Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Ex 10.2
निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
हल :
माना 2x + 1 = t
2dx = dt
जय x = 1 तो t = 3
2dx = dt
जब x = 3 तौ t = 7
प्रश्न 2.
हल :
माना cosx = t
तौ -sinx dx = dt
या sinx dx = -dt
जब x = 0
तौ t = cos 0 = 1
प्रश्न 3.
हल :
माना logx = t
तौ \(\frac { 1 }{ x }\) dx = dt
जब x = 1, तौ t = log 1 = 0
जब x = 3, तौ t = log 3
= sin(log 3)
प्रश्न 4.
हल :
माना √x = t
जब x = 0, तौ t = √0 = 0
जब x = 1, तौ t = √1 = 1
प्रश्न 5.
हल :
प्रश्न 6.
हल :
माना y + c = t
तो y + c = t
dy = dt
जय y = 0 तो t = 0 + c = c
जब y = c तौ t = c + c = 2c
प्रश्न 7.
हल :
प्रश्न 8.
हल :
माना 1 + logx = t
तौ \(\frac { 1 }{ x }\) dx = dt
जब x = 1, तौ t = 1 + log 1 = 1
जब x = 2, तौ t = 1 + log 2
प्रश्न 9.
हल :
प्रश्न 10.
हल :
माना sinx – cosx = t
⇒ (cosx + sinx)dx = dt
⇒ 1-2 sinx cosx = t²
⇒ sin 2x = 1 – t²
प्रश्न 11.
हल :
प्रश्न 12.
हल :
प्रश्न 13.
हल :
प्रश्न 14.
हल :
माना 1 – x² = t
⇒ – 2x dx = dt
⇒ xdx = \(-\frac { 1 }{ 2 }dt\)
⇒ sin 2x = 1 – t²
जब x = 0 तौ t = 1 – 0 = 1
जब x = 1 तौ t = 1 – 1 = 0
प्रश्न 15.
हल :
प्रश्न 16.
हल :
अंश व हर में cos²x से भाग देने पर
माना 2 tanx = t
⇒ 2 sec²x dx = dt
⇒ sec²x dx = \(-\frac { dt }{ 2 }dt\)
जब x = 0 तौ t = 0
प्रश्न 17.
हल :
समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर
प्रश्न 18.
हल :
प्रश्न 19.
हल :
जब x = 0 तौ t = 0
जब x = 1 तौ t = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
= (1-0)-(0-0)
= 1
प्रश्न 20.
हल :
प्रश्न 21.
हल :
= (2 log 2 – 1 log 1) – (2 – 1)
= log 2² – 0 – 1
= log 4 – 1
= log 4 – log e
= log \(\frac { 4 }{ e }\)
प्रश्न 22.
हल :
प्रश्न 23.
हल :
माना cosx = t
तौ -sin x dx = dt
या sinx dx = -dt
जब x = 0, तौ t = 1
t = A(t + 2) + B (t + 1)
= At + 2A + Bt + B
= (A + B)t + 2A + B
तुलना करने पर,
A + B = 1, 2A + B = 0
⇒ A + (A + B) = 0
⇒ A + 1 = 0
⇒ A = – 1
⇒ – 1 + B = 1
⇒ B = 2
= [log (0 + 1) – log (1 + 1)] – 2 [log (0 + 2) – log (1 + 2)]
= log 1 – log 2 – 2 log 2 + 2 log 3
= 0 – log 2 – log 2² + log 3²
= log 9 – log 2 x 4
= log \(\frac { 9 }{ 8 }\)
प्रश्न 24.
हल :
माना x = 3 sin² θ
∴ dx = 3 sin² dθ
जब x = 0, तौ θ = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
जब x = 0, तौ θ = 0
प्रश्न 25.
हल :
प्रश्न 26.
हल :
= [log (x +1)] – [log (x + 2)]
= [log (2 + 1) – log (1 + 1]] – [log (2 + 2) – log (1 + 2)]
= log 3 – log 2 – log 4 + log 3
= 2 log 3 – (log 2 + log 4)
= 2 log 3 – log 8
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