RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.

का हुल है
(a) y = cot^-1x + C
(b) y = tan^-1x + C
(c) y = sin^-1x + C,
(d) y = cos^-1x + C
हल :

दोनों तरफ समाकलन करने पर,

अतः उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 2.
समीकरण

का हल है

हल :
समीकरण

समाकलन करने पर,


अतः उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 3.
समीकरण

का हल है
(a) log sin y + sin + C
(b) log sin x sin y = C
(c) sin y + log sin x + C
(d) sin x sin y + C
हल :
समीकरण

दोनों तरफ समाकलन करने पर,

अब उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 4.
समीकरण

का हल है
(a) y = log (e^x + e^-x) + C
(b) y = log (e^x – e^-x) + C
(c) y = log (e^x + 1) + C
(d) y = log (1 – e^-x) + C
हल :

समाकलन करने पर,
⇒ y = log (e^x – e^-x) + C
अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 5.
समीकरण

का हल है
(a) e^y = e^x + C
(b) e^y = e^-x + C
(c) e^-y = e^-x + C
(d) e^-y = e^x + C
हल :

समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (a) सही है।

प्रश्न 6.
समीकरण

का हल है

हल :

समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 7.
समीकरण

का हल है
(a) x + tan y = C
(b) tan y = x + C
(c) sin y + x = C
(d) sin y – x = C
हल :

समाकलन करने पर,
tan y = x + C
अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 8.
समीकरण

का हल है

हल :

⇒ dy = e^y(e^x + x²)dx
⇒ e^-y dy = e^x dx + x² dx
समाकलन करने पर,

अत: उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण

में निम्न में से किस प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरण में परिवर्तित होगी ?

हल :
उत्तर (c) सही है।

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण

में निम्न में से किस प्रतिस्थापन द्वारा अवकल समीकरण में परिवर्तित होगी
(a) \(\frac { 1 }{ y }=v\)
(b) y^-2 = v
(c) y^-3 = v
(d) y³ = v
हल :
उत्तर (b) सही है।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल :

समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट व्यापक हुल है।।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण

समाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल :

P = tan x, Q = sin x
समाकलन गुणांक (I.F.) = e^{∫p dx}
= e^{∫tan x dx}
= e^{log sec x}
= sec x

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण

का सभाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:

इसकी तुलना समी. \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से करने पर,

समाकलन गुणांक (I.F.) = e^{∫p dx}

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण

किस रूप की है ?
हुल :
चरों को पृथक-पृथक परिवर्तित करने वाली समीकरण के रूप की है।

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण

किस रूप की है ?
हल :
रैखिक समीकरण।

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण

का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल :

∴ x = X + h तथा y = Y + k

h व k इस प्रकार है कि
4h + 3k + 1 = 0
तथा 3h + 2k + 1 = 0
हल करने पर, h = – 1, k = 1
h वे k हैं के मान समी (i) में रखने पर,

यह एक समघातीय समी. है।

समी. (i) व (i) से,

समाकलन करने पर


इसमें Y = y – 1 तथा X = x + 1 रखने पर

यहीं अभीष्ट हल है।

प्रश्न 17.

हल :

समाकलन करने पर,

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 18.

हल :

यह समघातीय समी. है। …(1)

समाकलन करने पर

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 19.

हल :

यह आश्रित चर v के साथ रैखिक समी. हैं।

अतः e^y = e^x + 1 + Ce^(_ex) ही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 20.

हल :

माना tan y = v, तब sec²y (dy/dx) = dv/dx, समी. (1) से,
\(\frac { dv }{ dx } +2x.v={ x }^{ 3 }\), यह आश्रित चर v के साथ रैखिक समी. है।
यहाँ P = 2x और Q = x³

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