RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
यदि बेलन की त्रिज्या r तथा ऊँचाई h हैं तब त्रिज्या के सापेक्ष पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल :
बेलन की त्रिज्या = r
तथा ऊँचाई = h
त्रिज्या के सापेक्ष पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर
= $\frac { dS }{ dr }$
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2πr² + 2πrh

प्रश्न 2.
फ्लन y = x³ + 21 के लिए x तथा y के मान ज्ञात कीजिए, जबकि y में परिवर्तन की दर x में परिवर्तन की दर का तीन गुना है।
हल :
फलन y = x³+ 21
t के सापेक्ष अवकलन करने पर

समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
3x² = 3
⇒ x = ± 1
समीकरण का y = x³ + 21 में,
x = ± 1 रखने पर,
y = (1 + 1)³ + 21
= 1 + 21 = 22
x = – 1 रखने पर,
y(-1)³ + 21 = – 1 + 21 = 20
अत: x = ± तथा y = 22, 20

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि चरघातांकी फलन e^x वर्धमान फलन है।
हल :
माना y = e^x
तो $\frac { dy }{ dx }$ = e^x
= +ive ∀x∈R
अत: x ∈ R के लिए e एक वर्धमान फलन है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log (sin x) अन्तराल $\left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right)$ में वर्धमान तथा अन्तराल $\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right)$ में हासमान है।
हल :
F(x) = log (sin x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 5.
यदि वक्र √x – √y = √a के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा OX तथा OY को क्रमशः बिन्दुओं P तथा Q पर काटे तो सिद्ध कीजिए OP + OQ = a, जहाँ O मूल बिन्दु है।
हुल :
दिया है, वक़ का समीकरण √x – √y = √a …(i)
माना वक़ के लिए (h,k) पर स्पर्श रेखा OX तथा OY अक्षों को क्रमश: P और Q बिन्दुओं पर काटती है।
बिद् (h, k) वक़ पर स्थित है।
इसलिए
√x – √y = √a …..(ii)
समीकरण (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पतो हैं।

∴ वक्र के विन्दु (h,k) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता

अतः सूत्र y – y₁ = m(x – x) से वक़ के बिन्दु (h, k) पर स्पर्श रेखा का समीकरण

यह समीकरण (i) का रूप हैं।
A = √ah, B = √ak
∵ स्पर्श रेखा (iii) OX तथा OY को क्रमश: विन्दुओं P तथा Q पर काटती है।
∴ OP = स्पर्श रेखा द्वारा x-अक्ष पर काटा गया अंत:खंड
= A = √ah
तथा OQ = स्पर्श रेखा द्वारा y-अक्ष पर काटा गया अंत:खंड
= B = – √ak
⇒ OP + OQ = √ah – √ak
= √a (√h – √k)
= √a.√a = a [(ii) के प्रयोग से]
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
वक्र y = cos (x + y), x ∈ [- 2π, 2π] की स्पर्श रेखाओं के समीकरण कीजिए जो रेखा x + 2y = 0 के समान्तर है।
हल :
y = cos (x + y)

∵ दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा x + 2y = 0 के सर्मातर है जिसकी प्रवणता $\frac { -1 }{ 2 }$ है।

अत: दिए गए वक्र के केवल बिन्दुओं $\left( -\frac { 3\pi }{ 2 } ,0 \right)$ और $\left( \frac { \pi }{ 2 } ,0 \right)$
पर स्पर्श रेखाएँ, रेखा x + 2y = 0 के समांतर है। स्पर्श रेखाओं के समीकरण

अत: समी. (i) व (ii) ही स्पर्श रेखाओं के अभीष्ट समीकरण हैं।

प्रश्न 7.
एक घनाकार सन्दूक के आयतन की गणना में प्रतिशत त्रुटि ज्ञात कीजिए, जबकि घन की कोर की लम्बाई में त्रुटि 5 प्रतिशत होती है।
हल :
माना कि घन की भुजा x तथा आयतन V है।

घन का आयतन V = x³

V से भाग देने पर,

अतः आयतन में प्रतिशत त्रुटि
= 3 x 5 = 15%

प्रश्न 8.
धातु की एक वृत्ताकार चादर का ताप से इस प्रकार विस्तार होता है कि इसकी त्रिज्या में 2 प्रतिशत की वृद्धि होती है, इसके क्षेत्रफल में निकटतम वृद्धि ज्ञात कीजिए, जबकि ताप से पूर्व चद्दर की त्रिज्या 10 सेमी है।
हल :
माना कि वृत्ताकार चादर को त्रिज्या r सेमी तथा क्षेत्रफल S है।
तो, $\frac { \Delta r }{ r } \times 100=2$ (प्रश्न से)
वृत्ताकार चादर का पृष्ठीय क्षेत्रफल
S = πr²

∆S = 4π वर्ग सेमी
अत: क्षेत्रफल में निकटतम वृद्धि 4π वर्ग होती है।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि गोले के अन्तर्गत सबसे बड़े शंकु का आयतन, गौले के आयतन का $\frac { 8 }{ 27 }$ होता है।
हल :
माना ABC एक शंकु है जो 8 त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत बना है।

O गोले का केन्द्र है।
अतः OA = OB = OQ = R (गोले की त्रिज्या)
पुन: माना PQ = x ⇒ OP = (R – x)
तब AP = AO + OP
⇒ AP = R + R – x = 2R – x
अत:शंकु की ऊँचाई (h) = 2R – x
शंकु की त्रिज्या (r),

माना शंकु का आयतन V है, तब

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

महत्तम आयतन के लिए, $\frac { dV }{ dx }=0$

समीकरण (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष पुन: अवकलन करने पर

अत: शंकु का आयतन महत्तम होगा, जब
$x=\frac { 2R }{ 3 }$
पुनः शंकु की ऊँचाई

∴ शंकु का आयतन = $\frac { 8 }{ 27 }$ x गोले का आयतन।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ तथा महत्तम आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण ${ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right)$ होता है।
हल :
माना शंकु की विर्य ऊँचाई = l
ऊँचाई = h
त्रिज्या = r
सम्पूर्ण पृष्ठ = S
आयतन = V
अर्द्धशीर्ष कोण = α
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = πr² + πrl
S = πr² + πrl
$प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ तथा महत्तम आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> होता है। हल : माना शंकु की विर्य ऊँचाई = l ऊँचाई = h त्रिज्या = r सम्पूर्ण पृष्ठ = S आयतन = V तथा अर्द्धशीर्ष कोण = α शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = πr² + πrl स्पष्ट है कि दिये हुए S के लिए जब V उध्विष्ठ तथा निम्निष्ट होगा तभी V² भी उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ होगा। माना V² = Z Z का मान उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होगा, जब ∵ इस स्थिति में Z उच्चिष्ट है। समीकरण (i) में S = 4πr² रखने पर यदि α अर्द्धशीर्ष कोण है, तब अत: जब शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> है तो आयतन महत्तम है।$
स्पष्ट है कि दिये हुए S के लिए जब V उध्विष्ठ तथा निम्निष्ट होगा तभी V² भी उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ होगा।
माना V² = Z
$प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ तथा महत्तम आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> होता है। हल : माना शंकु की विर्य ऊँचाई = l ऊँचाई = h त्रिज्या = r सम्पूर्ण पृष्ठ = S आयतन = V तथा अर्द्धशीर्ष कोण = α शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = πr² + πrl स्पष्ट है कि दिये हुए S के लिए जब V उध्विष्ठ तथा निम्निष्ट होगा तभी V² भी उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ होगा। माना V² = Z Z का मान उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होगा, जब ∵ इस स्थिति में Z उच्चिष्ट है। समीकरण (i) में S = 4πr² रखने पर यदि α अर्द्धशीर्ष कोण है, तब अत: जब शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> है तो आयतन महत्तम है।$
Z का मान उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होगा, जब
$प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ तथा महत्तम आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> होता है। हल : माना शंकु की विर्य ऊँचाई = l ऊँचाई = h त्रिज्या = r सम्पूर्ण पृष्ठ = S आयतन = V तथा अर्द्धशीर्ष कोण = α शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = πr² + πrl स्पष्ट है कि दिये हुए S के लिए जब V उध्विष्ठ तथा निम्निष्ट होगा तभी V² भी उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ होगा। माना V² = Z Z का मान उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होगा, जब ∵ इस स्थिति में Z उच्चिष्ट है। समीकरण (i) में S = 4πr² रखने पर यदि α अर्द्धशीर्ष कोण है, तब अत: जब शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> है तो आयतन महत्तम है।$
∵ इस स्थिति में Z उच्चिष्ट है।
समीकरण (i) में S = 4πr² रखने पर
$प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ तथा महत्तम आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> होता है। हल : माना शंकु की विर्य ऊँचाई = l ऊँचाई = h त्रिज्या = r सम्पूर्ण पृष्ठ = S आयतन = V तथा अर्द्धशीर्ष कोण = α शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = πr² + πrl स्पष्ट है कि दिये हुए S के लिए जब V उध्विष्ठ तथा निम्निष्ट होगा तभी V² भी उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ होगा। माना V² = Z Z का मान उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होगा, जब ∵ इस स्थिति में Z उच्चिष्ट है। समीकरण (i) में S = 4πr² रखने पर यदि α अर्द्धशीर्ष कोण है, तब अत: जब शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> है तो आयतन महत्तम है।$
यदि α अर्द्धशीर्ष कोण है, तब
$प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ तथा महत्तम आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> होता है। हल : माना शंकु की विर्य ऊँचाई = l ऊँचाई = h त्रिज्या = r सम्पूर्ण पृष्ठ = S आयतन = V तथा अर्द्धशीर्ष कोण = α शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = πr² + πrl स्पष्ट है कि दिये हुए S के लिए जब V उध्विष्ठ तथा निम्निष्ट होगा तभी V² भी उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ होगा। माना V² = Z Z का मान उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होगा, जब ∵ इस स्थिति में Z उच्चिष्ट है। समीकरण (i) में S = 4πr² रखने पर यदि α अर्द्धशीर्ष कोण है, तब अत: जब शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण <img src="https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B+sin+%7D%5E%7B+-1+%7D%5Cleft%28+%5Cfrac+%7B+1+%7D%7B+3+%7D+%5Cright%29+&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002" alt="{ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) " class="latex" /> है तो आयतन महत्तम है।$
अत: जब शंकु का अर्द्धशीर्थ कोण ${ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 3 } \right)$ है तो आयतन महत्तम है।