Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.7
प्रश्न 1.
अतिपरवलय 9x² – 16y² = 144 के अक्षों की लम्बाइयाँ, नाभियाँ, उत्केन्द्रता, नाभिलम्बे तथा नियताओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया अतिपरवलय का समीकरण है–
9x² – 16y² = 144
प्रश्न 2.
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) नाभि (2, 1) नियता x + 2y – 1 = 0 तथा उत्केन्द्रता 2 है।
(ii) नाभि (1, 2) नियता 2x + y = 1 तथा उत्केन्द्रता √3 है।
हल-
(i) माना अतिपरवलय पर कोई बिन्दु P(h, k) है। नाभि S(2, 1) और नियता का समीकरण दिया है
x + 2y – 1 = 0
∴ अतिपरवलय की परिभाषा से
SP = e(PM)
(SP)² = e²(PM)²
⇒ (h – 2)² + (k – 1)² = \(\frac { 4 }{ 5 }\)(h + 2k – 1)²
⇒ 5[h² + 4 – 4h + k² + 1 – 2k = 4(h² + 4k² + 1 + 4hk – 4k – 2h)
⇒ 5[h² + k² – 4h – 2k + 5] = 4[h² + 4k² + 1 + 4hk – 4k – 2h]
⇒ 5h² + 5k² – 20h – 10k + 25 = 4h² + 16k² + 4 + 16hk – 16k – 8h
⇒ h² – 11k² – 12h + 6k + 21 – 16hk = 0
⇒ h² – 16hk – 11k² – 12h + 6k + 21 = 0
बिन्दु P(h, k) का बिन्दुपथ अभीष्ट अतिपरवलय है
x² – 16xy – 11y² – 12x + 6y + 21 = 0
(ii) माना अतिपरवलय का कोई बिन्दु P(h, k) है। दिया है
नाभि S(1, 2), नियता 2x + y – 1 = 0 और उत्केन्द्रता e = √3
अतिपरवलय की परिभाषा से
(SP) = e(PM)
(SP)² = e²(PM)²
⇒ (h – 1)² + (k – 2)² = \(\frac { 3 }{ 5 }\)(2h + k – 1)²
⇒ 5[h + 1 – 2h + k² + 4 – 4k] = 3(4h² + k² + 1 + 4hk – 2k – 4h)
⇒ 5h² + 5 – 10h + 5k² + 20 – 20k = 12h² + 3k² + 3 + 12hk – 6k – 12h
⇒ 5h² + 5k² – 10h – 20k + 25 = 12h² + 3k² – 12h – 6k + 12hk + 3
⇒ 7h² – 2x² + 12hk – 2h + 14k – 22 = 0
अतः बिन्दु P(h, k) का अभीष्ट बिन्दु पथ जो कि एक अतिपरवलय है-
7x² – 2y² + 12xy – 2x + 14 – 22 = 0
प्रश्न 3.
अतिपरवलय x² – 6x – 4y² – 16y – 11 = 0 के शीर्ष, नाभियाँ, नाभिलम्ब तथा उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया अतिपरवलय है-
⇒ x² – 6x – 4y² – 16y – 11 = 0
⇒ x² – 6x + 9 – (4y² + 16y) – 11 – 9 = 0
⇒ x² – 6x + (3)² – 4(y² + 4y + 4 – 4) – 20 = 0
⇒ (x – 3)² – 4(y + 2)² + 16 – 20 = 0
⇒ (x – 3)² – 4(y + 2)² = 4
प्रश्न 4.
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि
(i) नाभिलम्ब की लम्बाई 8 तथा संयुग्मी अक्ष = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(नाभियों के मध्य की दूरी)
(ii) नाभियों के मध्य की दूरी 16 तथा संयुग्मी अक्ष √2 हो।
(iii) संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 7 तथा बिन्दु (3, -2) से गुजरता हो ।
हल-
(i) यहाँ नाभिलम्ब की लम्बाई
\(\frac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =8\)
b² = 4a ….(1)
तथा, संयुग्मी अक्ष = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x नाभियों के मध्य की दूरी
⇒ 2b = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(2ae) = ae
⇒ 2b = ae ….(2)
⇒ b² = a²(e² – 1)
⇒ b² = a²e² – a²
⇒ b² = (2b)² – a²
⇒ a² = 4b² – b² = 3b²
⇒ a² = 3b² …(3)
समीकरण (1) में मान रखने पर
\(\frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } =4a\)
⇒ a = 12
a का मान समीकरण (3) में रखने पर—
(12)² = 3b²
⇒ \(\frac { 144 }{ 3 }\) = b² ∴ b = 48
अभीष्ट अतिपरवलय का समीकरण
(ii) नाभियों के बीच की दूरी 2ae = 16
तथा उत्केन्द्रता e = √2
2 x √2a = 16
(iii) संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 2b = 7
∴ \(b=\frac { 7 }{ 2 }\)
अतः अतिपरवलय का समीकरण
∵ अतिपरवलय (1) बिन्दु (3, -2) से गुजरता है, अतः
अभीष्ट अतिपरवलय का समीकरण
प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि सरल रेखाओं \(\frac { x }{ a } -\frac { y }{ b } =m\) तथा \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =\frac { 1 }{ m } \) के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ अतिपरवलय होता है।
हल-
दी गई सरल रेखाएँ हैं
जो अतिपरवलय का समीकरण है।
प्रश्न 6.
अतिपरवलय 5x² – 9y² = 45 तथा रेखा y = x + 2 के उभयनिष्ठ बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल-
अतिपरवलय का समीकरण
5x² – 9y² = 45 ……..(1)
रेखा का समीकरण-
y = x + 2 ……(2)
समीकरण (1) में y का मान रखने पर-
⇒ 5x² – 9(x + 2)² = 45
⇒ 5x² – 9(x² + 4x +4) = 45
⇒ 5x² – 9x² – 36x – 36 = 45
⇒ – 4x² – 36x – 36 – 45 = 0
⇒ – 4x² – 36x – 81 = 0
⇒ 4x² + 36x + 81 = 0
⇒ 4x² + 18x + 18x + 81 = 0
⇒ 2x(2x + 9) + 9(2x + 9) = 0
⇒ (2x + 9)(2x + 9) = 0
⇒ (2x + 9)² = 0
या 2x + 9 = 0
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि रेखा lx + my = 1 अतिपरवलय \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) को स्पर्श करेगी यदि a²l² – b²m² = 1
हल-
अतिपरवलय में कोई रेखा y = mx + c अतिपरवलय को स्पर्श करती हो तो उसके लिए आवश्यक प्रतिबन्ध होता है
c² = a²m² – b²
रेखा के समीकरण से-
lx + my = 1
my = – lx + 1
प्रश्न 8.
अतिपरवलय 4x² – 4y² = 1 की स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा 4y = 5x + 7 के समान्तर हो ।
हल-
माना रेखा 4y = 5x +7 के समान्तर रेखा का समीकरण है–
4y = 5x + k
चूँकि यह अतिपरवलय 4x² – 4y² = 1 को स्पर्श करती है, अतः
⇒ 16x² – (5x + k)² = 4
⇒ 16x² – 25x² – 10xk – k² = 4
⇒ – 9x² – 10xk – k² – 4 = 0
या 9x² + 10x + k² + 4 = 0
के मूल समान होने चाहिए।
⇒ 100k² = 4 x 9 x (k² + 4)
⇒ 25k² = 9k² + 36
⇒ 16k² = 36
⇒ k = ± \(\frac { 3 }{ 2 }\)
अत: अभीष्ट समीकरण
4y = 5x ± \(\frac { 3 }{ 2 }\)
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि अतिपरवलय की किसी स्पर्श रेखा पर नाभि से डाले गये लम्ब के पाद का बिन्दुपथ वृत्त होता है।
हल-
माना अतिपरवलय है–
समीकरण (2) व (3) का वर्ग करके जोड़ने पर
⇒ (y – mx)² + (x + my)² = a²m² – b² + c²
⇒ y² + m²x² – 2mry + x² + m²y² + 2mxy = a²m² – b² + c²
⇒ (1 + m)²y² + (1 + m)²x² = a²m² = c² – b²
⇒ (1 + m)² (x² + y²) = a²m² + a²(∵ c² = a² + b²)
⇒ (1 + m)²(x² + y²) = (1 + m²)a²
⇒ x² + y² = a²
जो कि एक वृत्त का समीकरण है।
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