RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.8

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.8

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए

प्रश्न 1.

हुल :

समी. (i) को \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से तुलना करने पर,
P = 2, Q = 4x
I.F = e^∫2dx = e^2x
समी. (i) को e^2x से गुणा करने पर


यही अभीष्ट हुल है।

प्रश्न 2.

हल :
दिया हुआ अवकल समीकरण

समीकरण (1) की तुलना \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से करने पर,
∴P = sec²x, Q = sec²x tan x
∴ I.F. = e^{∫sec²x dx} = e^{tan x}
समीकरण (1) को e^{tan x} से गुणा करने पर,

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हुल है।

प्रश्न 3.

हल :

समीकरण (1) की तुलना \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से करने पर,

समीकरण (1) को (1 + x²) से गुणा करने पर,

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.

हल :

यहाँ P = (2/y),
तब ∫P dy = ∫(2/y) dy = 2 log y
∴ I.F. = e^{∫p dy} = e^{2 log y}
= e^{log y2}
= y²
∴ x(I.F.) = ∫{Q(I.F)}dy + C
i.e., x.y² = ∫10y².y²dy+C, [∴ Q = 10y²]
= ∫10y⁴ dy + C = 10. \(\frac { 1 }{ 5 }\) y⁵ + C
अतः xy² = 2y⁵ + C,
यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.

हल :

समीकरण (1) की तुलना \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से करने पर,
p = cot x, Q = sin x
∴ IF = e^{∫cot x dx}
⇒ I.F. = e^{log sin x} = sin x
समीकरण (i) में sin x की गुणा करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 6.

हल :

समीकरण (1) की तुलना \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से करने पर,

समीकरण (i) में दोनों और \(\frac { 1 }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) } \) की गुणा करने पर,

यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.

हल :

समीकरण (1) की तुलना \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से करने पर,

समीकरण (i) को x² से गुणा करने पर,

⇒ I = – x²cos x + 2x sin x + 2 cos x + C …(iii)
समी. (ii) व (iii) से,
x²y = -x²cos x + 2x sin x + 2 cos x + c
x²y = C + (2 – x²) cos x + 2x sin x
यह अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.

हल :

समीकरण (1) की तुलना \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से करने पर,

समीकरण (1) को x² से गुणा करने पर,

दोनों पक्षों का x के साक्ष समाकलन करने पर,

जो अभीष्ट हल है।

प्रश्न 9.
dx + xdy = e^-y sec²y dy
हल :
dx + xdy = e^-y sec²y dy

यहाँ P = 1,
तब ∫Pdy = ∫1.dy = y
∴ समाकलन गुणांक = e^∫p.dy = e^y
∴ x . (I.F) = ∫{Q(I.F.)} dy + C
i.e., xe^y = ∫e^-y sec² y.e^y dy + C [∵ Q = e^-y  sec²y]
= ∫sec² y dy + C = tan y + C
अत: xe^y = tan y + C ही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 10.

हल

यही अभीष्ट हुल है।

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