
(x₁, y₁) = (3, -2)
α = 60° ⇒ tan 60° = √3
तब एक दिए हुए बिन्दु (x₁, y₁) से गुजरने वाली तथा दी गई रेखा y = mx + c के साथ कोण α बनाने वाली रेखा का समीकरण

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