Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.3
प्रश्न 1.
(i) श्रेढ़ीं 1 + 3 + 9 + 27 + ….. का 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
(ii)
का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल-
(i) 1 + 3 + 9 + 27 +…का 7 वाँ पद ?
प्रथम पद (a) = 1
सार्वअनुपात r = \(\frac { 3 }{ 1 }\) = 3
पदों की संख्या n = 7
प्रश्न 2.
(i) श्रेढी 64 + 32 + 16 + 8 +….. का कौनसा पद 1/64 है ?
(ii) श्रेढ़ी
का कौनसा 3/256 है ?
हल-
(i) श्रेढ़ी 64 + 32 + 16 + 8 +…..
प्रथम पद (a) = 64
आधार समान हैं घातें भी बराबर होंगी
∴ 12 = n – 1 ⇒ n = 13
(ii)
आधार समान हैं घातें भी बराबर होंगी।
∴ n – 1 = 9 ⇒ n = 10
प्रश्न 3.
गुणोत्तर श्रेढ़ी 5 + 10 + 20 + 40 +…… का सार्वअनुपात तथा n वाँ पद ज्ञात कीजिये ।
हल-
गुणोत्तर श्रेढी
5 + 10 + 20 + 40 + ……
प्रथम पद (a) = 5
सार्वअनुपात = \(\frac { 10 }{ 5 }\) = 2
श्रेढ़ी का nवाँ पद Tn = arn-1
= 5.(2)n-1 = 5.2n-1
प्रश्न 4.
गुणोत्तर श्रेढ़ी 2, 6, 18, 54,………, 118098 का अन्त से 5वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है
a = 2
r = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3
या 59049 = 3
या 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3n-1
(3)10 = 3n-1
आधार समान हैं घातें भी बराबर होंगी।
∴ 10 = n – 1 ∴ n = 10 + 1 = 11
हम जानते हैं अन्त से p वाँ पद = arn-p होता है।
= 2 x (3)11-5 = 2 x (3)6
= 1458
प्रश्न 5.
एक गुणोत्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद 32 तथा 7वाँ पद 8192 है, तो श्रेढ़ी को 10वाँ पद ज्ञात कीजिये ।
हल-
दिया है– T3 = 32
T7 = 8192
T10 = ?
प्रश्नानुसार 32 = T3 = ar2 ….(1)
8192 = T7 = ar6 ….(2)
समी.(2) में समी. (1) का भाग देने पर
r4 = 256
∴ r = (256)1/4 = (28)1/4 = 28/4
r = 22 = 4
r का मान समी. (1) में रखने पर।
32 = a x (4)2
16d = 32 ∴ a = \(\frac { 32 }{ 16 }\) = 2
इसलिए T10 = ar9 = 2 × (4)9
= 2 × (22)9
= 21 × 218 = 219
प्रश्न 6.
गुणोत्तर श्रेढी ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 1 तथा सातवाँ पद 16 है ।
हल-
दिया है T3 = 1
तथा T7 = 16
प्रश्नानुसार T3 = 1 = ar2 ….(1)
T7 = 16 = ar6 ….(2)
समी. (2) में समी. (1) का भाग देने पर
प्रश्न 7.
(i) 3 तथा 48 के मध्य 3 गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिये ।
(ii) 2 व 256 के मध्य 6 गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिये।
हल-
(i) माना 3 तथा 48 के मध्य तीन गुणोत्तर माध्य G1, G2, G3 है
अतः 3, G1, G2, G3, 48 गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
प्रथम पद a = 3
अन्तिम पद (b) = 48
और पदों की संख्या = 5
b = arn-1 ∴ 48 = 3(r)5-1
या \(\frac { 48 }{ 3 }\) = r4
या r4 = 16 ∴ r = (16)1/4 = (24)1/4
r = 2
∴ G1 = ar = 3 x 2 = 6
G2 = a2 = 3 x (2)2 = 3 x 4 = 12
G3 = ar3 = 3 x (2)3 = 3 x 8 = 24
अतः 3 और 48 के मध्य तीन गुणोत्तर माध्य 6, 12 तथा 24 होंगे।
(ii) दिया है a = 2 तथा b = 256
2 व 256 के मध्य 6 गुणोत्तर माध्य G1, G2, G3, G4, G5, G6 हैं।
2, G1, G2, G3, G4, G5, G6, 256
∴ b = arn-1
256 = 2.(r)8-1
या \(\frac { 256 }{ 2 }\) = r7
या 128 = r7 ∴ r = (128)1/7 = (27)1/7
इसलिए r = 2
अतः G1 = ar = 2 x 2 = 4
G2 = ar2 = 2 x 22 = 2 x 4 = 8
G3 = ar3 = 2 x 23 = 2 x 8 = 16
G4 = ar4 = 2 x 24 = 2 x 16 = 32
G5 = ar5 = 2 x 25 = 2 x 32 = 64
G6 = ar6 = 2 x 26 = 2 x 64 = 128
अतः 2 व 256 के मध्य 6 गुणोत्तर माध्य 4, 8, 16, 32, 64 तथा 128 होंगे।
प्रश्न 8.
x के किस मान के लिए संख्याएँ x, x + 3, x + 9 गुणोत्तर श्रेढ़ी। में हैं ?
हल-
यहाँ पर संख्याएँ x, x + 3, x + 9 GP. में हैं। इसलिए
(x + 3)² = (x) × (x + 9) ∵ b² = ac
⇒ x² + 6x + 9 = x² + 9x
या 3x = 9 ∴ x = 3
अतः x = 3 के लिए संख्याएँ x, x + 3 तथा x + 9 गुणोत्तर श्रेढी में होंगी।
प्रश्न 9.
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिये जो गुणोत्तर श्रेढ़ी में हों, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 4 अधिक है तथा दूसरी पद चौथे पद से 36 अधिक है।
हल-
माना गुणोत्तर श्रेढ़ी के चार पद निम्न हैं—
a, ar; ar², ar³
प्रश्नानुसार a + 4 = ar² प्रथम शर्त से
ar = ar³ + 36 दूसरी शर्त से
ar² – a = 4
a(r² – 1) = 4 ….(1)
ar³ – ar = – 36
ar(r² – 1) = – 36 …….(2)
समी. (2) में (1) का भाग देने पर
समी. (1) में मान रखने पर
a((-9)² – 1) = 4
a(81 – 1) = 4
प्रश्न 10.
किसी गु. श्रे. का चौथा पद p, सातवाँ पद q तथा दसवाँ पद r है, तो सिद्ध कीजिये q² = pr
हल-
दिया है
T4 = p,
T7 = q
T10 = r
प्रश्नानुसार लेने पर
p = T4 = ar3 ….(1)
q = T7 = ar6 ….(2)
r = T10 = ar9 ….(3)
सिद्ध करना है- q2 = pr
R.H.S. pr = ar3 . ar9
(p तथा r का मान समी. (1) तथा (3) में रखा है।)
= a2 r12
= (ar6)2 = (q)2 = L.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.
प्रश्न 11.
यदि गु. श्रे. में (p + q) वाँ पद x तथा (p – q) वाँ पद y है, तो p वाँ पद ज्ञात कीजिये।
हल-
दिया है-
Tp+q = x
Tp-q = y
प्रश्नानुसार x = arp+q-1 …….(1)
y = arp-q-1 ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को गुणा करने पर
xy = arp+q-1 x arp-q-1
xy = a2 rp+q-1+p-q-1
xy = a2 r2p-2 = (arp-1)2
∴ arp-1 = √xy
अतः गु. श्रे. का p वाँ पद = √xy ∵ Tp = arp-1
प्रश्न 12.
यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी में तथा ax = by = cz है तो सिद्ध कीजिये कि
हल-
माना कि ax = by = cz = k हैं तो
a = k1/x, b = k1/y, c = k1/z ….(i)
∵ a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
इसलिये शर्त b² = ac ….(ii)
समी. (i) से मान रखने पर
(k1/y)2 = kl1/x.k1/z
या k2/y = k1/x+1/z
यहाँ पर आधार समान हैं इसलिये घातें भी समान होंगी।
इतिसिद्धम्
प्रश्न 13.
यदि a तथा b के बीच n गु.मा. प्रविष्ट किये जायें तो सिद्ध कीजिये कि सभी गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल \({ \left( \sqrt { ab } \right) }^{ n }\) होगा।
हल-
यदि a वे b के मध्य n गु.मा. हों, तो सार्वअनुपात
अब प्रश्नानुसार n माध्यों का गुणनफल
= (ar) (ar2) (ar3) (ar4) ….. (arn)
r का मान रखने पर
प्रश्न 14.
x, y, z गु. श्रे. में हैं । x, y का स.मा. A1 तथा y, z का स.मा. A2 है, तो सिद्ध कीजिए
हल-
दिया है x, y, z गु. श्रे. में हैं।
y² = xz …….(i)
प्रश्नानुसार
चूँकि x, y का स.मा. A1 और y, z का स.मा. A2 है।
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