RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Additional Questions

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Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 9
Subject	Maths
Chapter	Chapter 12
Chapter Name	घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
Exercise	Additional Questions
Number of Questions Solved	22
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 12 घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आयतन के बराबर है, तो घन की कोर है-
(A) 5 सेमी
(B) 6 सेमी
(C) 7 सेमी
(D) 8 सेमी

प्रश्न 2.
6 सेमी × 4 सेमी × 2√3 सेमी माप वाले एक आयताकार(RBSESolutions.com)बक्से में कितनी अधिकतम लम्बाई की छड़ रखी जा सकती है?
(A) 8 सेमी
(B) 6√3 सेमी।
(C) 5√3 सेमी
(D) 4√2 सेमी

प्रश्न 3.
4 सेमी भुजा वाले घन को 1 सेमी भुजा वाले घनों में काटा गया है। काटे गए छोटे घनों का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
(A) 96 सेमी²
(B) 64 सेमी²
(C) 24 सेमी²
(D) 384 सेमी²

प्रश्न 4.
किसी घनाभ के तीन आसन्न फलकों के(RBSESolutions.com)क्षेत्रफल क्रमशः x, y, z हैं। घनाभ का आयतन है:
(A) √(xyz)
(B) 2√(xyz)
(C) xyz
(D) 2xy

प्रश्न 5.
यदि किसी घन के विकर्ण की लम्बाई 6√3 सेमी हो, तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा
(A) 648 सेमी²
(B) 432 सेमी²
(B) 216 सेमी²
(D) 144 सेमी²

प्रश्न 6.
यदि घन के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल का अनुपात 3 : 4 : 6 है और इसका आयतन 3000 सेमी³ है, तब लम्बी भुजा की लम्बाई है:
(A) 15 सेमी
(B) 20 सेमी
(C) 10 सेमी
(D) 125 सेमी

प्रश्न 7.
किसी घन के 1 फलक का परिमाप 32 सेमी है। घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है-
(A) 256 सेमी²
(B) 384 सेमी²
(C) 216 सेमी²
(D) 300 सेमी²

उत्तरमाला

1. (B)
2. (A)
3. (D)
4. (A)
5. (C)
6. (B)
7. (B)

प्रश्न 8.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

1. घनाभ में 6 ……… होते हैं।
2. घन में 12 ………. होती हैं।
3. घनाभ का प्रत्येक फलक ………. होता है।
4. घन का प्रत्येक(RBSESolutions.com)फलक ……….. होता है।
5. घनाभ का आयतन =…… का क्षेत्रफल × ऊँचाई
6. 1 मी³ =………… ली
7. 1 ली =……… सेमी³

उत्तर-

1. (i) फलक
2. (ii) कोर
3. (iii) आयताकार
4. (iv) वर्गाकार
5. (v) आधार
6. (vi) 1000
7. (vii) 1000

अतिलघूत्तीय/लघूत्तीय प्रश्न

प्रश्न 1.
6 मीटर भुजा के वर्गाकार फर्श के कमरे में 180 घन् मीटर हुवा है। कमरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है,
वर्गाकार कमरे की लम्बाई और चौड़ाई = 6 मीटर
कमरे में हवा का आयतन = 180 घन मीटर
माना कमरे की ऊँचाई = h मीटर
कमरे में हवा का आयतन = कमरे को आयतन
⇒ 180 = l × b × h [कमरे में हवा का आयतन = 180 मी³
⇒ 180 = 6 × 6 × h
⇒ h = 5 मीटर
अतः वर्गाकार कमरे की ऊँचाई = 5 मीटर

प्रश्न 2.
एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5, 4 और 3 मीटर हैं। 7.50 रुपये प्रति मीटर की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 (l + b) × h
= 2 (6 + 4) × 3
= 2 × 9 × 3 मी²
= 54 मी
और छत का क्षेत्रफल = l × b = 5 × 4 मीटर = 20 मीटर²
सफेदी करने वाले तल का क्षेत्रफल = (54 + 20) मीटर² = 74 मीटर²
1 मीटर2 क्षेत्रफल पर सफेदी कराने का व्यय = 7.50 मीटर²
74 मीटर क्षेत्रफल पर सफेदी कराने का व्यय = 7.50 × 74 रु० = 555 रु०

प्रश्न 3.
एक सन्दूक की माप 50 सेमी × 36 सेमी × 25 सेमी है। इस सन्दूक का कवर बनाने में कितने वर्ग सेमी कपड़े की आवश्यकता होगी?
हल
सन्दूक की लम्बाई = 50 सेमी, चौड़ाई = 36 सेमी
और ऊँचाई = 25 सेमी
सन्दूक का कवर बनाने के लिए उसके सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर कपड़े की आवश्यकता होती।
सन्दूक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (ल. × चौ. + चौ. × ॐ. + ॐ. × लं.)
= 2 (560 × 36 + 36 × 25 + 25 × 50)
= 2 (1800 + 900 + 1250)
= 2 (3950) वर्ग सेमी
= 7900 वर्ग सेमी।
अत: सन्दूक के कवर के लिए 7900 वर्ग सेमी कपड़े की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 4.
एक छोटा पौधा-घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा-घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
हल
(i) पौधा-घर की लम्बाई (l) = 30 सेमी
चौड़ाई (b) = 25 सेमी व ऊँचाई (h) = 25 सेमी।
पौधा-घर का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 [(30 × 25) + (25 × 25) + (25 × 30)]
= 2 [750 + 625 + 750]
= 2 × 2125
= 4250 सेमी
अत: पौधा घर बनाने में प्रयुक्त काँच का क्षेत्रफल = 4250 वर्ग सेमी।
(ii) 12 किनारों में 4 लम्बाइयाँ, 4 चौड़ाइयाँ व 4 ऊँचाइयाँ होती हैं।
सभी किनारों की माप = 4 (लम्बाई + चौड़ाई + ऊँचाई)
= 4 (30 + 25 + 25)
= 4 × 80
= 320 सेमी
अत: आवश्यक टेप की लम्बाई = 320 सेमी।

प्रश्न 5.
यदि 12 सेमी कोर वाले ठोस घन को 8 बराबर आयतन वाले घनों में काटा जाता है। इस प्रकार बने घन की कोर की लम्बाई क्या होगी? दिए हुए घन तथा 8 नए बने घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात करो।
हल
माना कि प्रत्येक नए बने घन की कोर की माप a सेमी है.
12 सेमी कोर वाले घन का आयतन = a सेमी कोर वाले 8 घनों का आयतन
12³ = 8a³ = (2a)³
⇒ a = 6 सेमी
12 सेमी कोर वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S₁) = 6 × 12² = 864 सेमी²
6 सेमी कोर वाले 8 घनों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S₂) = 8 × 6 × 6² = 1728

अतः प्रत्येक नए घन की कोर की लम्बाई = 6 सेमी
तथा दिए हुए घनों का अभीष्ट अनुपात = 1 : 2

प्रश्न 6.
किसी हाल की लम्बाई 16 मी तथा चौड़ाई 10 मी है। हाल के छत और फर्श का क्षेत्रफल हाल की चारों दीवारों के क्षेत्रफल के बराबर है। इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करो।
हल
हाल की लम्बाईतथा चौड़ाई क्रमशः 16 मी तथा 10 मी है।
माना कि हाल की ऊँचाई h मी है।
प्रश्नानुसार, हाल के छत और फर्श का क्षेत्रफल = हाल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल
2 × l × b = 2 (l + b) × h
2 × 16 × 10 = 2 (16 + 10) × h
20 × 16 = 2 × 26 × h
h = \(\frac { 320 }{ 52 }\) = 6.15 मी (लगभग)
हाल का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (16 × 10 + 10 × 6.15 + 6.15 × 16)
= 2 (160 + 61.5 + 98.4)
= 2 × 319.9
= 639.8 मी
अतः हाल का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 639.8 मी

प्रश्न 7.
किसी घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई का योग 17 सेमी है तथा इसके विकर्ण की लम्बाई 13 सेमी है ज्ञात करोः
(i) घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) 2.5 रू/सेमी2 की दर से रंग कराने का व्यय
हल
माना कि घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः l सेमी, b सेमी तथा h सेमी है।
(i) प्रश्नानुसार, घनाभ के(RBSESolutions.com)विकर्ण की लम्बाई = 13 सेमी
⇒ \(\sqrt { { l }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ h }^{ 2 } } =13\)
⇒ l² + b² + h² = 13²
⇒ l² + b² + h² = 169 …(1)
l + b + h = 17
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(l + b + h)² = (17)²
⇒ l² + b² + h² + 2lb + 2bh + 2hl = 289
⇒ 169 + 2 (lb + bh + hl) = 289 [समी. (1) से]
⇒ 2 (lb + bh + hl) = 289 – 169 = 120
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 120 सेमी²
(ii) घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर रंग कराने व्यय = 120 × 25 = 300 रु।

प्रश्न 8.
एक दीवार की लम्बाई 5 मीटर, चौड़ाई 30 सेमी और ऊँचाई 3 मीटर है। दीवार बनाने में 20 सेमी × 10 सेमी × 7.5 सेमी माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी? ईंटों का मूल्य 150 रुपये प्रति सैकड़ा हो, तो ईंटों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल
दीवार की लम्बाई = 5 मीटर = 500 सेमी
दीवार की चौड़ाई = 30 सेमी
दीवार की ऊँचाई =3 मीटर = 300 सेमी
अतः दीवार का(RBSESolutions.com)आयतन = लं. × चौ. × ॐ. = 500 × 30 × 300 = 4500000 घन सेमी
ईंट की लम्बाई = 20 सेमी, चौड़ाई = 10 सेमी और ऊँचाई = 7.5 सेमी।
अतः 1 ईंट का आयतन = लं. × चौ. × ॐ. = 20 × 10 × 7.5 = 1500 घन सेमी
दीवार में लगी ईंटों की संख्या

अतः ईंटों की कुल संख्या 3000 और ईंटों का कुल मूल्य 4,500 रुपये होगा।

प्रश्न 9.
एक बच्चा भवन ब्लॉकों से खेल रहा है, जो एक घन के आकार के हैं और उसने नीचे दिखाई गई आकृतिक अनुसार ढाँचा बना लिया है। प्रत्येक घन का किनारा 3 सेमी है। उस बच्चे द्वारा बनाए(RBSESolutions.com)गए ढाँचे का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल
घन की कोर (या भुजा) = 3 सेमी
प्रत्येक घन का आयतन = भुजा × भुजा × भुजा = 3 × 3 × 3 = 27 सेमी
ढाँचे में घनों की संख्या 15 है।
ढाँचे का आयतन = 27 × 15 = 405 सेमी3।

प्रश्न 10.
एक घनाकार बर्तन में 8 लीटर पानी(RBSESolutions.com)आता है। बर्तन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है,
घनाकार बर्तन में पानी की मात्रा = 8 लीटर
अतः घनाकार बर्तन का आयतन = 8 लीटर = 8 × 1000 घन सेमी [1 लीटर = 1000 घन सेमी]
= 8000 घन सेमी
अब माना घनाकार बर्तन की भुजा = x सेमी
अतः बर्तन का आयतन = x³ घन सेमी

प्रश्न 11.
एक आयताकार धातु की चादर की लम्बाई 45 सेमी तथा चौड़ाई 30 सेमी है। इसके प्रत्येक किनारे से 5 सेमी का वर्ग काटा गया है। चादर के बचे हुए भाग को मोड़कर एक खुला बक्सा बनाया गया है। इस बक्से का आयतन ज्ञात करो।
हल
आयताकार धातु की चादर की लम्बाई = 45 सेमी
आयताकार धातु की(RBSESolutions.com)चादर की चौड़ाई = 30 सेमी
एक खुला बक्सा बनाने के लिए 5 सेमी भुजा का वर्ग प्रत्येक किनारे से काटा गया है और पल्लो को मोड़ दिया गया है।
बक्से की विमाएँ होगीं
लम्बाई (l) = 45 – 2 × 5 = 35 सेमी
चौड़ाई (b) = 30 – 2 × 5 = 20 सेमी
ऊँचाई (h) = 5 सेमी

बक्से का आयतन = l × b × h = 35 × 20 × 5 = 3500 सेमी

प्रश्न 12.
तीन धातु के घनों की कोरों का अनुपात 3 : 4 : 5 है। यदि इनको पिघलाकर एक नया घन बनाया जाए। जिसके विकर्ण की लम्बाई 12√3 सेमी है। इन तीन घनों की कोर ज्ञात करो।
हल
माना कि तीन घनों की कोर क्रमश: 3x सेमी, 4x सेमी, 5x सेमी है।
अत: तीनों घनों के(RBSESolutions.com)आयतन का योग = (3x³) + (4x³) + (5x³)
= 27x³ + 64x³ + 125x³
= 216x³
माना कि नये बने घन की कोर a सेमी है।
नये बने घन के विकर्ण की लम्बाई = 12√3 सेमी
⇒ a√3 = 12√3 सेमी
⇒ a = 12 सेमी
नये बने घन का आयतन = a³ = (12)³ = 1728 सेमी
तीन घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया है।
तीनों घनों के आयतन का योग = नये बने घन का आयतन
⇒ 216x³ = 1728
⇒ x³ = 8
⇒ x = 2 सेमी
धातु के तीन घनों की कोरों की माप है।
3 × 2 = 6 सेमी, 4 × 2 = 8 सेमी तथा 5 × 2 = 10 सेमी।
अत: धातु के तीन घनों(RBSESolutions.com)की कोरों की माप 6 सेमी, 8 सेमी तथा 10 सेमी है।

प्रश्न 13.
a, b तथा c विमाओं वाले घन का आयतन V तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, तब सिद्ध करो

हल

प्रश्न 14.
एक आयताकार जलाशय 75 मी लम्बा, 50 मी चौड़ा है। 15 सेमी × 10 सेमी अनुप्रस्थ काट वाली नली से 10 किमी/घण्टा की दर से इसमें पानी बह रहा है। 20 घण्टे में पानी को स्तर कितना ऊँचा उठ जायेगा?
हल
नली से बहे पानी की चाल = 10 किमी/घण्टा
1 घण्टे में बहे पानी की लम्बाई = 10 किमी = 10000 मी
20 घण्टे में बहे पानी(RBSESolutions.com)की लम्बाई = 10000 × 20 = 200000 मी
नली की अनुप्रस्थ काट की विमाएँ

अतः जलाशय में उठे पानी के स्तर की ऊँचाई = 80 सेमी।

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