RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 चतुर्भुज Ex 9.2

RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 चतुर्भुज Ex 9.2 is part of RBSE Solutions for Class 9 Maths. Here we have given Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 9 चतुर्भुज Exercise 9.2.

Board	RBSE
Textbook	SIERT, Rajasthan
Class	Class 9
Subject	Maths
Chapter	Chapter 9
Chapter Name	चतुर्भुज
Exercise	Exercise 9.2
Number of Questions Solved	17
Category	RBSE Solutions

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 9 चतुर्भुज Ex 9.2

प्रश्न 1.
चित्र में, ABCD और AEFG दो समांतर चतुर्भुज हैं। यदि ∠C = 55° है, तो ∠F निर्धारित कीजिए।

हल
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ ∠A = ∠C (सम्मुख कोण)
⇒ ∠A = 55° [∵∠C = 55°]
AEFG एक समान्तर चतुर्भुज है।
∠F = ∠A (सम्मुख कोण)
⇒ ∠F = 55°

प्रश्न 2.
क्या किसी चतुर्भुज के सभी कोण न्यूनकोण हो सकते हैं? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल
माना चतुर्भुज का प्रत्येक कोण 89° है।
चतुर्भुज के चारों कोणों का योग = 89° + 89° + 89° + 89° = 356°
परन्तु चतुर्भुज के(RBSESolutions.com)चारों कोणों का योग 360° होता है।
अत: चतुर्भुज के सभी कोण न्यूनकोण नहीं हो सकते।

प्रश्न 3.
क्या किसी चतुर्भुज के सभी कोण समकोण हो सकते हैं?
हल
एक आयत व वर्ग के सभी कोण समकोण होते हैं तथा आयत या वर्ग एक चतुर्भुज है।
अत: चतुर्भुज के सभी कोण समकोण हो सकते हैं।

प्रश्न 4.
किसी चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं। यदि ∠A = 35° है, तो ∠B निर्धारित कीजिए।

हल
चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं। अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∠A = 35°
AD || BC तथा AB एक तिर्यक रेखा है।
∠A + ∠B = 180°(क्रमागत अन्त:कोणों का योग 180° होता है)
⇒ 35° + ∠B = 180°
⇒ ∠B = 180° – 35°
⇒ ∠B = 145°

प्रश्न 5.
एक चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण बराबर हैं। यदि AB = 4 सेमी है, तो CD निर्धारित कीजिए।

हल
चूंकि चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण बराबर हैं।
अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
AB = 4 सेमी
चूँकि हम जानते हैं कि(RBSESolutions.com)समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
CD = AB
⇒ CD = 4 सेमी

प्रश्न 6.
ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें D से AB पर शीर्षलम्ब AB को समद्विभाजित करता है। समचतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

हल
माना शीर्ष D से शीर्षलम्ब DM, AB को समद्विभाजित करता है।
ΔAMD तथा ΔBMD में
AM = BM (दिया है)
∠AMD = ∠BMD = 90° (दिया है)
DM = DM (उभयनिष्ठ भुजा)
ΔAMD = ΔBMD (SAS नियम से)
AD = BD (CPCT) …(1)
AD = AB (समचतुर्भुज(RBSESolutions.com)की भुजाएँ) …(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
AD = AB = BD
ABD एक समबाहु त्रिभुज है।
⇒ ∠A = 60°(∵ समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है)
अब AD || BC तथा AB एक तिर्यक रेखा है।
∠A + ∠B = 180° (क्रमागत अन्त:कोण)
⇒ 60° + ∠B = 180°
∠B = 180° – 60° = 120°
∠C = ∠A = 60° तथा ∠D = ∠B = 120° (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज ABC के शीर्षों A, B और C से होकर क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के समांतर रेखाएँ RQ, PR और QP चित्र में दर्शाए अनुसार खींची गई हैं। दर्शाइए कि BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) QR है।

हल
BC || RQ (दिया है)
⇒ BC || AR
तथा AC|| RP (दिया है)
⇒ RB || AC
BC || AR तथा RB || AC
ACBR एक समान्तर चतुर्भज है।
RB || AC तथा RB = AC (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
AC || RP ⇒ AC || BP …(1)
तथा AB || PQ ⇒ AB || PC
ABPC एक(RBSESolutions.com)समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ BP || AC तथा BP = AC …(2) (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
समीकरण (1) तथा (2) से,
RB = BP
⇒ B, RP का मध्य बिन्दु है तथा BC || QR
BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) QR
इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
D, E और F क्रमशः एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और AC के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि ∆DEF भी एक समबाहु त्रिभुज हैं।
हल

D, E और F क्रमश: एक समबाहु त्रिभुज ABC को भुजाओं AB, BC तथा AC के मध्य बिन्दु हैं।
D तथा F, AB और AC के मध्य बिन्दु हैं।
DF = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC …(1) है।
D तथा E, AB तथा BC के मध्य बिन्दु है।
DE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC …(2)
E और F, BC तथा AC के मध्य(RBSESolutions.com)बिन्दु हैं।
EF = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB …(3)
AB = BC = AC (समबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ) …..(4)
समीकरण (1), (2), (3) तथा (4) से
DE = EF = DF
अतः त्रिभुज DEF एक समबाहु त्रिभुज हैं।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
एक समांतर चतुर्भुज ABCD की, सम्मुख भुजाओं AB और CD पर क्रमशः बिन्दु P और Q इस प्रकार लिए गए हैं कि AP = CQ है (चित्र) दर्शाइए कि AC और PQ परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

हल
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं AB और CD पर क्रमशः बिन्दु P और Q इस प्रकार लिए गए हैं कि AP = CQ
सिद्धकरना है: AC और PQ परस्पर समद्विभाजित है।
उपपत्ति: समान्तर(RBSESolutions.com)चतुर्भुज ABCD में,
AB || CD तथा AC एक तिर्यक रेखा है।
∠BAC = ∠DCA (एकान्तर कोण)
∠PAR = ∠QCR …(1)
∆APR तथा ∆CQR में,
AP = CQ (दिया है)
∠PAR = ∠QCR (समी. (1) से)
∠ARP = ∠CRQ (शीर्षाभिमुख कोण)
∆APR = ∆CQR (AAS नियम से)
AR = CR तथा PR = QR (CPCT)
अतः AC और PQ परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 10.
E एक समलंब ABCD की भुजा AD का मध्य-बिन्दु है, जिसमें AB || DC है। E से होकर AB के समांतर खींची गई रेखा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि F भुजा BC का
मध्य-बिन्दु है। (संकेत : AC को मिलाइए।)

हल
दिया है: AB || EF || CD तथा E, AD का मध्य बिन्दु है।
सिद्ध करना है: F, भुजा BC का मध्य बिन्दु है।
रचना : A को C से मिलाया, जो कि EF को G पर प्रतिच्छेद करती है।
उपपत्ति: EF || CD ⇒ EG || CD
∆ACD में,
EG || CD तथा E भुजा AD का मध्य बिन्दु है।
⇒ G, AC का (RBSESolutions.com)बिन्दु होगा।
∆ABC में, GF || AB तथा G, AC का मध्य बिन्दु है।
⇒ F, भुजा BC का मध्य बिन्दु होगा।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 11.
∆ABC में, AB = 5 सेमी, BC = 8 सेमी और CA = 7 सेमी हैं। यदि D और E क्रमशः AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं, तो DE की लंबाई निर्धारित कीजिए।

हल
∆ABC, में बिन्दु D और E, भुजा AB तथा AC के मध्य में बिन्दु हैं।
AC = 7 सेमी
DE || AC तथा
DE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AC
⇒ DE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 7 = 3.5 सेमी

प्रश्न 12.
चित्र में यह दिया है कि BDEF और FDCE समांतर चतुर्भुज हैं। क्या आप यह कह सकते हैं कि BD = CD है? क्यों और क्यों नहीं?

हल
दिए गए चित्र में, BDEF समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ BD = FE (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ) …(1)
तथा FDCE समान्तर चतुर्भुज है।
CD = FE (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ) …(2)
समीकरण (1) व (2) से,
BD = CD

प्रश्न 13.
दिए गए चित्र में, D, E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं। यदि AB = 4.3 सेमी, BC = 5.6 सेमी और AC = 3.9 सेमी हों, तो निम्नलिखित का परिमाप ज्ञात कीजिए।
(i) ∆DEF
(ii) चतुर्भुज BDEF

हल
∆ABC में, F तथा E भुजाओं AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं।
FE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC …(1)
⇒ FE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 5.6 = 2.8 सेमी (∵ BC = 5.6 सेमी)
F तथा D भुजाओं AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
FD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x AC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 3.9 (∵ AC = 3.9 सेमी)
⇒ FD = 1.95 सेमी
तथा D और E भुजाओं BC और AC के मध्य बिन्दु हैं।
DE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x AB …(2)
⇒ DE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 4.3
⇒ DE = 2.15 सेमी
∆DEF का परिमाप = DE + EF + FD = 2.15 + 2.8 + 1.95 = 6.9 सेमी।
अत: ∆DEF का(RBSESolutions.com)परिमाप = 6.9 सेमी
(ii) FE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x BC [समी (1) से]
⇒ FE = BD = 2.8 सेमी [BD = CD]
तथा DE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x AB [समी (2) से]
⇒ DE = BF = 2.15 सेमी [BF = AF]
चतुर्भुज BDEF का परिमाप = BD + DE + FE + FB = 2.8 + 2.15 + 2.8 + 2.15 = 9.9 सेमी
अतः चतुर्भुज BDEF का परिमाप = 9.9 सेमी।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की क्रमागत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनाया गया चतुर्भुज भी एक वर्ग होता है।

हल
दिया है: ABCD एक वर्ग है। जिसकी भुजाओं AB, BC, CD तथा AD के क्रमशः मध्य बिन्दु P, Q, R तथा S हैं। P को Q से, Q को R से, R को S से तथा S को न P से मिलाया। हमें PQRS एक चतुर्भुज प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है : PQRS एक वर्ग है।
रचना : AC और BD को मिलाया।
उपपत्ति: ∆ABC में, P तथा Q भुजाओं AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
PQ || AC तथा PQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC …(1)
∆ADC में, R तथा S(RBSESolutions.com)भुजाओं CD तथा AD के मध्य बिन्दु हैं।
SR || AC तथा SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC …(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
PQ || SR तथा PQ = SR …(3)
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
ABCD एक वर्ग है।
AB = BC = CD = AD
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) CD तथा \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AD
⇒ PB = CR तथा BQ = CQ …(4)
∆PBQ तथा ∆RCQ में,
PB = CR तथा BQ = CQ (समी. (4) से)
∠PBQ = ∠RCQ = 90°
∆PBQ = ∆RCQ (SAS नियम से)
PQ = QR …. (CPCT) …(5)
समीकरण (3) तथा (5) से
PQ = QR = RS …(6)
परन्तु PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
QR = PS …(7)
समीकरण (6) तथा (7) से
PQ = QR = RS = PS
PQ || AC ⇒ PM || NO
P तथा S भुज(RBSESolutions.com)ओं AB तथा AD के मध्य बिन्दु हैं।
PS || BD ⇒ PN || MO
अतः PNOM में, PM || NO तथा PN || MO
PNOM एक समान्तर चतुर्भुज है।
चूँकि हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं।
अत: ∠AOB = 90°
⇒ ∠NOM = 90°
⇒ ∠QPS = 90°
अब ∠NPM = ∠AOB = 90° (समान्तर चतुर्भुज PNOM के सम्मुख कोण)
समान्तर चतुर्भुज PQRS में,
PQ = QR = RS = SP तथा ∠QPS = 90°
अत: PQRS एक वर्ग है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 15.
एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत् हैं। सिद्ध कीजिए कि इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से निर्मित चतुर्भुज एक आयत होता है।
हल
दिया है: ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण परस्पर लम्ब हैं अर्थात् ∠AOB = 90° तथा बिन्दु P, Q, R तथा S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD तथा AD के मध्य बिन्दु हैं।
PQ, QR, RS तथा SP को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : PQRS एक(RBSESolutions.com)आयत है।

रचना : AC तथा BD को मिलाया।
उपपत्ति: ∆ABC में, बिन्दु P और Q भुजाओं AB तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
अत: PQ || AC तथा PQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC …(1)
∆ADC में, बिन्दु R तथा S भुजाओं CD तथा AD के मध्य बिन्दु हैं।
SR || AC तथा SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC …(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
PQ || SR तथा PQ = SR
⇒ PQRS एक(RBSESolutions.com)समान्तर चतुर्भुज है।
PQ || AC
⇒ PM || ON ….(3)
∆ABD में, बिन्दु P तथा S भुजाओं AB तथा AD के मध्य बिन्दु हैं।
PS || BD ⇒ PN ||OM …(4)
समीकरण (3) तथा (4) से
PM || ON तथा PN || OM
⇒ PNOM एक समान्तर चतुर्भुज है।
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर लम्बवत् है।
∠AOB = 90°
⇒ ∠NOM = 90°
⇒ ∠NPM = ∠NOM = 90° (सम्मुख कोण)
⇒ ∠QPS = 90°
अब PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसका एक कोण ∠QPS = 90°
अत: PQRS एक आयत है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण को समद्विभाजित करने वाली माध्यिका कर्ण की आधी होती है।
हल
दिया है: ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका ∠B समकोण है तथा बिन्दु D, AC का मध्य बिन्दु है।
सिद्ध करना है:
BD = AD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC

रचना : बिन्दु D से DE || BC खींची।
उपपत्ति: DE || BC
∠AED = ∠ABC (संगत कोण)
∠AED = 90° [∵∠ABC = 90°] …(1)
∠AED + ∠BED = 180° (रैखिक कोण युग्म)
⇒ 90° + ∠BED = 180°
⇒ ∠BED = 180° – 90° = 90° …(2)
∆ABC में बिन्दु D, भुजा AC का मध्य बिन्दु है। तथा DE || BC
बिन्दु E, भुजा AB का मध्य बिन्दु होगा।
AE = BE …(3)
∆AED तथा ∆BED में,
AE = BE (समी. (3) से)
∠AED = ∠BED = 90° (समी. (1) तथा (2) से)
DE = DE (उभयनिष्ठ(RBSESolutions.com)भुजा)
∆AED = ∆BED (SAS नियम से)
⇒ AD = BD (CPCT)
परन्तु AD = CD अत: AD = BD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC
अत: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण को समद्विभाजित करने वाली माध्यिका कर्ण की आधी होती है।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि एक आयत की भुजाओं के युग्मों के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से एक समचतुर्भुज बनता है।
हलं
दिया है: ABCD एक आयत है जिसमें P, Q, R, S क्रमश: आयत की भुजाओं AB, BC, CD, AD के मध्य बिन्दु हैं।
PQ, QR, RS तथा PS को मिलाया।

रचना : AC को मिलाया।
उपपत्ति: ∆ABC में, बिन्दु P तथा Q भुजाओं AB तथा BC के मध्य बिन्दु है।
PQ || AC तथा PQ = AC … (1)
इसी प्रकार, ∆ACD में, बिन्दु R तथा S भुजाओं। CD तथा AD के मध्य बिन्दु हैं।
SR || AC तथा SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC …(2) समीकरण (1) तथा (2) से,
PQ || SR तथा PQ = RS
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
बिन्दु P, AB का(RBSESolutions.com)मध्य बिन्दु है।
AP = PB …(3)
AD = BC (आयत की सम्मुख भुजाएँ)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) AD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC
⇒ AS = BQ …(4)
∆SAP तथा ∆QBP में,
AP = PB (समीकरण (3) से)
∠SAP = ∠QBP = 90°
AS = BQ (समी. (4) से)
∆SAP = ∆QBP (SAS नियम से)
PS = PQ (CPCT)
समान्तर चतुर्भुज PQRS में PQ = PS अर्थात् दो संलग्न भुजाएँ समान हैं।
अत: PQRS एक समचतुर्भुज है।
अतः एक आयत की भुजाओं के युग्मों के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से एक समचतुर्भुज बनता है।
इति सिद्धम्।

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