RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Ex 10.2

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Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 9
Subject	Maths
Chapter	Chapter 10
Chapter Name	त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल
Exercise	Exercise 10.2
Number of Questions Solved	6
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Ex 10.2

प्रश्न 1.
दिए गए चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमें AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए।

हल
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी, CD = AB = 10 सेमी
(समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज ABCD की. सम्मुख भुजाएँ।)
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = CD × AE = 16 × 8 = 128 वर्ग सेमी
पुनः समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AD × CF
⇒ 128 = AD × 10
⇒ AD = 12.8 सेमी

प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EPGH) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD) है।

हल
H, F को मिलाया।
H और F क्रमशः AD तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
AH = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AD
तथा BF = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC
⇒ ABFH एक समान्तर चतुर्भुज है।
चूँकि समान्तर चतुर्भुज ABFH तथा त्रिभुज FHE एक ही आधार FH पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं AB तथा FH के मध्य स्थित हैं।
ar (∆FHE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar(समान्तर चतुर्भुज ABFH) …..(1)
इसी प्रकार त्रिभुज GFH तथा समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज CFHD एक ही आधारे HF तथा एक ही समान्तर रेखाओं CD तथा HF के मध्य स्थित हैं।
ar (∆GFH) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (CFHD)….(2)
समी. (1) तथा (2) को जोड़ने पर
ar (∆FHE)+ ar (∆GFH) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar(समान्तर चतुर्भुज ABFH) +\(\frac { 1 }{ 2 }\) (समान्तर चतुर्भुज CFHD)
ar (EFGH) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
P और Q क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए ar (APB) = ar (BQC)

हल
त्रिभुज APB तथा समान्तर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार AB पर तथा एक ही समान्तर रेखा A युग्म AB तथा CD के मध्य स्थित हैं।
ar (∆APB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (स. च. ABCD) …(1)
त्रिभुज BQC तथा समान्तर चतुर्भुज ABCD एक ही(RBSESolutions.com)आधार BC पर तथा एक ही समान्तर रेखा युग्म BC तथा AD के बीच स्थित है।
ar(∆BQC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (समान्तर चतुर्भुज ABCD)…(2)
समी. (1) तथा (2) से
ar (∆APB) = ar (∆BQC)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
चित्र में, P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि

(i) ar (∆APB) + ar (∆PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD)
(ii) ar (∆APD) + ar (∆PBC) = ar (∆APB) + ar (∆PCD)
हल
दिया है : P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यन्तर(RBSESolutions.com)में स्थित कोई बिन्दु है।
सिद्ध करना है :
(i) ar (∆APB) + ar (∆PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD)
(ii) ar (∆APD) + ar (∆PBC) = ar (∆APB) + ar (∆PCD)

रचना : EF || BC तथा GH || AB खींची।
उपपत्तिः (i) GH || AB (रचना से) तथा CD || AB (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
GH || CD
त्रिभुज APB तथा समान्तर चतुर्भुज ABHG एक आधार AB पर तथा एक ही समान्तर रेखायुग्म AB तथा GF के मध्य स्थित हैं।
ar (∆APB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABHG) …(1)
त्रिभुज PCD तथा समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज CDGH एक ही आधार CD पर तथा एक ही समान्तर रेखा युग्म CD तथा GH के बीच स्थित है।
ar (∆PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (CDGH) …(2)
समी. (1) तथा (2) को जोड़ने पर
ar (∆APB) + ar (∆PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABHG) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (CDGH)
⇒ ar (∆APB) + ar (∆PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [ar (ABHG) + ar (CDGH)]
⇒ ar (∆APB) + ar (∆PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD) …(3)
(ii) EF || BC (रचना से) तथा AD || BC (समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
अतः EF || AD त्रिभुज APD तथा समान्तर चतुर्भुज AEFD एक ही आधार AD पर तथा एक ही समान्तर रेखा युग्म AD और EF के बीच स्थित है।
ar (∆APD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (AEFD) …(4)
त्रिभुज PBC तथा समान्तर चतुर्भुज BCFE एक ही आधार BC पर तथा एक ही समान्तर रेखा युग्म BC और EF के बीच स्थित है।
ar (∆PBC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (BCEF) …(5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर,
ar (∆APD) + ar (∆PBC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ADFE) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (BCEF)
⇒ ar (∆APD) + ar (∆PBC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD) ……(6)
समीकरण (3) तथा (6) से
ar(∆APB) + ar(∆PCD) = ar(∆APD) + ar(∆PBC)
⇒ ar(∆APD) + ar(∆PBC) = ar(∆APB) + ar(∆PCD)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
चित्र में, PQRS और ATRS समान्तर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा TR पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि
(i) ar (PQRS) = ar (ATRS)
(ii) ar (AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (PQRS)

हल
(i) समान्तर चतुर्भुज PQRS तथा ATRS एक ही आधार RS तथा एक ही समान्तर रेखायुग्म PT’ और RS के मध्य स्थित हैं।
ar (PQRS) = ar (ATRS) …(1)
(ii) त्रिभुज AXS तथा समान्तर चतुर्भुज ATRS एक ही(RBSESolutions.com)आधार AS पर तथा एक ही समान्तर रेखायुग्म AS तथा TR के मध्य स्थित हैं।
ar (∆AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ATRS) …..(2)
समीकरण (1) तथा (2) से
ar (∆AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (PQRS)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 6.
एक किसान के पास समान्तर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या है? किसान खेत में गेहूँ और दाले बराबर-बराबर भागों में(RBSESolutions.com)अलग-अलग चाहता है। वह ऐसा कैसे करे?

हल
माना किसान के पास चित्रानुसार PQRS समान्तर चतुर्भुज के आकार का एक खेत है। किसान ने भुजा RS पर एक बिन्दु A चुनकर उसे P तथा Q से मिला दिया।
खेत तीन त्रिभुजाकार भागों में विभाजित(RBSESolutions.com)हो गया हैं ये भाग ∆PSA, ∆PAQ तथा ∆QAR हैं।
किसान को गेहूँ और दालें बराबर क्षेत्रफलों में बोनी हैं, इसलिए P से सम्मुख भुजा SR “पर PN लम्ब डाला गया है।
∆PAQ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × PQ × PN
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
PQ = RS
तब ∆PAQ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × RS × PN (∵ PQ = RS)
∆PAQ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (SA + AR) × PN
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × SA × PN + \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AR × PN
= ∆PSA का क्षेत्रफल + ∆QAR का(RBSESolutions.com)क्षेत्रफल
अत: किसान को ∆PAQ क्षेत्रफल में गेहूं और ∆PSA तथा ∆QAR के क्षेत्रफल में दालें बोनी चाहिए।

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