RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Ex 10.3

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Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 9
Subject	Maths
Chapter	Chapter 10
Chapter Name	त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल
Exercise	Exercise 10.3
Number of Questions Solved	15
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल Ex 10.3

सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-
प्रश्न 1.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज और X भुजा AB का मध्य-बिन्दु है। यदि ar(AXCD) = 24 सेमी² है तो ar(ABC) = 24 सेमी² है।

हल
ar (∆ABC) = 24 सेमी² …….(i)
ar (ABCX) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 24 = 12 सेमी² [∵ CX, ∆ABC की माध्यिका है।]
ar (AXC) = ar (∆ABC) – ar (∆BCX) = 24 – 12 = 12 सेमी²
ar (AXCD) = ar (∆ACD) + ar (∆ACX) = 24 + 12 = 36 सेमी² …(ii) [∵ ar (∆ACD) = ar (∆ABC)]
समी. (i) तथा (ii) से, ar (∆ABC) ≠ ar (AXCD)
अतः कथन असत्य है।

प्रश्न 2.
PQRS एक आयत है, जो त्रिज्या 13 सेमी वाले एक वृत्त के चतुर्थांश के(RBSESolutions.com)अंतर्गत है। A भुजा PQ पर स्थित कोई बिन्दु है। यदि PS = 5 सेमी है, तो ar (RAS) = 30 सेमी है।
हल
विकर्ण SQ को मिलाया SQ² = PQ² + PS²
13² = PQ² + 5²
PQ = √(13² – 5²) = √(169 – 25) = 12 सेमी
आयत PQRS का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 12 × 5 = 60 सेमी

त्रिभुज RAS तथा आयत PQRS एक ही(RBSESolutions.com)आधार SR तथा एक समान्तर रेखा युग्म PQ तथा SR के मध्य स्थित है।
ar (∆RAS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (आयत PQRS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 60 = 30 सेमी²
अत: कथन सत्य है।

प्रश्न 3.
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल 180 सेमी² है तथा A विकर्ण QS पर स्थित कोई बिन्दु है। तब ∆ASR का क्षेत्रफल 90 सेमी² है।
हल

समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण इसके(RBSESolutions.com)क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
∆QRS का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × समान्तर चतुर्भुज
PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 180 = 90 वर्ग सेमी
अतः ∆ASR का क्षेत्रफल 90 वर्ग सेमी से कम होगा। अतः कथन असत्य है।

प्रश्न 4.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। तब, ar (BDE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC) है।
हल
ABC तथा BDC दो। समबाहु(RBSESolutions.com)त्रिभुज हैं।
AB = BC = AC
माना कि AB = BC = AC = x
D, BC का मध्य बिन्दु है।
BD = BE = DE = \(\frac { x }{ 2 }\)

प्रश्न 5.
दिए गए चित्र में, ABCD और EFGD दो समान्तर चतुर्भुज हैं तथा G भुजा CD का मध्य-बिन्दु है। तब, ar (DPC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (EFGD) है।
हल

ABCD तथा EFGD दो समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज हैं। तथा G भुजा CD का मध्य बिन्दु है।
CD = AB
तथा DG = \(\frac { 1 }{ 2 }\) CD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB
DG = EF
⇒ EF = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB
ar(EFGD) = DG x AM
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB × AM
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB × AM
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar(ABCD) …..(1)
∆DPC तथा समान्तर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार CD तथा एक ही समान्तर रेखाओं CD और AB के मध्य स्थित हैं।
ar(∆DPC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar(ABCD) …(2)
समीकरण (1) और (2) से,
ar(∆DPC) = ar(EFGD)
अर्थात् ar(∆DPC) ≠ \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar(EFGD)
अतः कथन असत्य है।

प्रश्न 6.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को २ पर(RBSESolutions.com)मिलती है। सिद्ध कीजिए। ar(ABCD) = ar(APQD)

हल
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, AB || CD है,
∠ABC = ∠QCB (एकान्तर कोण)
∠PBL = ∠QCL …(1)
तथा L, भुजा BC का मध्य बिन्दु है।
CL = BL …(2)
∆PBL तथा ∆QCL में,
∠PBL = ∠QCL [सिमी (1) से]
BL = CL (समी (2) से)
∠PLB = ∠QLC (शीर्षाभिमुख(RBSESolutions.com)कोण)
∆PBL = ∆QCL
⇒ ar (∆PBL) = ar (∆QCL) …(3)
ar (समलम्ब ABCD) = ar (APQD) + ar(PBL) – ar (AQCL) = ar (APQD)
अतः ar (ABCD) = ar (APQD)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.
यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है। (आकृति में)।

हल
चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को क्रम से मिलाने पर प्राप्त आकृति समान्तर चतुर्भुज PQRS है।
चूंकि हम जानते हैं कि माध्यिका त्रिभुजे को(RBSESolutions.com)दो समान क्षेत्रफलों वाले भागों में विभाजित करती है।
PD त्रिभुज BCD की माध्यिका है।
ar (∆PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆BCD) …(1)
PQ त्रिभुज PCD की माध्यिका है।
ar (∆PCQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆PCD)
⇒ ar (∆PCQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆BCD) [सिमी (1) से]
⇒ ar (∆PCQ) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (∆BCD) …(2)
इसी प्रकार, ar (∆ASR) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (∆ABD) …(3)
समी (2) तथा (3) के संगत पक्षों को जोड़ने पर
ar (∆PCQ) + ar (∆ASR) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (∆BCD) + \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (∆ABD)
⇒ ar (∆PCQ) + ar (∆ASR) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (ABCD) …(4)
इसी प्रकार ar (∆BSP) + ar (∆RQD) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (ABCD) …(5)
समी. (4) तथा (5) के संगत(RBSESolutions.com)पक्षों को जोड़ने पर
ar (∆PCQ) + ar (∆ASR) + ar (∆BSP) + ar (∆RQD) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (ABCD) + \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar (ABCD)
⇒ ar (∆PCQ) + ar (∆ASR) + ar (∆BSP) + ar (∆RQD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD) …(6)
⇒ ar (PQRS) = ar (ABCD)- [ar (∆PCQ) + ar (∆ASR) + ar (∆BSP) + ar (∆RDF)]
= ar (ABCD) – \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
एक व्यक्ति 10 मीटर पूर्व की ओर जाता है और तब 30 मीटर उत्तर की ओर जाता है। उसकी प्रारम्भिक स्थान से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना कि व्यक्ति की प्रारम्भिक स्थिति A है।
बिन्दु A से व्यक्ति 10 मीटर पूर्व की ओर जाता है अर्थात् AB = 10 मी तथा फिर 30 मी उत्तर की ओर जाता है अर्थात् BC = 30 मी
उसकी प्रारम्भिक स्थान से दूरी ज्ञात(RBSESolutions.com)करनी है। समकोण त्रिभुज ABC में,

प्रश्न 9.
एक सीढ़ी दीवार के साथ इस प्रकार रखी गई है कि इसका नीचे का सिरा दीवार से 7 मीटर दूर है। यदि इसका दूसरा सिरा 24 मीटर ऊँची एक खिड़की तक पहुँचे, तो सीढ़ी की(RBSESolutions.com)लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB कोई दीवार है जिसमें 24 मी ऊँचाई पर बिन्दु A पर खिड़की है अर्थात् AB = 24 मी। दीवार के निचले सिरे से 7 मी दूर AC कोई सीढ़ी है।
अर्थात् BC = 7 मी.

समकोण त्रिभुज ABC में,
AC² = BC² + AB²
⇒ AC² = 7² + 24²
⇒ AC² = 49 + 576 = 625
⇒ AC = √625 = 25 मी.
अत: सीढ़ी की लम्बाई = 25 मी

प्रश्न 10.
एक समतल भूमि पर दो खम्भे 7 मीटर और 12 मीटर लम्बे खड़े हैं। यदि उनके पादों के बीच में 12 मीटर की दूरी हो, तो उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना कि दो खम्भों AB तथा CD हैं। इन खम्भों की ऊँचाइयाँ(RBSESolutions.com)क्रमशः 7 मी तथा 12 मी हैं। खम्भों के पादों के बीच की दूरी 12 मी है।
अर्थात् AB = 7 मी, CD = 12 मी तथा BC = 12 मी

BC के समान्तर रेखा AE खींची।
∠BAE + ∠ABC = 180° (क्रमागत अन्त: कोण)
⇒ ∠BAE + 90° = 180°
⇒ ∠BAE = 90°
इसी प्रकार, ∠AEC = 90°
अत: ABCE एक आयत है।
AE = BC = 12 मी तथा CE = AB = 7 मी
DE = CD – CE = 12 मी – 7 मी = 5 मी
∠AED = ∠BCE = 90° (संगत कोण) समकोण
∆AED में, (पाइथागोरस प्रमेयं से)
AD² = AE² + DE² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
⇒ AD = √169 = 13 मी।
अत: खम्भों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी = 13 मी

प्रश्न 11.
एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षलम्ब की लम्बाई और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। जिसकी भुजा की लम्बाई a है।
हल
माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी (RBSESolutions.com)भुजा की लम्बाई a है।
चूंकि समबाहु त्रिभुज में शीर्षलम्ब, संगत भुजा को समद्विभाजित करता है।
अतः BD = CD = \(\frac { a }{ 2 }\)

प्रश्न 12.
एक वर्ग के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसकी प्रत्येक भुजा 4 मी है।
हल

माना ABCD एक वर्ग हैं जिसकी प्रत्येक भुजा 4 मी है।
वर्ग का प्रत्येक 4 मी(RBSESolutions.com)कोण 90° होता हैं।
समकोण ∆BAD में,
BD² = AB² + AD²
BD² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32
BD = √32 = 4√2 मी
अतः वर्ग के विकर्ण की लम्बाई = 4√2 मी

प्रश्न 13.
एक समबाहु त्रिभुज ABC में, AD भुजा BC पर लम्ब है। तो सिद्ध कीजिए कि 3AB² = 4AD²
हल
माना समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा a है।
तथा AD ⊥ BC है।
समबाहु त्रिभुज में लम्ब संगत(RBSESolutions.com)भुजा को समद्विभाजित करती है।
अतः BD = CD = \(\frac { a }{ 2 }\)

समकोण ∆ABD में,
AB² = BD² + AD²

प्रश्न 14.
आयत ABCD के अन्दर कोई बिन्दु O है। सिद्ध कीजिए कि : OB² + OD² = OA² + OC²
हल
दिया है : ABCD एक आयत है, जिसके(RBSESolutions.com)अन्दर कोई बिन्दु O है।

सिद्ध करना हैं : OB² + OD² = OA² + OC²
रचना : AB के समान्तर O से गुजरती L हुई रेखा EF खींची जो AD तथा BC को L क्रमशः बिन्दु E तथा F पर प्रतिच्छेद करती है।
उपपत्ति : AB || EF
∠A = ∠DEF = 90° (संगत कोण)
तथा ∠B = ∠CFE = 90°
समकोण ∆AEO में, पाइथागोरस(RBSESolutions.com)प्रमेय से
AO² = OE² + AE² …..(1)
समकोण ∆OFC में, OC² = OF² + CF² …(2)
समकोण ∆OED में, OD² = ED² + OE² …(3)
समकोण ∆BFO में, OB² = BF² + OF² …(4)
समी. (3) तथा (4) को जोड़ने पर
OD² + OB² = ED² + OE² + BF² + OF²
= CF² + OE² + AE² + OF² [∵ ED² = CF², BF² = AE²]
= CF² + OF² + AE² + OE² = OC² + AO² [समी (1) तथा (2) का प्रयोग करने पर]
⇒ OB² + OD² = OA² + OC²
इति सिद्धम्।

प्रश्न 15.
एक अधिककोण त्रिभुज ABC में कोण C अधिक कोण है। AD ⊥ BC है और BC को आगे बढ़ाने पर D पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि AB² = AC² + BC² + 2 × BC × CD
हल
दिया है : एक अधिककोण(RBSESolutions.com)त्रिभुज जिसमें ∠C > 90°
तथा AD ⊥ BC

सिद्ध करना है : AB² = AC² + BC² + 2 × BC × CD
उपपत्ति: समकोण ∆ADC में, AC² = CD² + AD² …(1)
समकोण ∆ABD में, AB² = BD² + AD²
⇒ AB² = (BC + CD)² + AD²
⇒ AB² = BC² + CD² + 2BC.CD + AD²
⇒ AB² = BC² + AD² + CD² + 2BC.CD
⇒ AB² = BC² + AC² + 2BC.CD (समी (1) से)
⇒ AB² = AC² + BC² + 2BC.CD
इति सिद्धम्।

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