Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
का हुल है
(a) y = cot-1x + C
(b) y = tan-1x + C
(c) y = sin-1x + C,
(d) y = cos-1x + C
हल :
दोनों तरफ समाकलन करने पर,
अतः उत्तर (b) सही है।
प्रश्न 2.
समीकरण
का हल है
हल :
समीकरण
समाकलन करने पर,
अतः उत्तर (a) सही है।
प्रश्न 3.
समीकरण
का हल है
(a) log sin y + sin + C
(b) log sin x sin y = C
(c) sin y + log sin x + C
(d) sin x sin y + C
हल :
समीकरण
दोनों तरफ समाकलन करने पर,
अब उत्तर (a) सही है।
प्रश्न 4.
समीकरण
का हल है
(a) y = log (ex + e-x) + C
(b) y = log (ex – e-x) + C
(c) y = log (ex + 1) + C
(d) y = log (1 – e-x) + C
हल :
समाकलन करने पर,
⇒ y = log (ex – e-x) + C
अत: उत्तर (b) सही है।
प्रश्न 5.
समीकरण
का हल है
(a) ey = ex + C
(b) ey = e-x + C
(c) e-y = e-x + C
(d) e-y = ex + C
हल :
समाकलन करने पर,
अत: उत्तर (a) सही है।
प्रश्न 6.
समीकरण
का हल है
हल :
समाकलन करने पर,
अत: उत्तर (b) सही है।
प्रश्न 7.
समीकरण
का हल है
(a) x + tan y = C
(b) tan y = x + C
(c) sin y + x = C
(d) sin y – x = C
हल :
समाकलन करने पर,
tan y = x + C
अत: उत्तर (b) सही है।
प्रश्न 8.
समीकरण
का हल है
हल :
⇒ dy = ey(ex + x²)dx
⇒ e-y dy = ex dx + x² dx
समाकलन करने पर,
अत: उत्तर (b) सही है।
प्रश्न 9.
अवकल समीकरण
में निम्न में से किस प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरण में परिवर्तित होगी ?
हल :
उत्तर (c) सही है।
प्रश्न 10.
अवकल समीकरण
में निम्न में से किस प्रतिस्थापन द्वारा अवकल समीकरण में परिवर्तित होगी
(a) \(\frac { 1 }{ y }=v\)
(b) y-2 = v
(c) y-3 = v
(d) y3 = v
हल :
उत्तर (b) सही है।
प्रश्न 11.
अवकल समीकरण
का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल :
समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट व्यापक हुल है।।
प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
समाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल :
P = tan x, Q = sin x
समाकलन गुणांक (I.F.) = e∫p dx
= e∫tan x dx
= elog sec x
= sec x
प्रश्न 13.
अवकल समीकरण
का सभाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
इसकी तुलना समी. \(\frac { dy }{ dx }+Py=Q\) से करने पर,
समाकलन गुणांक (I.F.) = e∫p dx
प्रश्न 14.
अवकल समीकरण
किस रूप की है ?
हुल :
चरों को पृथक-पृथक परिवर्तित करने वाली समीकरण के रूप की है।
प्रश्न 15.
अवकल समीकरण
किस रूप की है ?
हल :
रैखिक समीकरण।
प्रश्न 16.
अवकल समीकरण
का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल :
∴ x = X + h तथा y = Y + k
h व k इस प्रकार है कि
4h + 3k + 1 = 0
तथा 3h + 2k + 1 = 0
हल करने पर, h = – 1, k = 1
h वे k हैं के मान समी (i) में रखने पर,
यह एक समघातीय समी. है।
समी. (i) व (i) से,
समाकलन करने पर
इसमें Y = y – 1 तथा X = x + 1 रखने पर
यहीं अभीष्ट हल है।
प्रश्न 17.
हल :
समाकलन करने पर,
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 18.
हल :
यह समघातीय समी. है। …(1)
समाकलन करने पर
यही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 19.
हल :
यह आश्रित चर v के साथ रैखिक समी. हैं।
अतः ey = ex + 1 + Ce(ex) ही अभीष्ट हल है।
प्रश्न 20.
हल :
माना tan y = v, तब sec²y (dy/dx) = dv/dx, समी. (1) से,
\(\frac { dv }{ dx } +2x.v={ x }^{ 3 }\), यह आश्रित चर v के साथ रैखिक समी. है।
यहाँ P = 2x और Q = x³
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