RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
वृत्त 9x² + y² + 8x = (x² – y²) की त्रिज्या है-
(A) 1
(B) 2
(C) \(\frac { 4 }{ 5 }\)
(D) \(\frac { 5 }{ 4 }\)
हल :
(C)

प्रश्न 2.
उस वृत्त को समीकरण जिसका केन्द्र प्रथम पाद में (α, β) है। तथा x-अक्ष को स्पर्श करता है, होगा-
(A) x² + y² – 2αx – 2βy + α² = 0
(B) x² + y² + 2αx – 2βy + α² = 0
(C) x² + y² – 2αx + 2βy + α² = 0
(D) x² + y² + 2αx + 2βy + α² = 0
हल :
(A)

प्रश्न 3.
यदि रेखा y = mx + c वृत्त x² + y² = 4y को स्पर्श करे तो c का मान है

हल :
(C)

प्रश्न 4.
रेखा 3x + 4y = 25 वृत्त x² + y² = 25 को किस बिन्दु पर स्पर्श करती है
(A) (4, 3)
(B) (3, 4)
(C) (-3, -4)
(D) (3, -4)
हल :
(B)

प्रश्न 5.
एक शांकवीय परिच्छेद परवलय होगा, यदि
(A) e = 0
(B) e < 1
(C) e > 1
(D) e = 1
हल :
(C)

प्रश्न 6.
परवलय x² = – 8y की नियता को समीकरण है
(A) y = -2
(B) y = 2
(C) x = 2
(D) x = -2
हल :
(B)

प्रश्न 7.
परवलय x² + 4x + 2y = 0 का शीर्ष है
(A) (0, 0)
(B) (2, -2)
(C) (-2, -2)
(D) (-2, 2)
हल :
(D)

प्रश्न 8.
यदि किसी परवलय की नाभि (-3, 0) तथा नियता x + 5 = 0 हों तो इसका समीकरण होगा
(A) y² = 4(x + 4)
(B) y² + 4x + 16 = 0
(C) y² + 4x = 16
(D) x² = 4(y + 4)
हल :
(A)

प्रश्न 9.
किसी परवलय के शीर्ष एवं नाभि क्रमशः (2, 0) तथा (5, 0) हो, तो इसका समीकरण होगा
(A) y² = 12x + 24
(B) y² = 12x – 24
(C) y² = -12x – 24
(D) y² = -12x + 24
हल :
(B)

प्रश्न 10.
परवलय x² = -8y की नाभि है
(A) (2, 0)
(B) (0, 2)
(C) (-2, 0)
(D) (0, -2)
हल :
(D)

प्रश्न 11.
परवलय y² = x की किसी स्पर्श रेखा का समीकरण है-
(A) y = mx + 1/m
(B) y = mx + 1/4m
(C) y = mx + 4/m
(D) y = mx + 4m
हल :
(B)

प्रश्न 12.
यदि रेखा 2y – x = 2 परवलय y² = 2x को स्पर्श करती हो, तो स्पर्श बिन्दु है
(A) (4, 3)
(B) (-4, 1)
(C) (2, 2)
(D) (1, 4)
हल :
(C)

प्रश्न 13.
परवलय x² = 8y की रेखा x + 2y + 1 = 0 के समान्तर स्पर्श रेखा का समीकरण है-
(A) x + 2y + 1 = 0
(B) x – 2y + 1 = 0
(C) x + 2y – 1 = 0
(D) x – 2y + 1 = 0
हल :
(A)

प्रश्न 14.
परवलय y² = 4x का एक अभिलम्ब है
(A) y = x + 4
(B) y + x = 3
(C) y + x = 2
(D) y + x = 1
हल :
(B)

प्रश्न 15.
दीर्घवृत्त 3x² + 4y² = 12 के अर्द्धनाभिलम्ब की लम्बाई होगी-

हल :
(A)

प्रश्न 16.
दीर्घवृत्त 3x² + 4y² = 12 की उत्केन्द्रता होगी–
(A) -2
(B) 1/2
(C) 1
(D) 2
हल :
(B)

प्रश्न 17.
यदि रेखा y = mx + c दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) का स्पर्श करती है तो c का मान होगा-

हल :
(C)

प्रश्न 18.
दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) (b > a) के नाभियों के निर्देशांक होंगे-
(A) (±ae, 0)
(B) (±be, 0)
(C) (0, ±ae)
(D) (0, ±be)
हल :
(D)

प्रश्न 19.
आयतीय अतिपरवलय की उत्केन्द्रता होगी
(A) 0
(B) 1
(C) √2
(D) 2
हल :
(C)

प्रश्न 20.
अतिपरवलय 9x² – 16y² = 144 की उत्केन्द्रता होगी
(A) 1
(B) 0
(C) \(\frac { 5 }{ 16 }\)
(D) \(\frac { 5 }{ 4 }\)
हल :
(D)

प्रश्न 21.
उस वृत्त का समीकरण लिखिए जिसका केन्द्र (a cos α, a sin α) तथा त्रिज्या a है।
हुल-
केन्द्र (a cos α, a sin α) एवं त्रिज्या a वाले वृत्त का समीकरण
(x – a cos α)² + (y – a sin α)² = a² [∵ (x – h)² + (y – k)² = r²]
⇒ x² + a² cos² α – 2ax cos α + y² + a² sin² α – 2ay sin α = a²
⇒ x² – 2ax cos α – 2ay sin α + y² + a²(cos² α + sin² α) = a²
⇒ x² + y² – 2ax cos α – 2ay sin α + a² = a²
⇒ x² + y² – 2ax cos α – 2ay sin α = 0

प्रश्न 22.
यदि वृत्त x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 के बिन्दु (x₁, y₁) तथा (x₂, y₂) पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हों तो सिद्ध कीजिए.
x₁x₂ + y₁y₂ + g(x₁ + x₂) + f (y₁ + y₂) + g² + f² = 0
हल :
दिया गया वृत्त का समीकरण-
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
बिन्दु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
(x₁ + g)x + (y₁ + f)y + gx₁ + fy₁ + c = 0

इसी तरह से (x₂, y₂) पर स्पर्श रेखा का समीकरण होगा
(x₂ + g)x + (y₂ + f)y + gx₂ + fy₂ + c = 0
रेखा का ढाल

(x₁ + g)(x₂ + g) = -(y₁ + f)(y₂ + f)
x₁x₂ + x₁g + gx₂ + g² = – y₁y₂ – y₁f – fy₂ – f²
x₁x₂ + y₁y₂ + g(x₁ + x₂) + f(y₁ + y₂) + g² + f² = 0
इतिसिद्धम्

प्रश्न 23.
r त्रिज्या वाले उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र प्रथम पाद में स्थित है तथा y-अक्ष को मूल बिन्दु से h दूरी पर स्पर्श करता है। मूल बिन्दु से होकर जाने वाली दूसरी स्पर्श रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल-
उस वृत्त का समीकरण जो y-अक्ष को मूल बिन्दु से h दूरी पर
स्पर्श करता है व जिसकी त्रिज्या r हो, होगा
(x – r)² + (y + h)² = r² ….(1)

माना मूल बिन्दु से होकर जाने वाली दूसरी स्पर्श रेखा को समी. y = mx है।
चूँकि रेखा y= mx वृत्त (1) को स्पर्श करती है, अतः (1) के केन्द्र से रेखा y = mx पर डाले गए लम्ब की लम्बाई r होगी।

या (r² – h²)x + 2rhy = 0

प्रश्न 24.
वृत्त x² + y² = a² के बिन्दु (α, β) पर खींची गई स्पर्श रेखा अक्षों को क्रमशः A एवं B बिन्दुओं पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल \(\frac { { a }^{ 4 } }{ 2\alpha \beta } \) होगा, जहाँ O मूल बिन्दु है।
हल-
वृत्त पर बिन्दु (α, β) पर स्पर्श रेखा का समीकरण-
xα + yβ = a²

प्रश्न 25.
वृत्त x² + y² = a² पर उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो अक्षों के साथ a² क्षेत्रफल वाला त्रिभुज निर्मित करती है।
हल-
माना कि वृत्त पर स्थित बिन्दु P(a cos θ, a sin θ) हैं एवं P पर स्पर्श रेखा का समीकरण होता है
x × a cos θ + y × a sin θ = a²
x cos θ + y sin θ = a ….(1)
बिन्दु A रेखा (1) तथा x-अक्ष का प्रतिच्छेद बिन्दु है। अतः

इसी प्रकार अन्य चतुर्थांशों में प्राप्त स्पर्श रेखाओं के समीकरण
x – y = √2a
-x + y = √2a
– x – y = √2a
संयुक्त रूप से
± x ± y = √2a

प्रश्न 26.
परवलय x² – 4x – 8y = 4 की नाभि के निर्देशांक लिखिए।
हल-
x² – 4x – 8y = 4.
⇒ x² – 4x = 4 + 8y
⇒ x² – 4x + 4 = 8 + 8y
⇒ (x – 2)² = 8(1 + y)
माना x – 2 = X
1 + y = Y
∴ X² = 8Y
∴ 4a = 8 ∴ a = 2
अतः नाभि (0, a) = (0, 2) लेकिन x – 2 = 0 ∴ x = 2
y + 1 = 2 ∴ y = 1
अतः नाभि के निर्देशांक (2, 1)

प्रश्न 27.
परवलय x² – 4x – 4y + 4 = 0 की उत्केन्द्रता लिखिए।
हल-
x² – 4x = 4y – 4
x² – 4x + 4 = 4y – 4 + 4
(x – 2)² = 4y ⇒ X² = 4Y
4a = 4 ∴ a = 1
नाभि (0, 1) अर्थात् X = 0, Y = 1
x – 2 = 0 ∴ x = 2
अत: y = 1
अतः उत्केन्द्रता e = 1

प्रश्न 28.
रेखा lx + my + n = 0 के परवलय y² = 4ax को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध लिखिए।
हल-
ln = am²

प्रश्न 29.
उसे परवलय का समीकरण लिखिए जिसका शीर्ष (0, 0) तथा नाभि (0, -a) हो।
हल-
x² = – 4ay

प्रश्न 30.
परवलय 9y² – 16x – 12y – 57 = 0 के अक्ष का समीकरण लिखिए।
हल-
दिया गया है
9y² – 16x – 12y – 57 = 0
⇒ 9y² – 12y = 16x + 57
⇒ 9y² – 12y + 4 = 16x + 57 + 4

Y² = 16X
अक्ष का समीकरण Y = 0
∴ 3y – 2 = 0
या 3y = 2

प्रश्न 31.
दीर्घवृत्त

के केन्द्र के निर्देशांक लिखिए।
हल :

पूर्ण वर्ग बनाने पर

अतः दीर्घवृत्त के केन्द्र के निर्देशांक (\(\frac { a }{ 2 }\), \(\frac { b }{ 2 }\))

प्रश्न 32.
रेखा x cos α + y sin α = p के दीर्घवृत्त \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध लिखिए।
हल :
p² = a² cos² α + b² sin² α

प्रश्न 33.
अतिपरवलय का समीकरण लिखिए जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्मी अक्ष क्रमशः 4 तथा 5 हैं ।
हल-
दिया गया है– 2a = 4
∴ a = 2 और a² = 4
इसी प्रकार से— 2b = 5
b = \(\frac { 5 }{ 2 }\)
∴ b² = \(\frac { 25 }{ 4 }\)
अतः अतिपरवलय का समीकरण होगा
\(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)

प्रश्न 34.
अतिपरवलय

के केन्द्र के निर्देशांक लिखिए।
हल-
हम जानते हैं अतिपरवलय-
\(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\) का केन्द्र (0, 0) होता है।
∴ x – 1 = 0 ∴ x = 1
इसी प्रकार से– y + 2 = 0 ∴ y = – 2
अतः केन्द्र के निर्देशांक = (1, -2)

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