RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.6

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.6

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.
(a) ∫x cos
(b) ∫x sec²x
हल :
(a) ∫x cos dx

= x sin x – ∫1.sin x dx
= x sin x – ( – cos x) + C
= x sin x + cos x + C

(b) ∫x sec²x dx

= x tan x – ∫1.tan x dx
= x tan x + log |cos x| + C
= x tan x – log |sec x| + C

प्रश्न 2.
(a) x³e^-x
(b) x³ sinx
हल :
(a) ∫x³e^-x

= – x³e^-x + 3∫x²e^-x dx ….(i)
∫x² e^-x dx

= – x²e^-x + ∫2xe^-x dx
= – x²e^-x + 2∫xe^-x dx ……(ii)
∫x e^-x dx

= – xe^-x + ∫e^-x dx
= – xe^-x – e^-x + C …..(iii)
समी. (i), (ii) व (iii) को हल करने पर
∫x³e^-x dx = – x³e^-x + 3[- x²e^-x + 2 ∫xe^-x dx]
= -x³e^-x + 3(-x²e^-x + 2(-xe^-x – e^-x + C1))
= -x³e^-x – 3x²e^-x + 6(-xe^-x – e^-x + C1)
= -x³e^-x – 3x²e^-x – 6xe^-x – 6e^-x + 6C1
= -x³e^-x – 3x²e^-x – 6xe^-x – 6e^-x + C
= -e [x³ + 3x² + 6x + 6] + C

(b) ∫x³ sinx

= -x³ cos x + 3x² sin x – 6(-x cos x + ∫cos x dx)
= -x³ cosx + 3x² sin x + 6x cos x – 6 sin x + C

प्रश्न 3.
(a) ∫x³ (log x)² dx
(b) ∫x³e^_x2 dx.
हल :
(a) ∫x³ (log x)² dx

(b) ∫x³e^_x2 dx.
माना x² = t
⇒ 2x dx = dt
⇒ x dx =

प्रश्न 4.
(a) ∫ e^2x e^_ex dx
(b) ∫ (log x)² dx
हल :
(a) ∫ e^2x e^_ex dx
माना e^x = t
e^x dx = dt

= t e^t – ∫1 e^t dt = te^t – e^t + c
= e^t (t – 1) + c
= e^_ex (e^x – 1) + c

(b) I = ∫ (log x)² dx = ∫(log x)².1 dx
[(log x)² को प्रथम फलन तथा 1 को द्वितीय फलन लेने पर ]

(log x को प्रथम फलन तथा 1 को द्वितीय फलन लेने पर)

= x (log x)² – 2x log x + 2x + C

प्रश्न 5.

हल :
(a) I = ∫ cos^-1x dx
माना cos^-1 x = t
तब x = cos t
dx = – sint dt
∴ I = – ∫t sin t dt
(t को प्रथम फलन तथा sin t को द्वितीय फलन लेने पर)

माना x = a tan²θ
∴ dx = 2a tan θ sec² θ dθ

(θ को पहला एवं tan θ sec² θ को दूसरा फलन मानने पर)
खण्डशः समाकलन से,

प्रश्न 6.

हल :
(a) I = ∫ sin^-1 (3x – 4x³) dx
माना x = sin t, तब dx = cos t dt
∴ I = ∫sin^-1(3 sint – 4 sin³ t).cos t dt
= ∫sin^-1 (sin 3t) cos t dt
= ∫3t cos t dt
= 3∫t cost dt
(t को प्रथम फलन तथा cos t को द्वितीय फलन लेने पर)

(x को प्रथम फलन तथा sec² को द्वितीय फलन लेने पर)।

प्रश्न 7.

हल :
(a) माना x = cos θ
dx = – sinθ dθ,

(b) ∫cos √x dx
माना √x = t, x = t²
dx = 2t dt
∫cos √x dx = ∫cos t.2t dt

प्रश्न 8.

हल :

= ∫x sec² x dx – ∫x tan x sec x dx
= I1 – I2 …….(i)
I1 = ∫x sec² x dx

= x tan x – ∫1.tan x dx
= x tan x – ∫tan x dx
= x tanx – (- log |cos x|) + C1
= x tan x + log |cos x| + C1 ….(ii)
I2 = ∫x.tan x sec x dx

= x sec x – ∫1.sec dx
= x sec x – ∫sec x dx
= x sec x – log | sec x + tan x | + C2 …(iii)

प्रश्न 9.

हल :

प्रश्न 10.

हल :

= θ( – cos θ) + ∫ cos θ dθ
= – θ cos θ + sin θ + c
= sin θ – θ cos θ + c
= cos θ [tanθ – θ] + c

प्रश्न 11.
∫ e^x (cot x + log sin x) dx
हल :
∫ e^x (cot x + log sin x) dx
माना I = ∫e^x [log |sin x| + cot x]dx
= ∫e^x log | sinx | dx + ∫e^x cot x dx
= ∫log | sin x | e^x dx + ∫e^x cot x dx
अब ∫log |sin x| e^x dx


∴ I = e^x log | sin x |e^x – ∫e^x cotx dx + ∫e^x cotx dx
= log | sin x |e^x + C
= e^x log | sin x | + C

प्रश्न 12.

हल :

= ∫x sec² x dx + ∫tan x dx
= x tan x – ∫tan x dx + ∫tan x dx
= x tan + C

प्रश्न 13.

हल :

(केवल पहले भाग का खण्डशः समाकलन करने पर)

प्रश्न 14.

हल :

प्रश्न 15.
∫e^x [log (sec x + tan x) + sec x) dx
हल :
= ∫e^x [log (sec x + tan x) + sec x) dx
= ∫e^x log (sec x + tan x) dx + ∫e^x sec x dx
= ∫log (sec x + tan x) e^x dx + ∫sec xe^x dx

= e^x log |sec x + tan x| – ∫sec xe^x dx + ∫sec xe^x dx + C
= e^x log |sec x + tan x| + C

प्रश्न 16.
∫e^x (sin x + cos x) sec² x dx
हल :
∫e^x (sin x + cos x) sec² x dx

= ∫e^x (sec x + sec x tan) dx
= e^x sec x + C [∵ e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c , f(x) = sec x , f'(x) = sec x tan x]

प्रश्न 17.

हल :

प्रश्न 18.

हल :

प्रश्न 19.

हल :

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.

हल :

Sec^-1 x को प्रथम तथा 1 को द्वितीय फलन लेकर खण्डशः माकलन करने पर,

प्रश्न 22.
∫ (sin^-1 x)² dx
हल :
माना I = ∫(sin^-1 x)² dx
माना sin^-1 x = θ
x = sinθ
∴ dx = c0s θ dθ
∴ I = ∫θ² • cos θ aθ
(θ² को प्रथम फलन एवं cos θ को द्वितीय फलन लेने पर)
= θ² sin θ – ∫2θ sin θ dθ + C
= θ² sin θ – 2∫θ sin θ + C
= θ² sin θ – 2[θ – cos θ) – ∫1.(-cos θ) dθ]+C
(पुन: θ को प्रथम तथा sin θ को द्वितीय फलन लेने पर)।
= θ² sin θ + 2θ cos θ – 2∫cos θ dθ+C
= θ² sin θ + 2θ cos θ – 2 sin θ + C

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