RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Additional Questions

RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Additional Questions is part of RBSE Solutions for Class 9 Maths. Here we have given Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Additional Questions.

Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 9
Subject	Maths
Chapter	Chapter 10
Chapter Name	त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल
Exercise	Additional Questions
Number of Questions Solved	18
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती हैं, तब ar (∆BCG) : ar (∆ABC) का अनुपात है?
(A) 1 : 3
(B) 3 : 1
(C) 1 : 2
(D) 2 : 1

प्रश्न 2.
चित्र में समबाहु त्रिभुज ABC तथा APQ इस प्रकार है कि(RBSESolutions.com)बिन्दु P रेखा AB का मध्य बिन्दु है। तब ar (APQ) : ar (ABC) का अनुपात है।

(A) 1 : 2
(B) 1 : 4
(C) 3 : 4
(D) 4 : 1

प्रश्न 3.
चित्र में, ABCD एक वर्ग PN है। यदि विकर्ण AC तथा BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं और AO = 4 सेमी; तब वर्ग ABCD का क्षेत्रफल होगाः

(A) 32 सेमी²
(B) 64 सेमी²
(C) 16 सेमी²
(D) 20 सेमी²

प्रश्न 4.
चित्र में, ABCD एक D समचतुर्भुज है। यदि BO = 3 सेमी तथा(RBSESolutions.com)समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है। विकर्ण AC की लम्बाई होगी :

(A) 6 सेमी
(B) 8 सेमी
(C) 16 सेमी
(D) 10 सेमी

प्रश्न 5.
यदि ∆ABC तथा ∆ABD एक ही आधार AB पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB तथा AD के मध्य स्थित है, तब ar (∆ABC) : ar (∆ABD)
(A) 1 : 1
(B) 1 : 2
(C) 1 : 3
(D) 1 : 4

प्रश्न 6.
एक चतुर्भुज के विकर्ण इसको 4 समान(RBSESolutions.com)क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, तब चतुर्भुज होगा:
(A) समान्तर चतुर्भुज
(B) समचतुर्भुज
(C) आयत
(D) सभी

प्रश्न 7.
चित्र में, PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। यदि RU ⊥ TQ तब, PQRS का क्षेत्रफल है:

(A) TQ × RU
(B) \(\frac { 1 }{ 2 }\) × RU × TQ
(C) 2 × RU × TQ
(D) QR × RU

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी तथा(RBSESolutions.com)ऊँचाई 10 सेमी है तो इसका क्षेत्रफल होगाः
(A) 30 सेमी²
(B) 50 सेमी²
(C) 60 सेमी²
(D) 72 सेमी²

उत्तरमाला

1. (A)
2. (B)
3. (A)
4. (B)
5. (A)
6. (D)
7. (A)
8. (C)

अतिलघूत्तीय/लघूत्तीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिका उसको समान क्षेत्रफल वाली दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
हल
दिया है। एक ∆ABC, जिसमें AD माध्यिका है।
सिद्ध करना है : क्षेत्रफल (∆ABD) = क्षेत्रफल (∆ADC)

रचना : AL ⊥ BC
उपपत्ति : AD, ∆ABC की माध्यिका है, अत: D बिन्दु, BC का मध्य-बिन्दु है।
BD = DC
BD × AL = DC × AL
\(\frac { 1 }{ 2 }\) × BD × AL = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × DC × AL
(दोनों पक्षों में \(\frac { 1 }{ 2 }\) से गुणा करने पर)
क्षेत्रफल (∆ABD) = क्षेत्रफल (∆ADC)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 2.
आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए।

हल
हमें ज्ञात है कि
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = DC × AE
= AB × AE (∵ AB = CD)
= (16 × 8) सेमी
= 128 सेमी …(i)
पुनः समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज ABCD में
AD = BC, AD || BC के बीच की दूरी CF हो, तो
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AD × CF = (AD × 10) सेमी …(ii)
समीकरण (i) एवं (ii) से,
128 = AD × 10
AD = 12.8 सेमी।

प्रश्न 3.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (∆AOD) = ar (∆BOC) है। सिद्ध करो कि AB || CD है।

हल
शीर्ष C तथा D से भुजा AB पर लम्ब CN तथा DM खींचे।
ar (∆AOD) = ar (∆BOC) (दिया है)
⇒ ar (∆AOD) + ar (∆AOB) = ar (∆BOC) + ar (∆AOB)
[दोनों पक्षों में ar (∆AOB) जोड़ने पर)
ar (∆ABD) = ar (∆ABC)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB × DM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB × CN
DM = CN चूँकि दो (RBSESolutions.com)रेखाओं के बीच की दूरी हमेशा बरोबर होती है।
अत: AB || CD इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल इसके विकर्णो की लम्बाई के गुणनफल का आधा होता है।
हल
दिया है : एक समचतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है : ar (ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC × BD
उपपत्ति : चूँकि हम जानते हैं कि समचतुर्भुज परस्पर लम्ब होते हैं।
AO ⊥ BD तथा OC ⊥ BD,
ar (∆ABD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD x AO …(1)
तथा ar (∆BCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD x OC …(2)
समी. (1) तथा (2) के (RBSESolutions.com)पक्षों को जोड़ने पर
ar (∆ABD) + ar (∆BCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD x AO + \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD x OC
ar (ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD (AO + OC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD x AC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC x BD
इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
आकृति में, ∆ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि ar (∆ABE) = ar (∆ACE)

हल
दिया है: AD, त्रिभुज ABC की माध्यिका है और E भुजा AD पर स्थित कोई बिन्दु है।
सिद्ध करना है: ar (∆ABE) = ar (∆ACE)
उपपत्ति : AD, त्रिभुज ABC की माध्यिका है।
ar (∆ABD) = ar (∆ACD) …(i)
साथ ही, ED त्रिभुज EBC की(RBSESolutions.com)माध्यिका है।
ar (∆BED) = ar (∆CED) …(ii)
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,
ar (∆ABD) – ar (∆BED) = ar (∆ACD) – ar (∆CED)
ar (∆ABE) = ar (∆ACE)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
दिए गए चित्र में BD || CA है, : E रेखाखण्ड CA का मध्य-बिन्दु है तथा BD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) CA है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABC) = 2ar (DBC) है।

हल
DE को मिलाइए। यहाँ BCED एक समान्तर चतुर्भुज है, क्योंकि
BD = CE और BD || CE है।
ar (DBC) = ar (EBC) …(1)
[एक ही आधार BC और एक ही(RBSESolutions.com)समान्तर रेखाओं BC तथा DE के बीच में है।
∆ABC में, BE एक माध्यिका है।
ar (EBC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC)
ar (DBC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC) [समी. (1) से]
अतः ar (ABC) = 2ar (DBC)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.

हल

प्रश्न 8.
दो त्रिभुज के आधार क्रमशः 8 सेमी व 6 सेमी हैं। यदि उनकी ऊँचाई क्रमशः 6 सेमी व 8 सेमी हो, तो उनके क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 8 × 6
= 24 वर्ग सेमी
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 6 × 8
= 24 वर्ग सेमी

प्रश्न 9.
दो त्रिभुज एक ही आधार पर एवं एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। एक त्रिभुज की ऊँचाई 5 सेमी तथा क्षेत्रफल 18 वर्ग सेमी है। दूसरे त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दो त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज DBC एक ही(RBSESolutions.com)आधार BC पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं SR तथा PQ के मध्य स्थित हैं।
अतः दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होगा।

प्रश्न 10.
सिद्ध करो कि समलम्ब चतुर्भुज को क्षेत्रफल, उसकी समान्तर भुजाओं के मध्य लम्ब दूरी और समान्तर भुजाओं के योगफले के गुणन का आधा होता है।
हल
दिया है। समलम्ब चतुर्भुज ABCD, जिसमें
AB || CD, AL ⊥ DC और CN ⊥ AB है।
AB = a, DC = b, AL = CN = h (माना)
सिद्ध करना है :
ar (समलम्ब(RBSESolutions.com)चतुर्भुज ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × h × (a + b)
रचना : A और C को मिलाया।
उपपत्ति: AC, चतुर्भुज ABCD का विकर्ण है।
ar (समलम्ब चतुर्भुज ABCD) = ar (∆ABC) + ar (∆ACD)

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