RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.1

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित को सरलतम रूप में लिखिए
(i) i⁵²
(ii) √-2√-3
(iii) (1 + i)⁵(1 – i)⁵
हल-
(i) i2 = (i) = (1) = 1 ∵ i = 1 होता है।
(ii) √-2√-3 = √2 x √-1 x √3 x √-1
= √2i x √3i = √2 x √3i²
= √6i²
= √-6 ∵ i² = -1
(iii) (1 + i)⁵(1 – i)⁵
= [(1 +i) (1 – i)]⁵ = ((1)² – (i)²)⁵
= (1 + 1)⁵ = 2⁵ = 32 ∵i² = -1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के योज्य एवं गुणन प्रतिलोम ज्ञात कीजिए-
(i) 1 + 2i
(ii) \(\frac { 1 }{ 3+4i }\)
(iii) (3 + i)²
हल-
(i) माना 1 + 2i का योज्य प्रतिलोम (a + ib) है।
⇒ (1 + 2i) + (a + ib) = 0 + i0
⇒ (1 + a) + i(2 + b) = 0 + i0
⇒ 1 + a = 0 एवं 2 + b = 0
⇒ a = -1 एवं b = -2
अतः (1 + 2i) का योज्य प्रतिलोम (-1 – 2i) है।

(ii) \(\frac { 1 }{ 3+4i }\)
a + ib के रूप में लिखने के लिए अंश तथा हर में (3 + 4i) के संयुग्मी से गुणा करने पर

(iii) (3 + i)² = (3)² + 2 x 3 x i + i²
= 9 + 6i – 1 ∵ i² = -1
8 + 6i
माना 8 + 6i का योज्य प्रतिलोम (a + ib) है।
⇒ (8 + 6i) + (a + ib) = 0 + 0.i
= (8 + a) + (6 + b)i = 0 + 0.i
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों को अलग-अलग करने पर
8 + a = 0 ∴ a = -8
‘इसी तरह से 6 + b = 0 ∴ b = 0 – 6 = -6
अतः (8 + 6i) का योज्य प्रतिलोम = (-8 – 6i) है।
8 + 6i का गुणन प्रतिलोम = \(\frac { 1 }{ 8+6i }\)

प्रश्न 3.
सम्मिश्र संख्या \(\frac { { \left( 2+i \right) }^{ 3 } }{ 3+i } \) की संयुग्मी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के मापांक ज्ञात कीजिए
(i) 4 + i
(ii) – 2 – 3i
(iii) \(\frac { 1 }{ (3-2i) }\)
हल-
(i) माना z = 4 + i

(ii) z = – 2 – 3i

(iii) माना \(z=\frac { 1 }{ 3-2i }\)
अंश तथा हर में (3 – 2i) के संयुग्मी से गुणा करने पर

प्रश्न 5.
यदि a² + b² = 1 तो \(\frac { 1+b-ia }{ 1+b+ia }\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
\(\frac { 1+b-ia }{ 1+b+ia }\)
अंश तथा हर में (1 + b – ia) के संयुग्मी से गुणा करने पर।

लेकिन दिया गया है a² + b² = 1 मान रखने पर

प्रश्न 6.
यदि a = cos θ + i sin θ तब \(\frac { 1+a }{ 1-a }\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = cos θ + i sin θ

प्रश्न 7.
समीकरण

हल-

प्रश्न 8.
यदि z₁ तथा z₂, कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि
|z₁ + z₂|² + |z₁ + z₂|² = 2|z₁|² + 2|z₂|²
हल-

प्रश्न 9.
यदि a + ib = \(\frac { c+i }{ c-i }\), जहाँ c एक वास्तविक संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि a² + b² = 1 और है \(\frac { b }{ a } =\frac { 2c }{ { c }^{ 2 }-1 } \)
हल-
दिया है a + ib = \(\frac { c+i }{ c-i }\) …..(1)
इसका संयुग्मी लिखने पर
a – ib = \(\frac { c-i }{ c+i }\) …..(2)
समी. (1) तथा (2) का गुणा करने पर

प्रश्न 10.
यदि (x + iy)^1/3 = (a + ib) है तो सिद्ध कीजिए कि

हल-
दिया गया है।
(x + iy)^1/3 = (a + ib)
दोनों तरफ घन करने पर
((x + iy)^1/3)³ = (a + ib)³
x + iy = (a + ib)³
या (a + ib)³ = x + iy
या a³ + i³b³ + 3ia²b + 3i²ab² = x + iy
या a³ – ib³ + 3ia²b – 3ab² = x + iy
या (a³ – 3ab²) + i(3a²b – b³) = x + iy
वास्तविक तथा काल्पनिक भाग को अलग-अलग करने पर
अतः x = a³ – 3ab²
तथा 3a²b – b³