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RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Miscellaneous Exercise

May 20, 2019 by Prasanna Leave a Comment

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
वक्र y = √x तथा y = x से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल
(a) 1 वर्ग इकाई
(b) \(\frac { 1 }{ 9 }\) वर्ग इकाई
(c) \(\frac { 1 }{ 6 }\) वर्ग इकाई
(d) \(\frac { 2 }{ 3 }\) वर्ग इकाई
हल :
वक्र y = √x एक परवलय है जिसका समीकरण y² = x तथा केन्द्र मूल बिन्दु पर है। कार y = x एक रेखा है जोकि मूल विन्दु से गुजरती है। इनका अनुरेण इस प्रकार है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x = 0, x = 1
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OABCO
= क्षे. OABDO – क्षे. OBDO
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अत: विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 2.
y² = x तथा x² = y से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a) \(\frac { 1 }{ 3 }\) वर्ग इकाई
(b) 1 वर्ग इकाई
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
(d) 2 वर्ग इकाई
हल :
दिए गए परवलय के समीकरण
y² = x …….(1)
x² = y …….(1)
को हल करने पर, इनके प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 0) तथा (4, 4) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OMAPO का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
(परवलय y² = x के लिए) (परवलय x² = y के लिए)
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
परवलय x² = 4y तथा इसकी नाभिलम्ब से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है
(a) \(\frac { 5 }{ 3 }\) वर्ग इकाई
(b) \(\frac { 2 }{ 3 }\) वर्ग इकाई
(c) \(\frac { 4 }{ 3 }\) वर्ग इकाई
(d) \(\frac { 8 }{ 3 }\) वर्ग इकाई
हल :
परवलय x² = 4y का अनुरेखण इस प्रकार है :
यहाँ a = 1
अतः नाभिलम्ब y-अक्ष को (0, 1) पर प्रतिच्छेदित करता है।
अभिलम्ब के समीकरण y = 1 तथा परवलय के समीकरण x² = 4y को हल करने पर, x = ±2
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अभीष्ट क्षेत्रफल = से AOCBA
= 2[क्षे. OQCBO – क्षे. OQCO]
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अत: विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 4.
y = sin x,
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
तथा x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल हैं
(a) 1 वर्ग इकाई
(b) 2 वर्ग इकाई
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
(d) 4 वर्ग इकाई
हल :
वक्र y = sin x तथा x = π/2 एवं x = 3π/2 से धिरे क्षेत्रफल को चित्र में स्त्रयांकित किया गया है। x के विभिन्न मानों के लिए y = sin x की साराणी नीचे दी गई है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. PABP का क्षेत्रफल + क्षे. QBCQ का क्षेत्रफल
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
= -( -1 – 0) + [0 – (-1)]
= +1+1
= 2 वर्ग इकाई
अत: विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
y² = 2x तथा वृत्त x² + y² = 8 से परिबद्ध का क्षेत्रफल
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
हल :
दिए गए समीकरण परवलय y² = 2x जिसका केन्द्र (0, 0) तथा वृत्त जिसका केन्द्र (0, 0) व प्रिया 2√2 इकाई है, को प्रदर्शित करते हैं। इनका ग्राफ (अनुरेखण) इस प्रकार है तथा इनसे परिबद्ध क्षेत्र छायांकित किया गया है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
समीकरण y² = 2x तथा x² + y² = 8 को इल करने पर,
x = – 4, 2
अतः x = 2 प्रथम चतुर्थाश में लेते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल OAPBO
– 2 x क्षे. OMPBO
= 2 x ( क्षेत्रफल OMBO + क्षेत्रफल PMBP)
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
परवलय y² = x तथा रेखा x + y = 2 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय y² = x तथा x + y = 2 का अनुरेखण करने पर अभीष्ट क्षेत्रफल को अयांकित भाग चित्रानुसार प्रदर्शित करता है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
दोनों समीकरणों को हल करने पर,
(-x + 2)² = x
⇒ x² + 4 – 4x – x = 0
⇒ x² – 5x + 4 = 0
⇒ x² – 4x – x + 4 = 0
⇒ x(x – 4) – 1(x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x – 1) = 0
अत: x = 1, 4
x = 1 पर y = 1 तथा x = 4 पर y = -2 प्राप्त होते हैं।
अत: प्रतिच्छेदन विन्दु (-2, 4) हैं।
अत: अभीष्ट्र क्षेत्रफल
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 9 }{ 2 }\) वर्ग इकाई ।

प्रश्न 7.
प्रथम चतुर्थांश में वक़ों y² = 2ax – x² व y² = ax के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक़ों y² = 2ax – x² तथा y² = ax का अनुरेखण करने पर छायांकित भाग अभीष्ट क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
दोनों समीकरणों को हल करने पर,
x = 0, a
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OPMO
= क्षे. OMPQO – क्षे. POQP
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
(परवलय y² = 2ax – x² से) (परवलय y² = ax से)
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions

प्रश्न 8.
परबलव y = x² तथा y = | x | के प्रयवी क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वक्र y = x² एक परवलय है किसका शौर्ष (0, 0) तथा यह y-अक्ष के सममित है।
समीकरण y = |x| दो रेखाओं को निपत करता है।
जब x>0, तब y = x
जब x<0, तब y = – x
रेखा y = x तथा परवलय y = x² के प्रतिच्छेद बिन्दु O(0, 0) तथा A(1, 1)
रेखा y = -x तथा परवलय y = x² के प्रतिध्द विन्दु O(0, 0) तथा B(- 1, 1) हैं।
रेखाओं y = x तथा y = -x और परवयं y = x² से घिरे क्षेत्र को पत्र में छायांकित किया गया है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र BLOMA का क्षेत्रफल
= 2 x OMA का क्षेत्रफल
= 2 [∆OQA का क्षेत्रफल – क्षेत्र OMAQO का क्षेत्रफल]
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions

प्रश्न 9.
वृत्त x² + y² = 16 तथा परवलय y² = 6x के मध्यवर्ती उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त x² + y² = 16 का केन्द्र मूल विन्दु तथा त्रिज्या 4 इकाई है। परवलय y² = 6x का शीर्ष मूल बिन्दु है। इन वक्रों का उभयनिष्ठ धोत्र चित्र में रेखांकित किया गया है। दोनों वक़ बिन्दुओं P तथा Q पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। इन बिन्दुओं के निर्देशांकों को वक़ों के समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
वक़ के समीकरण x² + y² = 16 …(1)
y² = 6x …..(2)
समीकरण (2) से y² = 6x समीकरण (1) में रखने पर,
x² + 6x = 16
या x² + 6x – 16 = 0
या x² + 8x – 2x – 16 = 0
या (x + 8) – 2(x + 8) = 0
या (x + 8) (x – 2) = 0
या x + 8 = 0 या x – 2 = 0
x = – 8 या x = 2
जब x = – 8 तब समीकरण (2) से,
y² = 6 x (-8) = – 48
∵ y = ± √-48 जो कि वास्तविक नहीं है।
जब x = 2 तब समीकरण (2) से,
y² = 6 x 2 = 12
∴ y = ± 2√3
अतः बिन्दुओं P तथा Q के निर्देशांक क्रमशः (2,2√3) तुषा (2, – 2√3) हैं।
दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= 2 x ODAPO का क्षेत्रफल
= 2[क्षेत्र ODPO का क्षेत्रफल + क्षेत्र DAPD का क्षेत्रफल]
= 2 ∫| (y परवलय के लिए) | dx + ∫| (y वृत्त के लिए) | dx
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions

प्रश्न 10.
वक़ x² + y² = 1 तथा x + y ≥ 1 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
वृत्त का समीकरण x² + y² = 1 तथा रेखा x + y ≥ 1 से परिबद्ध क्षेत्र चित्र में अयांकित किया गया है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल APBQA
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions

प्रश्न 11.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हुन :
त्रिभुज का आलेख चित्र में प्रदर्शित है। अभीष्ट क्षेत्रफल छायांकित किया गया है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अभीष्ट क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
= ∆ABP का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल – ∆AQC का क्षेत्रफल …(1)
रेखा (भुजा) AB का समीकरण
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
रेखा (भुजा) BC का समीकरण
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
रेखा ( भुजा) CA का समीकरण
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अब ∆ABP का क्षेत्रफल = ∫(y रेखा AB के लिए) dx
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल
= ∫ (y रेखा BC के लिए) dx
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
त्रिभुज AQC का क्षेत्रफल
= ∫ (y रेखा AC के लिए) dx
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अब समीकरण (1) में ∆ABP के क्षेत्रफल, समलम्ब चतुर्भुज BPAQ के क्षेत्रफल तथा ∆AQC के क्षेत्रफल के मान रखने पर,
अभीष्ट ∆ABC का क्षेत्रफल
= 3 + 5 = 4 = 4 वर्ग इकाई
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई।

प्रश्न 12.
रेखा y = 3x + 2, x-अक्ष एवं कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हुल :
रेखा y = 3x + 2, x-अक्ष तथा कोटियों x = -1 व x = 1 से घिरा क्षेत्र छायांकित करके चित्र में प्रदर्शित है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. ACBA + क्षे. CDEC
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
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प्रश्न 13.
y² = 2x, y = 4x – 1 व y ≥ 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
परवलय y² = 2x, रेखा y = 4x – 1 तथा y ≥ 0 के मध्यवर्ती क्षेत्र को चित्र में यांकित किया गया है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
समी. y² = 2x तथा y = 4x -1 को हल करने पर
बिन्दु (0, -1) तथा (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) प्राप्त होते हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षे. OABCO
= क्षे. OAMO – क्षे. NAMN
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions

प्रश्न 14.
वक्र y² = 4x, y-अक्ष एवं रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
हल :
वक्र y² = 4x एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है और यह x-अक्ष के सममित है।
वक्र y² = 4x, y-अक्ष तथा रेखा y = 3 से घिरा क्षेत्र चित्र में रेखांकित भाग से दिखाया गया है जो कि AOBA है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल AOBA
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प्रश्न 15.
दो वृत्तों x² + y² = 4 तथा (x – 2)² + y² = 4 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हुल :
दिए गए वृत्तों के समीकरण
x² + y² = 4 …(1)
तथा (x – 2)² + y² = 4 …(2)
समीकरण (1) से प्रदर्शित वृत्त का केन्द्र मूलबिन्दु (0, 0) तथा त्रिज्या 2 इकाई है। समीकरण (2) से प्रदर्शित वृत्त का केन्द्र (2, 0) x-अक्ष पर है तथा इसकी त्रिज्या भी 2 इकाई है। दोनों वृक्षों के मध्यवर्ती क्षेत्र को चित्र में अयांकित किया गया है।
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर,
वृत्त के प्राप्त प्रतिच्छेद बिन्दु P(1,√3) तथा Q(1, -√3) हैं।
दोनों वृत्त x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2(क्षे. OPACO) = 2 [क्षे. OPCO + क्षे. CPAC]
= 2[क्षेत्र OPCO (वृत्त (x – 2)² + y² = 4 का भाग) + क्षेत्र CPAC (वृत्त x² + y² = 4 का भाग)
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2∫y dx (वृत्त (x – 2)² + y² = 4 के लिए) + ∫y dx (वृत्त x² + y² = 4 के लिए)
RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 समाकलन के अनुप्रयोग: क्षेत्रकलन Additional Questions

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