RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.3

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.3

प्रश्न 1.
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार के गुणांक क्रमशः C₀, C₁, C₂, ………. C_n हो, तो मान ज्ञात कीजिए-
(i) ⁸C₁ + ⁸C₂ + ⁸C₃ + …… ⁸C₈
(ii) ⁸C₁ + ⁸C₃ + ⁸C₅ + ⁸C₇ + ……..
हल-
(i) चूँकि हम जानते हैं कि
ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ….. + ⁿC_n = 2ⁿ
1 + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ +….. + ⁿC_n = 2ⁿ
∴ ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + ….. + ⁿC_n = 2ⁿ – 1
n = 8 रखने पर
⁸C₁ + ⁸C₂ + ⁸C₃ + ….. + ⁸C₈ = 2⁸ – 1
= 256 – 1 = 255

(ii) द्विपद गुणांकों के गुणधर्म से हम जानते हैं ।
2(ⁿC₁ + ⁿC₃ + ⁿC₅ + ……) = 2ⁿ
या ⁿC₁ + ⁿC₃ + ⁿC₅ + …. = 2^n-1
n = 8 रखने पर
⁸C₁ + ⁸C₃ + ⁸C₅ + …… = 2^8-1 = 2⁷
= 128
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार के गुणांक क्रमशः C₀, C₁, C₂ ,…… C_n हो, तब सिद्ध कीजिए

प्रश्न 2.
C₀ + 3.C₁ + 5.C₂ +……. + (2n + 1). C_n = (n + 1)2ⁿ
हल-
L.H.S. C₀ + 3.C₁ + 5.C₂ + ……. + (2n + 1) . C_n
= (C₀ + C₁ + C₂ + C₃ + ….. + C_n) + (2.C₁ + 4.C₂ + 6.C₃ + …… + 2nC_n)
= 2ⁿ + 2(C₁ + 2C₂ + 3C₃ …… + n.C_n).

= 2ⁿ + 2n[1 + ^n-1C₁ + ^n-1C₂ + ^n-1C₃ +….. ^n-1C_n-1].
= 2ⁿ + 2n.2^n-1
= 2ⁿ + n.2ⁿ
= (n + 1)2ⁿ
= R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 3.
C₀C₂ + C₁C₃ + C₂C₄ +…… + C_n-2C_n =

हल :
(1 + x)ⁿ = (C₀ + C₁x + C₂x² + C₃x³ + ….. + C_nxⁿ) ….(1)
(x + 1)ⁿ = (C₀xⁿ + C₁x^n-1 + C₂x^n-2 + …… + C_n) …(2)
समी. (1) तथा (2) का गुणा करने पर
(1 + x)ⁿ × (x + 1)ⁿ
= (C₀ + C₁x + C₂x² + C₃x³ + ….. + C_nxⁿ) ×
(C₀xⁿ + C₁x^n-1 + C₂x^n-2 + …… + C_n)
दोनों पक्षों में x^n-r के गुणांकों की तुलना करने पर
²ⁿC_n-r = C₀C_r + C₁r_r+1 + …… + C_n-r C_r
r = 2 रखने पर
²ⁿC_n-2 = C₀C₂ + C₁C₃ + C₂C₄ …… C_n-2C_n

प्रश्न 4.
C₀ + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + ….. + 2nC_n = 1 + n2ⁿ
हल-
L.H.S.
C₀ + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + ….. + 2ⁿC_n
= 1 + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + …… + 2ⁿC_n
∵ C₀ = 1
= 1 + 2(C₁ + 2C₂ + 3C₃ +…….. + ⁿC_n)
= 1 + 2(ⁿC₁ + 2.ⁿC₂ + 3.ⁿC₃+ ……. + n.ⁿC_n)

प्रश्न 5.

हल-
सभी के मान निकालने पर

प्रश्न 6.
यदि (1 + x – 2x²)⁶ का पूर्ण प्रसार 1 + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …….. + a₁₂x¹² द्वारा निरूपित हो, तब सिद्ध कीजिए, a₂ + a₄ + a₆ + ……… a₁₂ = 31
हल-
x = -1 रखने पर
(1 – 1 – 2(-1)²)⁶ = 1 – a₁ + a₂ – a₃ + ….. + a₁₂
अर्थात् (-2)⁶ = 1 – a₁ + a₂ – a₃ + a₄ – a₅ + …… + a₁₂
64 = 1 – a₁ + a₂ – a₃ + a₄ – a₅ + …… + a₁₂ ….(1)
अब x = 1 रखने पर
(1 + 1 – 2.1²)⁶ = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ……. + a₁₂
(2 – 2)⁶ = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + …….. a₁₂
0 = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ……. + a₁₂ ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
64 = 2 + 2a₂ + 2a₄ + …… + 2a₁₂
64 = 2(1 + a₂ + a₄ + …… + a₁₂)
या = (1 + a₂ + a₄ + …… + a₁₂)
32 = 1 + a₂ + a₄ + ….. + a₁₂
या a₂ + a₄ + a₆ + ……. + a₁₂ = 32 – 1 = 31
अतः a₂ + a₄ + a₆ + ……. + a₁₂ = 31 इतिसिद्धम्

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