RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Ex 8.4

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Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 8 अवकलजों के अनुप्रयोग Ex 8.4

निर्देश : (प्रश्न 1 से 1) अवकलज का प्रयोग करके निम्न का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
(0.009)^1/3
हल :
माना y = x^1/3 तथा x = 0.008.
∆x = 0.009 – 0.008 = 0.001
∵ y = x^1/3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

∴(0.009)^1/3 = y + ∆y
= 0.2 + 0.008 = 0.208.
अतः (0.009)^1/3 का सन्निकटन मान 0.208 है।

प्रश्न 2.
(0.999)^1/10
हल :
माना y = x^1/10, x = 1, y = 1
∆x = 0.999 – 1 = – 0.001
∵ y = x^1/10
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

∴ (0.999)^1/10 = y + dy
= 1 – 0.0001 = 0.9999
अतः (0.999)^1/10 का सन्निकटन मान 0.9999 है।

प्रश्न 3.
$\sqrt { 0.0037 }$
हल :
माना y = √x, x = 0.0036, y = 0-06
∆x = 0.0037 – 0.0036 = 0.0001
∵ y = √x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

dy = 0.000833 = ∆y (∵ ∆y ≅ dy)
∴ $\sqrt { 0.0037 }$ = y + ∆y
= 0.06 + 0.000833
= 0.060833 = 0.008
अतः $\sqrt { 0.0037 }$ का सन्निकटन मान 0.0608 है।

प्रश्न 4.

हल :
माना

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 0.25 – 0.0005
= 0.2495
अतः

को सन्निकटन् मान 0.2495 है।

प्रश्न 5.
(15)^1/4
हुल :
माना y = x^1/4
x = 16, y = (16)^1/4 = 2
∆x = 15 – 16 = -1
∵ y = x^1/4
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

∴ (15)^1/4 = y + ∆y
= 2 + (-0.03125)
= 2 – 0.03125
= 1.96875.
अतः (15)^1/4 का सन्निकटन मान 1.96875 है।

प्रश्न 6
√401
हल :
माना y = x^1/2, x = 400, y = 20,
∆x = 401 – 400 = 1
∵ y = x^1/2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

dy = 0.025 = ∆y (∵ ∆y ≅ dy)
∴ (401)^1/2 = y + dy
= 20 + 0.025 = 20.025
अतः √401 का सन्निकटन मान 20.025 है।

प्रश्न 7.
(3.968)^3/2
हल :
माना y = x^3/2, x = 4
y = (4)^3/2 = (2²)^3/2 = 2³ = 8
∆x = 3.968 – 4 = – 0.032
∵ y = x^3/2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

∴ (3.968)^3/2 = y + ∆y
= 8 + (-0.096)
= 8 – 0.096
= 7.904.
अत: (3.968)^3/2 का सनकटन मान 7.004 हैं।

प्रश्न 8.
(32:15)^1/5
हन :
माना y = x^1/5, x = 32, y = (32)^1/5 = 2,
∆x = 32.15 – 32 = 0.15
∵ y = x^1/5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 0.001875 = ∆y (∵ ∆y ≅ dy)
∴(32.15)^1/5 = y + ∆y = 2 + 0.001875
= 2.001875
अत: (32.15)^1/5 का सन्निकटने मान 2.001875 है।

प्रश्न 9.
√0.6
हुन :
माना y = √x, x = 0.64, y = 0.8
∆x = 0.6 – 0.64 = -0.04
∵ y = √x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

∴√0.6 = y + ∆y
= 0.8 + (-0.125)
= 0.8 – 0.025
= 0.775.
अतः √0.6 का सन्निकटन मान 0.775 है।

प्रश्न 10.
log₁₀ (10.1), जबकि log₁₀e = 0.4343
हुल-
माना कि y = log₁₀x …..(i)
जहाँ x = 10, ∆x = 0.1
⇒ x + ∆x = 10.1
y = log₁₀ x
= log₁₀e. log_e x
x सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 0.04343 x 0.1
∆y = 0.004343
समीकरण (i) से,
y + ∆y = log₁₀ (x + ∆x)
⇒ log₁₀ x + ∆y = log₁₀ (x + ∆x)
⇒ log₁₀ 10 + 0.004343 = log₁₀ (10.1)
⇒ log₁₀ (10.1) = 1 + 0004343
⇒ log₁₀ (10.1) = 1.004343
अत: log₁₀ (10.1) को सन्निकटन मान 1.004343 है।

प्रश्न 11.
log_e (10.02), जबकि log_e10 = 2.3026
हल :
माना कि y = log_e x
जहाँ x = 10, ∆x = 0.02
तथा x + ∆x = 10.02
y = log_ex
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अब समीकरण (i) से,
y + ∆y = log_e (x + ∆x)
log_e x + ∆y = log_e (x + ∆x)
log_e 10 + 0.002 = log_e (10.02)
log_e (10.02) = 2.3026 + 0.002
log_e (10.02) = 2.3046
अत: log_e (10.02) का सन्निकटन मान 2.3046 है।

प्रश्न 12.
यदि y = x² + 4 तथा x का मान 3 से 3.1 में परिवर्तित होता है, तब अवकलज के प्रयोग से y में परिवर्तन का सन्निकटन मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया हैं, y = x² + 4
x = 3 रखने पर,
y = (3)² + 4 = 9 + 1 = 13
∆x = 3.1 – 3 = 0.1
∵ y = x² + 4
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अतः y में परिवर्तन का सन्निकटन मान 0.6 हैं।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि एक घनाकार सन्दूक के आयतन की गणना में प्रतिशत त्रुटि, घन की कोर की लम्बाई मापने में त्रुटि की लगभग तीन गुना होती है।
हल :
माना कि घनाकार सन्दूक को कोर को लम्बाई x तथा आयतन V है, तब
V = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

अत: आयतन में प्रतिशत त्रुटि = 3 x कोर में प्रतिशत त्रुटि
इसीलिए आयतन की गणना में प्रतिशत त्रुटि, कोर में प्रतिशत त्रुटि की लगभग तीन गुना होती है।

प्रश्न 14.
यदि गोले की त्रिज्या 10 सेमी से 9.8 सेमी तक सिकुड़ती है, तब इसके आयतन में सन्निकटन त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हुल :
प्रश्नानुसार,
गौले की त्रिज्या के = 10 सेमी
∆r = त्रिज्या सिकुड़ती हैं।
= – 9.8 – 10 = – 0.2 सेमी
अब गोले का आयतन (V) = $\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }$
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,

∵ गोले के आयतन की गणना करने में सन्निकटन त्रुटि
dV = $\frac { dv }{ dr }$ x (∆r)
dV = 4πr² x (∆r)
dV = 4π x (10)² x (-0.2)
dV = – 400 π सेमी³ = – 80 π सेमी³
अत: आयतन में सन्निकटन त्रुटि 80π सैमी³ है।