RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को आलेखीय विधि से हल कीजिए
अधिकतम Z = 4x + y
व्यवरोध x + y ≤ 50
3x + y ≤ 90
तथा x, y ≥ 0
हल :
दिये गये व्यवरोधों को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
x + y = 50 …(1)
3x + y = 90 …(2)
x = 0 …(3)
y = 0 …(4)
असमिका x + y ≤ 50 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 50 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(50, 10) तथा B(0, 50) पर मिलती है।
x + y = 50 के मानों के लिए सारणी

x	50	0
y	0	50

A(50, 0); B(0, 50)
बिन्दुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 50 असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अत: असमका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असपिका 3x + y ≤ 90 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा 3x + y = 90 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(30, 0) तथा D(0, 90) पर मिलती है।
3x + y = 90 के मानों के लिए सारणी

x	30	0
y	0	90

C(30, 0); (0, 90)
बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 0 = 0 ≤ 90 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – चूंकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु x ≥ 0 तथा y ≥ 0 को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिकाओं द्वारा हुल क्षेत्र प्रथम पाद है।

रेखाओं x + y = 50 तथा रेखा 3x + y = 90 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक x = 20 तथा y = 30 हैं।
छयांकित क्षेत्र OCEB असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोगामन समस्या का हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्रमश: O(0, 0), C(30, 0), E(20, 30) तथा B(0, 50) हैं। | इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न सारणी में दिये गये

बिन्दु	x निर्देशक	y निर्देशांक	उदेश्य फ्लन का मान Z = 4x + y
O	0	0	ZO = 4(0)+0 = 0
C	30	0	ZC = 4(30)+(0) = 120
E	20	30	ZE = 4(20)+30 = 110
B	0	50	ZB = 4(0)+50 = 50

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु C(30, 0) पर अधिकतम Z = 120 है।

प्रश्न 2.
निम्न रैखिक प्रोगामन समस्या को आलेखीय विधि से हुल कीजिए
अधिकतम Z = 3x + 2y
ध्यवरोध x + y ≥ 8
3x + 5y ≤ 15
तथा x ≥ 0, y ≤ 15
हल :
दिये गये व्यवरोधों को असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
x + y = 8 ….(1)
3x + 5y = 15 ……(2)
x = 0 …(3)
y = 15 …(4)
असमिका x + y ≥ 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 8 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(8, 0) तथा B(0, 8) पर मिलती है।
x + y = 8 के मानों के लिए सारणी

x	8	0
y	0	8

A(8, 0); B(0, 8)
बिंदुओं A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≥ 8 सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका 3x + 5y ≤ 15 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + 5y ≤ 15 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिंदु C(5,0) तथा D(0, 3) पर मिलती है।
3x + 5 = 15 के मानों के लिए सारणी

x	5	0
y	0	3

C(5,0); D(0, 3)
बिंदुओं C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 5(0) = 0 ≤ 15 असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका y ≤ 15 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा y = 15, x-अक्ष के समान्तर है तथा इसका प्रत्येक बिंदु प्रथम पाद में असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूंकि x = 0 प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु से सन्तुष्ट होती है। अत: इसका हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा।

उपर्युक्त आलेख में असमिकाओं का कोई उभयनिष्ठ हल क्षेत्र नहीं है। अतः समस्या का सुसंगत हुल विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक प्रोग्रामने समस्या का आलेख विधि से हल ज्ञात कीजियनिम्नतम तथा अधिकतम
Z = x + 2y
व्यवरोध x + 2y ≥ 100
2x – y ≤ 0
2x + y ≤ 200
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण के रूप में परिवर्तित करने पर,
x + 2y = 100 ….(1)
2x – y = 0 ….(2)
2x + y = 200 ….(3)
x = 0 …(4)
y = 0 …(5)
असमिका x + 2 ≥ 100 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 100 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(100, 0) तथा B(0, 50) पर मिलती है।
x + 2y = 100 के मानों के लिए सारणी

x	100	0
y	0	50

A(100, 0); B(0, 50)
बिंदुओं A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) प्रतिस्थापित करने पर (0) + 2(0) = 02 100 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हलक्षेत्र मूल बिंद के विपरीत ओर है।
असमिका 2x – y ≤ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x – y = 0 निर्देशी पक्षों को क्रमशः बिंदु (0, 0) तथा C(100, 200) पर मिलती है।
2x – y = 0 के मानों के लिए सारणी

x	0	100
y	0	200

O(0, 0); C(100, 200)
बिंदुओं O तथा C को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) – 0 = 0 ≤ 0 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा ! ।
असमिका 2x + y ≤ 200 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x + y = 200 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदुओं A(100, 0) तथा D(0, 200) पर मिलती है।
2x + y = 200 के मानों के लिए सारणी

x	100	0
y	0	200

A(100, 0); D(0, 200)
बिंदु A और D को अंकित कर रेखा का आलेख लॊचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + (0) = 0 ≤ 200 असमिको सन्तुष्टि होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।

x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूकि प्रथम पाद को प्रत्येक बिंदु x = 0 तथा y = 0 को सन्तुष्ट करता है। अत: असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद है।
रेखांकित क्षेत्र BDEF दी गई असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्रमश: E(20, 40), B(0, 50), D(0, 200) तथा F(50, 100) हैं। जहाँ E रेखाओं x + 2y = 100 तथा 2x – y = 0 का प्रतिच्छेद बिंदु और F रेखाओं 2x + y = 100 तथा 2x – y = 0 का प्रतिच्छेद बिंदु है।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न सारणी में दिये गये है।

बिन्दु	x निर्देशक	y निर्देशांक	उदेश्य फ्लन का मान Z = x + 2y
E	20	40	ZE = 20+2×40=100
B	0	50	ZB = 0+2×50=100
F	50	100	ZF = 50+2×100 =250
D	0	200	ZD = 0+2×200 = 400

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु A(100,0) बिंदु B(0,50) तथा बिंदु E(20, 40) पर निम्नतम मान Z = 100 है जो AB को मिलाने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर न्यूनतम है तथा बिंदु D (0, 200) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान Z = 400 है।

प्रश्न 4.
अधिकतम Z = 3x + 2
व्यवरोध x + 2y ≤ 10
3x + y ≤ 15
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
x + 2y = 10 …(1)
3x + y = 15 …(2)
x = 0 ….(3)
y = 0 ….(4)
असमिका x + 2y ≤ 10 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 10 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(10, 0) तथा B(0, 5) पर मिलती है।
x + 2y = 10 के मानों के लिए सारणी

x	10	0
y	0	5

A(10, 0); B(0, 5)
बिंदु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≤ 10 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका 3x + y ≤ 15 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + y ≤ 15 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(5,0) तथा D(0, 15) पर मिलती है।
3x + y = 15 के मानों के लिए सारणी

x	5	0
y	0	15

C(5, 0); D(0, 15)
बिंदु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 0 = 0 ≤ 15 असमिका सन्तुष्ट होती है।
अतः असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु x ≥ 0 तथा y ≥ 0 को सन्तुष्ट करता है। अतः इन दोनों असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पद होगा।

रेखाओं x + 2y = 10 तथा 3x + y = 15 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक हैं।
x = 4, y = 3
छायांकित क्षेत्र QCEB दी गई समिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस हल क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), C(5, 0), E(4, 3) तथा B(0, 5) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान नीचे सारणी में दिये गये हैं

बिन्दु	x निर्देशक	y निर्देशांक	उदेश्य फ्लन का मान Z = 3x + 2y
O	0	0	ZO = 3(0)+2(0) = 0
C	5	0	ZC = 3(5)+2(0) = 15
E	4	3	ZE = 3(4)+2(3) = 18
B	0	5	ZB = 3(0)+2(5) = 10

सारिणी से स्पष्ट है कि बिदु E(4, 3) पर उद्देश्य फलन का अधिकतम मान Z = 18 है।

प्रश्न 5.
एक खीमार व्यक्ति के भोजन के कम से कम 4000 इकाई विटामिन, 50 इकाई खनिज तथा 1400 इकाई कैलोरी की। संयोजन होना चाहिये। दो खाद्य सामग्री A तथा B क्रमशः Rs 4 तथा Rs 3 प्रति इकाई की कीमत पर उपलब्ध है। यदि खाद्य सामग्री A की एक इकाई में 200 इकाई विटामिन, 1 इकाई खनिज तथा 40 कैलोरी तथा खाद्य सामग्री में की एक इकाई में 100 इकाई विटामिन, 2 इकाई खनिज तथा 40 कैलोरी हो, तो न्यूनतम लागत प्राप्त करने के लिए किस प्रकार से खाद्य सामग्री का संयोजन उपयोग करना चाहिए ?
हल :
माना खाद्य A की x इकाई तथा खाद्य B की y इकाई का संयोजन किया जाता है, तो प्रश्नानुसार न्यूनतम लागत प्राप्त करने का उद्देश्य फलन
Z = Rs 4x + 3y
समस्या में व्यवरोध विटामिन के लिए
200x + 100y ≥ 4000
खनिज के लिए x + 2y ≥ 50
तथा कैलोरी के लिए,
40x + 40y ≥ 1400
x ≥ 0, y ≥ 0
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
200x + 100y = 4000
2x + y = 40 …(1)
x + 2y = 50 ….(2)
40x + 40y = 1400
x + y = 35 …(3)
x = 0 ….(4)
y = 0 ….(5)
असमिको 200x + 100y ≥ 4000 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 2x + y = 40 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु A(20, 0) तथा B(0, 40) पर मिलती है।
2x + y = 40 के मानों के लिए सारणी

x	20	0
y	0	40

A(20, 0); B(0, 40)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 0 = 0 ≥ 40
असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अत: असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर नहीं होगा।
असमिका x + 2y ≥ 50 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2 = 50 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(50, 0) तथा D(0, 25) पर मिलती है।
x + 2y = 50 के मानों के लिए सारणी

x	50	0
y	0	25

C(50, 0); D(0, 25)
बिंदुओं C तथा D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≥ 50 असमिको सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की और नहीं होगा।
असमिका 40x + 40y ≥ 1400 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र – रेखा x + y = 35 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु E(35, 0) तथा F(0, 35) पर मिलती है।
x + y = 35 के मानों के लिए सारणी

x	35	0
y	0	35

E(35, 0); F(0, 35)
बिंदु E तथा F को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 ≥ 35 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका को हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 दोनों को सन्तुष्ट करता है। अत: इन दोनों का हल क्षेत्र प्रथम पद होगा।
रेखाओं 2x + y = 40 तथा x + 2y = 50 के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक x = 10 तथा y = 20 रेखाओं x + 2 = 50 तथा x + 2y = 35 के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक x = 20 तथा y = 15 तथा रेखाओं 2x + y = 40 और x + y = 35 के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक x = 5 तथा y = 30

छायांकित क्षेत्र CHJB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक C(50, 0), H (20, 15), J (5, 30) तथा B (0, 40) हैं।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन के मान नीचे सारणी में दिए गए हैं

बिन्दु	x निर्देशक	y निर्देशांक	उदेश्य फ्लन का मान Z = 4x + 3y
C	50	0	ZO = 4(0)+3(0) = 0
H	20	15	ZH = 4(20)+3(15) = 125
J	5	30	ZJ = 4(5)+3(30) = 110
B	0	40	ZB = 4(0)+3(40) = 120

सारणी में बिन्दु पर उद्देश्य फलन को मान निम्नतम है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अतः 4x + 3y ≤ 110 का आलेख खींचते हैं।
4x + 3y + 110 के मान के लिए सारणी

x	110/4	0
y	0	110/3

P(110/4, 0);Q(0, 110/3)
असमिका 4x + 3y ≤ 110 द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्द्धतल, सुसंगत क्षेत्र के साथ एक उभयनिष्ठ बिन्दु रखता है। अतः बिन्दु J(5, 30) पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का निम्नतम मान Rs 110 है।
अतः अनुकूलतम हल के लिए खाद्य सामग्री A की 5 इकाई खाद्य सामग्री B की 30 इकाई लेनी चाहिए।

प्रश्न 6.
एक भोज्य पदार्थ में कम-से-कम 80 इकाई विटामिन A तथा कम-से-कम 100 इकाई खनिज है। दो प्रकार की खाद्य सामग्री F1 तथा F2 उपलब्ध हैं। खाद्य सामग्री F1 की कीमत Rs 4 प्रति इकाई तथा F2 की कीमत 6 प्रति इकाई है। खाद्य सामग्री F1 की एक इकाई में 3 इकाई विटामिन A तथा 4 इकाई खनिज हैं जबकि F2 की एक इकाई में Rs 6 इकाई विटामिन A तथा 3 इकाई खनिज है। इसे एक रैखिक प्रोगामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस भोज्य पदार्थ का न्यूनतम मूल्य भी ज्ञात कीजिए जिसमें इन दोनों खाद्य सामग्रियों का मिश्रण है।
हल :
माना खाद्य F1 की मात्रा x इकाई तथा F2 की मात्रा y इकाई है।
भोज्य में F1 की कीमत Rs 4 प्रति इकाई की दर से Rs 4x
तथा F2 की कीमत Rs 6 प्रति इकाई की दर से Rs 6y
∴न्यूनतम लागत मूल्य = Rs 4x + 6y
भोज्य में F1 की x इकाई में विटामिन A, 3x इकाई तथा
F2 की y इकाई में विटामिन A, 6y इकाई
अतः प्रश्नानुसार, 3x + 6y ≥ 80
इसी प्रकार भोज्य में F1 की x इकाई में खनिज, 4x इकाई तथा
F2 की y इकाई में खनिज, 3y इकाई
अत: प्रश्नानुसार, प्रतिबन्ध 4x + 3y ≥ 100
∴x और y मात्रा है। अतः x ≥ 0, y ≥ 0
अतः दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है।
न्यूनतम Z = 4x + 6y
व्यवरोध
3x + 6y ≥ 80
4x + 3y ≥ 100
x ≥ 0
y ≥ 0
दिए गए व्यवरोधों को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
3x + 6y = 80 ……(1)
4x + 3y = 100 …(2)
x = 0 …(3)
y = 0 ….(4)
असमिका 3x + 6y ≥ 80 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 3x + 6y = 80 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिन्दु A(80/3, 0) तथा B(0, 40/3) पर मिलती है।
3x + 6y = 80 के मानों के लिए सारणी

x	80/3	0
y	0	40/3

A(80/3, 0) ; B(0, 40/3)
बिन्दु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 6(0) = 0 ≥ 80 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूलबिन्दु के विपरीत ओर होगा।
असमिका 4x + 3y ≥ 100 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 4x + 3y = 100 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिन्दु C(25, 0) तथा D(0, 100/3) पर मिलती है।
4x + 3y = 100 के मानों के लिए सारणी

x	25	0
y	0	100/3

C(25, 0) ; D(0, 100/3)
बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिन्दु को प्रतिस्थापित करने पर 4(0) + 3(0) = 0 ≥ 100 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मुल बिन्दु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x ≥ 0,y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र

चूंकि प्रथम पद का प्रत्येक बिन्दु x ≥ 0, y ≥ 0 दोनों ही असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अत: इन दोनों असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद होगा।
छायांकित क्षेत्र AED उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक A(80/3, 0), E(24, 4/3) तथा D(0, 100/3) जहाँ बिन्दु E रेखाओं 3x + 6 = 80 तथा 4x + 3y = 100 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन का भान अग्र सारणी में दिए गए

बिन्दु	x निर्देशक	y निर्देशांक	उदेश्य फ्लन का मान Z = 4x + 6y
A	80/3	0	ZA = 4×80/3+6×0 = 106.66
E	24	4/3	ZE = 4×24+6×4/3 = 104
D	0	100/3	ZD = 4×0+6×100/3 = 200

सारणी में विन्दु E(24, 4/3) पर उद्देश्य फलन का मान न्यूनतम 104 है। चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है; अत: असमिका 4x + 6y ≤ 104 का आलेख खींचते हैं।
4x + 6y = 104 के मानों के लिए सारणी

x	26	0
y	0	17 1/3

P(26, 0); Q(0, 17 1/3)
असमिका 4x + 6y ≤ 104 द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्द्धतल, संसगत क्षेत्र के साथ ‘उभयनिष्ठ बिन्दु E(24, 4/3) रखता है; अतः बिन्दु E(24, 4/3) पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का निम्नतम मान Z = 104 है।

प्रश्न 7.
एक फर्नीचर निर्माता दो उत्पाद – कुर्सी तथा टेबल बनाता है। ये उत्पादन दो यंत्रों A तथा B पर बनाए जाते हैं। एक कुर्सी को बनाने में यंत्र A पर 2 घण्टे तथा यंत्र B पर 6 घण्टे और एक टेबल को बनाने में यंत्र A पर 4 घण्टे तथा यंत्र B पर 2 घण्टे लगते है। यंत्रों A तथा B पर क्रमशः 16 घण्टे तथा 30 घण्टे प्रतिदिन समय उपलब्ध है। निर्माता को एक कुर्सी तथा एक टेबल से प्राप्त लाभ क्रमशः Rs 3 व Rs 5 है। निर्माता को अधिकतम लाभ प्राप्त करने हेतु प्रत्येक उत्पादन का दैनिक उत्पादन कितना करना चाहिए?
हल :
माना उत्पादक को प्रतिदिन x कुर्सी तथा y टेबल उत्पादन करना चाहिए।
अत: निर्माता का कुल लाभ = Rs 3x + 5y
x कुर्सी बनाने में यंत्र A पर 2x घण्टे तथा
यंत्र B पर 6 घण्टे लगते हैं; अतः
y टेबल बनाने में यंत्र A पर 4y घण्टे तथा
यंत्र B पर 2y घण्टे लगते हैं।
अतः यंत्र A पर काम के समय का व्यवरोध
2x + 4y ≤ 16 घण्टे
तथा यंत्र B पर काम के समय का व्यवरोध
(6)x + 4y ≤ 30 घण्टे
चूँकि x और y संख्या है; अतः
x ≥ 0 तथा y ≥ 0
अतः प्रश्नानुसार दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है–
अधिकतम Z = 3x + 5y
व्यवरोध 2x + 4y ≤ 16
6x + 2y ≤ 30
x ≥ 0
y ≥ 0
दिए गए व्यवरोधों को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
2x + 4y = 16 …(1)
6x + 2y = 30 …(2)
x ≥ 0 …(3)
y ≥ 0 ….(4)
असमिका 2x + 4y ≤ 16 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 2x + 4y = 16 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिन्दु A(8, 0) तथा B(0, 4) पर मिलती है।
2x + 4y = 16 के मानों के लिए सारणी

x	8	0
y	0	4

A(8, 0) ; B(0, 4)
बिन्दु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 2(0) + 4(0) = 0 ≤ 16 असमिका सन्तुष्ट होती है; अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु के ओर होगा।
असमिका 6x + 2y ≤ 30 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 6x + 2y = 30 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिन्दु C(5, 0) तथा D(0, 15) पर मिलती है।
6x + 2y = 30 के मानों के लिए सारणी

x	5	0
y	0	15

C(5,0); D(0, 15)
बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 6(0) + 2(0) = 0 ≤ 30 सन्तुष्ट होती है; अतः असमिका का हल क्षेत्र मुल बिन्दु के ओर होगा।
असमिका x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
चूँकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिन्दु x ≥ 0 तथा y ≥ 0 दोनों को ही सन्तुष्ट करता है; अतः असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद है।

छायांकित क्षेत्र OCEB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक O(0, 0), C(5, 0), E(22/5, 9/5) तथा B(0, 4) है। जहाँ E रेखाओं 2x + 4y = 16 तथा
6x + 2y = 30 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
इन बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद फलन का मान नीचे सारणी में दिए गए हैं।

बिन्दु	x निर्देशक	y निर्देशांक	उदेश्य फ्लन का मान Z = 3x + 5y
O	0	0	ZO = 3(0)+5(0) = 0
C	5	0	ZC = 3(5)+5(0) = 15
E	22/5	9/5	ZE = 3(22/5)+5(9/5) = 22.2
B	0	4	ZB = 3(0)+5(4) = 20

सारणी से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन का मान बिन्दु E(22/5, 9/5) पर अधिकतम 22.2 है।
अतः कुर्सियों की संख्या = \(\frac { 22 }{ 5 }\)
तथा टेबलों की संख्या = \(\frac { 9 }{ 5 }\)
अधिकतम लाभ = Rs 22.2

प्रश्न 8.
एक फर्म सिरदर्द की दो आकारों-आकार A तथा आकार B की गोलियों का निर्माण करती है। आकार A की गोली में 2 ग्रेन एस्प्रिन, 5 ग्रेन बाइकार्बोनेट तथा 1 ग्रेन कोफ़ीन है जबकि आकार B की गोली में 1 ग्रेन एस्प्रिन, 8 गेन बाइकार्बोनेट तथा 6.6 ग्रेन कोफ़ीन है। उपयोगकर्ताओं के द्वारा यह पाया गया है कि तुरंत प्रभाव के लिए कम-से-कम 12 ग्रेन एस्प्रिन, 74 ग्रेन बाईकार्बोनेट तथा 24 ग्रेन कोफ्रीन की आवश्यकता है। एक मरीज को तुरंत राहत प्राप्त करने के लिए कम से कम कितनी गोलियाँ लेनी चाहिए?
हल :
माना मरीज को आकार A की x गोलियाँ
तथा आकार B की y गौलियाँ लेनी चाहिए।
अतः अधिकतम गोलियों की संख्या
Z = x + y
प्रश्नानुसार, आकार A की गोलियों में एस्प्रिन की मात्रा
= 2x ग्रेन
तथा आकार B की गोलियों में एस्प्रिन की मात्रा
= 1y ग्रेन
अतः एस्प्रिन की मात्रा के लिए व्यवरोध
2x + y ≥ 12 ग्रेन
इसी प्रकार बाईकार्बोनेट की मात्रा के लिए व्यवरोध
5x + 8y ≥ 74 ग्रेन
y तथा कोफ्रीन की मात्रा के लिए व्यवरोध
x + 6.6y ≥ 24 ग्रेन
चूँकि x और गोलियों की संख्या है; अतः
x ≥ 0 तथा y ≥ 0
इस प्रकार प्राप्त दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है
न्यूनतम् Z = x + y
व्यवरोध 2x + y ≥ 12
5x + 8y ≥ 7.4
x + 6.6y ≥ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
दिए गए व्यवरोधों को समीकरण रूप में परिवर्तित करने पर,
2x + y = 12 …(1)
5x + 8y = 74 …(2)
x + 6.6y = 24 …(3)
x = 0 …(4)
y = 0 ….(5)
असमिका 2x + y ≥ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 2x + y = 12 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिन्दु A(6, 0) तथा B(0, 12) पर मिलती है।
2x + y = 12 के मानों के लिए सारणी

x	6	0
y	0	12

A(6, 0); B(0, 12)
बिन्दु A और B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रति स्थापित करने पर 2(0) + 2 = 0 ≥ 12 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है; अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु के विपरीत ओर होगा।
असमिका 5x + 8y ≥ 74 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा 5x + 8y = 74 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिन्दु C(74/5, 0) तथा D(0, 74/8) पर मिलती है।
5x + 8y = 74

x	74/5	0
y	0	74/8

C(74/5, 0) ; D(0, 74/8)
बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 5(0) + 8(0) = 0 ≥ 7.4 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है अत: असमका का ल क्षेत्र मुलबिन्दु के विपरीत और होगा।
असमिका x + 6.6y ≥ 24 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + 6.6y = 24 निर्देशी अक्षों को क्रमश: बिन्दु E(24, 0) तथा F(0, 24/6.6) पर मिलती है।
x + 6.6y = 24

x	24	0
y	0	24/6.6

E(24, 0) ; F(0, 24/6.6)
बिन्दु E तथा F को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर,
(0) + 6.6(0) = 0 ≥ 24 असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है; अतः इस असमिका का हल क्षेत्र मूलबिन्दु के विपरीत होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
चूंकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिन्दु x ≥ 0 तथा y ≥ 0 को सन्तुष्ट करता है; अतः इन असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद है।

छायांकित क्षेत्र BGHE उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अपरिबद्ध सुसंगत हल क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक B(0, 12), G(2, 8), H(46/25, 356.4/25) तथा E(24, 0) जहाँ बिन्दु G रेखाओं 2x + y = 12 तथा 5x + 8y = 74 प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु H, रेखाओं 5x + 8y = 74 तथा x + 6.6y = 24 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन का मान नीचे सारणी में दिए गए।

बिन्दु	x निर्देशक	y निर्देशांक	उदेश्य फ्लन का मान Z = x + y
B	0	12	ZB = 0+12 = 12
G	2	8	ZG = 2+8 = 10
H	46/25	356.5/25	ZH = 46/25+356.4/25 = 17.70
E	24	0	ZE = 24+0 = 24

सारणी में बिन्दु G(2, 8) पर उद्देश्य फलन का मान न्यूनतम है।
चूँकि सुसंगत हुल क्षेत्र अपरिबद्ध है; अत: x + y ≤ 10 का आलेख खींचते हैं, जो प्रतिच्छेद बिन्दु G(2, 8) से ही गुजरता है। असमिका x + y ≤ 10 द्वारा निर्धारित खुला अर्द्धतल सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ बिन्दु G(2, 8) से गुजरता है।
अतः बिन्दु G पर दी गई रैखिक प्रोगमन समस्या का निम्नतम मान 10 है; अतः मरीज को A प्रकार की 2 तथा B प्रकार की 8 गोलियाँ खिलाई जाएँ।

प्रश्न 9.
एक ईट निर्माता के पास क्रमशः 30,000 तथा 20,000 ईंटों की भण्डारण क्षमता वाले 2 डिपो A तथा B हैं। वह तीन बिल्डरों P, Q व R से क्रमशः 15,000, 20,000 तथा 15,000 ईटों के आदेश प्राप्त करता है। 1000 ईट को डिपों से बिल्डरों तक भिजवाने में परिवहन लागत नीचे सारणी में दी गई है
सारणी

	P	Q	R
A	3	1	1/2
B	1	2	3

परिवहन लागत को न्यूनतम रखते हुए निर्माता आदेशों को किस प्रकार भिजवा पायेगा?
हलः
माना A डिपो से, P बिल्डर को x हजार ईटे व Q बिल्डर को y हजार ईंटें भेजता है, तो शेष 30 – (x – y) हजार ईंटें R बिल्डर को भेजता है; जबकि x, y ≥ 0 अत: डिपो से परिवहन लागत
40 x, 20y तथा 30(30 – x – y)
इसी प्रकार डिपो B से,
P बिल्डर को भेजने वाली ईंटें = (15 – x)
Q बिल्डर को भेजने वाली ईंटें = (20 – y)
तथा R बिल्डर को भेजने वाली ईंटें = 20 – (15 – x + 20 – y)
= (x + y – 15)
अतः डिपो B से परिवहन लागत
= 20(15 – x), 60(20 – x) तथा 40(x + y – 15)
अत: दोनों डिपों से कुल परिवहन लागत
Z = 40x + 20y + 30(30 – x – y) + 20(15 – x) + 60(20 – y) + 40(x + y – 15)
= 30x – 30y + 1800
अतः उपरोक्त रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न प्रकार है
निम्नतम Z = 30x – 30y + 1800
व्यवरोध x + y ≤ 30
x ≤ 15
y ≤ 20
x + y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
दिए हुए व्यवरोध को असमिक रूप से समीकरण रूप में परिवर्तन करने पर,
x + y = 30 …(1)
x = 15 …(2)
y = 20 …(3)
x + y = 15 …(4)
x = 0 …(5)
y = 0 ……(6)

दी गई असमिकाओं के संगत समीकरण लिखने पर उन्हें आलेखित करने पर प्राप्त अभीष्ट हल क्षेत्र C(15, 0), J(15, 15), K(10, 20), E(0, 20) तथा E(0, 20) तथा H(0, 15) से परिबद्ध है।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन का माद नीचे सारणी में प्रदर्शित है –

बिन्दु	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन का मान Z = 30x – 30y + 1800
C	15	0	ZC = 30 x 15 – 30 x 0 + 1800 = 2250
J	15	15	ZJ = 30 x 15 – 30 x 20 + 1800 = 1800
K	10	20	ZK = 30 x 10 – 30 x 20 + 1800 = 1500
E	0	20	ZE = 30 x 0 – 30 x 20 + 1800 = 1200  न्यूनतम
H	0	15	ZH = 30 x 0 – 30 x 15 + 1800 = 1350

सारणी से स्पष्ट है कि बिन्दु E(0, 20) पर उद्देश्य फलन का मान निम्नतम Rs 1200 है; अतः भंडार A से P, Q, R बिल्डरों को क्रमशः 0, 20, तथा 10 हजार ईंटें और भंडार B से क्रमशः 15, 0 तथा 5 हजार ईंटें भेजनी चाहिए।

प्रश्न 10.
असमिका निकाय
x + y ≤ 3
y ≤ 6
तथा x,y ≥ 0
द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र है
(a) प्रथम पाद में अपरिबद्ध
(b) प्रथम व द्वितीय पादों में अपरिबद्ध
(c) प्रथम पाद में परिबद्ध
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दी हुई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर,
x + y = 3 …(1)
y = 6 …(2)
x = 0 …(3)
y = 0 …(4)
असमिका x + y ≤ 3 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + y = 3 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिन्दु A(3, 0) तथा B(0, 3) पर मिलती है।
x + y = 3 के मानों के लिए सारणी

x	3	0
y	0	3

A(3, 0) ; B(0, 3)
बिन्दु A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 3 असमिका सन्तुष्ट होती है; अत: असमिका का हल मूल बिन्दु की ओर होगा।
असमिका y ≤ 6 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा y = 6 निर्देशी अक्षों को क्रमशः C(0, 6) तथा D(3, 6) बिन्दुओं पर मिलती है।
0.x + y = 6 के मानों के लिए सारणी

x	0	0	3
y	0	6	6

C(0, 6) ; D(3, 6)
बिन्दु C तथा D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≤ 6 असमिका सन्तुष्ट होती है; अत: असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु की और होगा।
असमिका x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिन्दु x ≥ 0, y ≥ 0 असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है; अतः इन दोनों असमिकाओं का हल क्षेत्र प्रथम पाद होगा।

छायांकित क्षेत्र OAB असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है जो प्रथम पद में है और परिषद्ध है। अतः ‘सही विकल्प (c) है।

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