RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.5

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.5

निम्नलिखित अवकलन समीकरण को हल कीजिए :

प्रश्न 1.

हल :
दी गई अवकल समीकरण

समीकरण (1) से

प्रश्न 2.

हल :

⇒ t – log (t + 1) = x + C₁
⇒ (x + y + 1) – log (x + y + 1 + 1) = x + C₁
⇒ y + 1 – log (x + y + 2) = C₁
⇒ log (x + y + 2) = (y + 1) + C₁
⇒ log (x + y + 2) = y + (C₁ + 1)
⇒ e^log(x+y+2) = e^y+(C₁+1)
⇒ x + y + 2 = e^y(e^(C₁+1))
⇒ x + y + 2 = e^y.C
जहाँ C = e^(C₁+1)
अत: अभीष्ट हल x + y + 2 = Ce^y है।

प्रश्न 3.
cos (x + y)dy = dx
हल :
माना x + y = v

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.

हल :
माना x + y = v

∴ समाकलन करने पर,
– e^{– v} – x = C₁
x + e^{– (x+y)} = C
(∵ v = x+y तथा C = – C₁)
यही अभीष्ट हुल हैं।

प्रश्न 5.
(x + y) (dx – dy) = dx + dy
हल :
⇒ (x + y) (dx – dy) = dx + dy
⇒ (x + y)dx – (x + y)dy = dx + dy
⇒ dy + (x + y)dy = (x + y) dx – dx
⇒ [(1 + (x + y)]dy = (x + y – 1) dx

⇒ x + y + log (x + y) = 2x + 2C₁
⇒ log (x + y) = 2x – x – y + 2C₁
⇒ log (x + y) = x – y + 2C₁
⇒ log (x + y) = x – y + C₁
जहाँ C = 2C₁ है।
अत: अभीष्ट हल x – y + C = log (x + y) है।

प्रश्न 6.

हल :
माना
x + y + 1 = v


यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.

हल :
दी गई अवकल समीकरण

समीकरण (1) से


∫sec² u du – ∫sec u tan u du = x + C₁
tan u – sec u = x + C₁ [u = x + y रखने पर]
tan (x + y) – sec (x + y) = x + C₁
या x = tan (x + y) – sec (x + y) + C
जहाँ C = – C₁

प्रश्न 8.

हल :

2x + (x – y)² + 2C₁ = 0
2x + (x – y)² = – 2C₁
अतः अभीष्ट हल 2x + (x – y)² = C है, जहाँ C = -2C₁ है।

प्रश्न 9.

हल :
इसी अभ्यास का प्रश्न 3 पर देखें।

प्रश्न 10.

हल :


⇒ 2v + log (v + 2) = x + C
⇒ 2(x – y) + log (x – y + 2) = x + C
यहीं अभीष्ट हल है।

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