RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.4

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विपदों का चार पदों तक प्रसार कीजिए
(i) (1 + x²)^-2
हल-
(i) (1 + x²)^-2
हम जानते हैं।

चार पदों तक प्रसार लेने पर
= 1 – 2x² + 3x⁴ – 4x⁶

(ii) \({ \left( 1-\frac { x }{ 2 } \right) }^{ 1/2 }\)
हल-
\({ \left( 1-\frac { x }{ 2 } \right) }^{ 1/2 }\)
हम जानते हैं।

(iii) (3 – 2x²)^-2/3
हल-
(3 – 2x²)^-2/3

चार पदों तक प्रसार लेने पर

(iv) \(\frac { 1 }{ \sqrt { 5+4x } } \)
हल-

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रसारों में वांछित पद ज्ञात कीजिए
(i) (1 – 3x)^-1/3 का चौथा पद
हल-
(1 – x)^-n के प्रसार में व्यापक पद

चौथा पद ज्ञात करने के लिए r = 3 रखने पर

(ii) (1 + x)^5/2 का सातवाँ पद
हल-
(1 + x)ⁿ के प्रसार में व्यापक पद

सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए r = 6 रखने पर

(iii) (1 + 2x)^-1/2 का आठवाँ पद
हल-
(1 + x)^-n का व्यापक पद

आठवाँ पद ज्ञात करने के लिए r = 7 लेने पर

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रसारों का व्यापक पद ज्ञात कीजिए।
(i) (a³ – x³)^2/3
हल-
(a³ – x³)^2/3

(ii) (1 – 2x)^-3/2
हल-
(1 – 2x)^-3/2
हम जानते हैं

(iii) (1 – x)^p/q
हल-
(1 – x)^p/q
हम जानते हैं (1 – x)^-n का व्यापक पद

प्रश्न 4.
यदि x < 3 हो, तो (3 – x)^-8 के प्रसार में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है- x < 3

प्रश्न 5.
(a + 2bx²)^-3 के प्रसार में x⁶ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 6.
\(\frac { { 1+3x }^{ 2 } }{ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \) के प्रसार में x¹⁰ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल :
\(\frac { { 1+3x }^{ 2 } }{ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } \)
(1 + 3x²)(1 – x²)^-3
(1 + 3x²)(1 + 3x² + 6(x²)² + 10(x²)³ + 15(x²)⁴ + 21(x²)⁵ + ……
(1 + 3x²)(1 + 3x² + 6x⁴ + 10x⁶ + 15x⁸ + 21x¹⁰ + …..)
x¹⁰ के गुणांक का मान निकालने पर,
21 + 3 x 15 = 21 + 45 = 66

प्रश्न 7.
(1 – 2x + 3x² – 4x³ +….)ⁿ के विस्तार में x^r का गुणांक ज्ञात कीजिए तथा यदि x = \(\frac { 1 }{ 2 }\) और n = 1 हो, तो व्यंजक का मान लिखिए।
हल-
माना S = 1 – 2x + 3x² – 4x³ + ……
xS = x – 2x² + 3x³ + ……
दोनों को जोड़ने पर
S(1 + x) = 1 – x + x² – x³ + ………

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए
(1 + x + x² + x³ + ……)² = 1 + 2x + 3x² + ……
हल-
L.H.S.
(1 + x + x² + x³ + ……)²
= [(1 – x)^-1]² ∵ (1 – x)^-1 = 1 + x + x² + x³ + ….. ∞
= (1 – x)^-2
= 1 + 2x + 3x² + ……… ∞
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए (1 + x + x² + x³ + …….∞)(1 + 3x + 6x² + ……∞) = (1 + 2x + 3x² + ……∞)²
हल-
L.H.S.
(1 + x + x² + x³ + …….∞)(1 + 3x + 6x² + ……∞) = (1 – x)^-1 x (1 – x)^-3
प्रसार से हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं
= (1 – x)^-4 = ((1 – x)^-2)²
मान रखने पर
= (1 + 2x + 3x² + 4x³ + …….∞)² = R.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 10.
यदि x = 2y + 3y² + 4y³ +…… है, तो y को x की आरोही घातों की श्रेणी के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल-
दिया गया है
x = 2y + 3y² + 4y³ + ………
दोनों तरफ 1 जोड़ने पर
(1 + x) = 1 + 2y + 3y² + 4y³ + ……..
(1 + x) = (1 – y)^-2
या (1 – y) = (1 + x)^-1/2
या y = 1 – (1 + x)^-1/2

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