RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 7 अवकलन Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
sin^-1 (x√x), 0 ≤ x ≤ 1.
हल :
माना कि y = sin^-1 (x√x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 2.

हल :
माना

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.

हल :
माना


दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
x³.e^x .sin x
हल :
माना कि y = x³.e^x .sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 5.

हल :
माना कि

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
(x log x)^logx
हल :
माना कि y = (x log x)^logx
दोनों पक्षों को log लेने पर
log y = log (x log x)^logx
log y = log x.log (x log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 7.

हल :

y = x²[1 + tan (log x)]
y = x² + x² tan (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 8.
x^_x2-3 + (x – 3)^_x2, x > 3
हल :
माना y = x^_x2-3 + (x – 3)^_x2
u = x^_x2-3 तथा v = (x – 3)^_x2
तब y = u + v

दोनों पक्षों का log लेने पर ।
log u = log x^_x2-3
log u = (x² – 3) log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

दोनों पक्षों को log लेने पर
log v = log (x – 3)^_x2
log v = x².log (x – 3)
दो पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

समीकरण (i) में समीकरण (ii) व (iii) से मान रखने पर

प्रश्न 9.
y = 12(1 – cos t), x = 10(t – sin t).
हल :
दोनों समीकरण का t के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 10.
sin^-1x + sin^-1 √1-x²
हल :
माना y = sin^-1x + sin^-1 √1-x²
तब y = sin^-1x + cos^-1
[∵ cos^-1x = sin^-1 √1-x²]
तथा y =
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 11.
यदि

तब सिद्ध कीजिए कि

हल :

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 12.
यदि y = x sin (a + y) तव सिद्ध कीजिए कि

हल :
दिया है,
sin y = x sin (a + y)

दोनों पक्षों का y के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
यदि y = (sin x – cos x)^{(sin x – cos x)} तव मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना y = (sin x – cos x)^{(sin x – cos x)}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = (sin x – cos x) log (sin x-cos x)
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
यदि y = sin (sin x) तब प्रदर्शित कीजिए कि

हल :
दिया हैं,
y = sin(sin x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 15.
(i) यदि y = e^ax sin bx तब प्रदर्शित कीजिए कि

(ii) यदि

तब सिद्ध कीजिए कि
(1 – x²)y₂ – 3xy₁ – y = 0.
हल :
(i) दिया है,
y = e^ax sin bx  …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर


पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

(ii) दिया है,

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

पुन: दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 16.
निम्नलिखित फलनों के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए
(a) f(x) = (x – 2)√x, x ∈ [0, 2]
(b) f(x) = (x – 1) (x – 3), x ∈ [1, 3]
हन :
(a) दिया हुआ फलन ।
f(x) = x ∈ [0, 2]
स्पष्ट है कि फलन f(x) = अन्तराल [0, 2] में सतत है तथा f’ (x) = जो कि अन्तराल (0, 2) के प्रत्येक बिन्दु में परिभाषित एवं विद्यमान हैं अर्थात् फलन f(x) अन्तराल (0, 2) में अवकलनीय है।
∵f(0) = 0 = f(2)
⇒ f(0) = f(2)
उपरोक्त से फलन f(x) दिए गए अन्तराल में रोले प्रमेय के सभी प्रतिबन्धों को संतुष्ट करता है।
अत: f’ (c) = 0

इस प्रकार है कि
f’ (c) = 0
इस प्रकार के लिए रोले की प्रमेय का सत्यापन होता है।

(b) दिया हुआ फलन
f(x) = (x – 1) (x – 3), x ∈ [1,3]
स्पष्ट है कि फलन f(x) = (x – 1) (x – 3) अन्तराल [1, 3] के सतत हैं तथा f’ (x) = 2x – 4 जो कि अन्तराल (1, 3) के प्रत्येक बिन्दु में परिमित व विद्यमान हैं अर्थात् फलन f(x) अन्तराल (1,3) में अवकलनीय
∵ f(1) – 0 = f(3)
⇒ f(1) = f(3)
उपरोक्त से फलन f(x) दिए गए अन्तराल में रोले प्रमैय के सभी प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है।
अत: f’ (c) = 0
f’ (c) = 2c – 4 = 0
2c = 4
c = 2
c = 2 ∈ (1, 3)
इस प्रकार हैं कि
f’ (c) = 0
अतः c = 2 के लिए रोले की प्रमेय सत्यापित होती है।

प्रश्न 17.
निम्नलिखित फलनों के लिए लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की सत्यता की जाँच कीजिए
(a) f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3), x ∈ [0, 4]
(b) f(x)

हल :
(a) दिया हुआ फलन
f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), x ∈ [0, 4]
अर्थात् f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6, x ∈[0, 4]
स्पष्ट है कि f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6 अन्तराल [0, 4] के सतत है तथा f’ (x) = 3x² – 12x + 11, जो कि अन्तराल (0, 4) में परिमित व विद्यमान है। अत: फलन f(x) अन्तराल (0, 4) में अवकलनीय है। फलतः फलन f(x) लोग्रांश मध्यमान प्रमेय के दोनों प्रतिबन्धों को संतुष्ट करता है।

इस प्रकार है कि

इस प्रकार लाग्नज मध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है।

(b) दिया हुआ फलन

स्पष्ट है कि फलन (1 + x) तथा (5 – x) बहुपद हैं। अत: f(x) अन्तराल [1,3] में सतत व अवकलनीय है केवल x = 2 को छोड़कर।
x = 2 पर सततता को जाँच
बाय सीमा = lim_x→2^– f(x)
= lim_x→2^– (1 + x)
⇒ 1 + 2 = 3
दायीं सीमा = lim_x→2⁺ f(x)
= lim_x→2⁺ (5 – x)
⇒ 5 – 2 = 3
तथा x = 2 पर फलन का मान
f(2) = 5 – 2 = 3,
अत: lim_x→2 f(x) = 3, फलन x = 2 पर मान सतत है।
x = 2 पर अवकलनीयता की जाँच
बायाँ पक्ष

दायाँ पक्ष

∵ LHS [Lf'(2)] ≠ RHS [Rf'(2)]
अतः फलन f(x), x = 2 में अवकलनीय नहीं है।
∵ लाग्रांज मध्यमान प्रमेय की आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है।
अत: लाग्रांज मध्यमान प्रमेय सत्यापित नहीं होती हैं।

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