RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.4

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल ज्ञात कीजिये।
(i) 2 + 6 + 18 + 54 + ……. 7 पदों तक।
(ii)

(iii) a⁸ – a⁷b + a⁶b² – a⁵b³ +……. 10 पदों तक।
हल-
(i) 2 + 6 + 18 + 54 + ……. 7 पदों तक।
दिया है- a= 2
r = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3
n = 7

= 2187 – 1
= 2186

(iii) a⁸ – a⁷b + a⁶b² – a⁵b³ +……. 10 पदों तक।
प्रथम पद = a⁸

प्रश्न 2.
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) 2 + 6 + 18 + 54 + …….. + 486
(ii) 64 + 32 + 16 + ……… + \(\frac { 1 }{ 4 }\)
हल-
(i) दिया है—प्रथम पद (a) = 2
सार्वअनुपात r = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3
a_n = 486
हम जानते हैं- a_n = ar^n-1
486 = 2. (3)^n-1
या \(\frac { 486 }{ 2 }\) = (3)^n-1
या 243 = (3)^n-1
या 3⁵ = (3)^n-1
आधार समान हैं, घातें भी बराबर होंगी।
∴ n – 1 = 5
n = 6
इसलिए

S₆ = 729 – 1 = 728

(ii) प्रथम पद a = 64

प्रश्न 3.
गु. श्रे. 4, 12, 36, …… के कितने पदों का योगफल 484 है?
हल-
दिया है
a = 4
r = \(\frac { 12 }{ 4 }\) = 3
S_n = 484

484 = 2(3ⁿ – 1)
242 = 3^n-1 ⇒ 3^n-1 = 242
3ⁿ = 242 + 1 = 243
∴ 3ⁿ = 3⁵ ∴ n = 5

प्रश्न 4.
किसी गु. श्रे. के प्रथम 5 पदों का योगफल 124 तथा सार्वअनुपात 2 है। श्रेढ़ी का प्रथम पद ज्ञात कीजिये।
हल-
दिया है
S₅ = 124
r = 2
a = ?

प्रश्न 5.
किसी गु. श्रे. का सार्वअनुपात 2, अन्तिम पद 160 तथा योगफल 310 है। श्रेढी का प्रथम पद ज्ञात कीजिये।
हल-
दिया है
r = 2
a_n = 160
S_n = 310
सूत्र – a_n = ar^n-1
160 = a. 2^n-1  ….(1)

आधार समान हैं घातें भी बराबर होंगी।
इसलिये n – 1 = 4
n = 4 + 1 = 5

प्रश्न 6.
निम्नलिखित श्रेढ़ियों के प्रथम n पदों को योगफल ज्ञात कीजिए।
(i) 7 + 77 + 777 + ………
(ii) .5 + .55 + .555 +………
(iii) .9 + .99 + .999 +………
हल-
(i) माना
S_n = 7 + 77 + 777 +……… n पदों तक
S_n = 7[1 + 11 + 111 +……. n पदों तक]
= \(\frac { 7 }{ 9 }\)[9 + 99 + 999 +…… ॥ पदों तक]

(ii) माना
S_n = .5 + 55 + .555 +……. पदों तक
S_n = 5[.1 + .11 + .111 + ……. n पदों तक]

(iii).9 + 99 +999 + ……. n पदों तक
माना
S_n = 9 + .99 + .999 + ……. n पदों तक
= (1 – 0.1) + (1 – 0.01) + (1 – 0.001) + ……. n पदों तक

प्रश्न 7.
निम्नलिखित आवर्ती दशमलव विस्तार वाली परिमेय संख्याओं का भिन्नात्मक रूप ज्ञात कीजिए

हल-
(i)

(ii)

(iii)

प्रश्न 8.
किसी अनन्त गु. श्रे. का प्रथम पद 64 है तथा प्रत्येक पद उसके बाद आने वाले पदों के योगफल का तीन गुणा है। श्रेढ़ी ज्ञात कीजिये।
हल-
दिया है-
a = 64
माना गु. श्रे. a, ar, ar², ar³ ……. है।
प्रश्नानुसार

⇒ a – ar = 3ar
⇒ a = 3ar + ar = 4ar
4r = 1
\(r=\frac { 1 }{ 4 }\)
मान रखने पर

प्रश्न 9.
यदि y = x + x² + x³ + …… ∞, जहाँ |x| < 1 हो, तब सिद्ध कीजिये \(x=\frac { y }{ 1+y }\)
हल-
दिया है- y = x + x² + x³ + ….. ∞ (अनन्त गु. श्रे.)
y = x[1 + x + x² +…….∞]

प्रश्न 10.
यदि x = 1 + a + a² +……∞, जहाँ |a| < 1
तथा y = 1 + b + b² +……∞, जहाँ |b| < 1 हो, तब
सिद्ध कीजिए- 1 + ab + a²b² + ….. ∞ = \(\frac { xy }{ x+y-1 }\)
हल-
दिया है-
x = 1 + a + a² + a³ +…..∞

समी. (3) व समी. (4) से ⇒ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 11.
श्रेढ़ी का योग ज्ञात कीजिये

हल-

हम जानते हैं \({ S }_{ \infty }=\frac { a }{ 1-r } \), अनन्त गु. श्रे. का योग

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