RBSE 10th Maths Model Paper Set 1 with Answers in Hindi

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RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 1 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।

(i) \(\frac{1095}{1168}\) का सरलतम रूप है: (1)
(अ) \(\frac{17}{26}\)
(ब) \(\frac{25}{26}\)
(स) \(\frac{13}{26}\)
(द) \(\frac{15}{26}\)
उत्तरः
(द) \(\frac{15}{26}\)

(ii) वह द्विघात बहुपद जिसके शून्यकों का योग – 5 है तथा गुणनफल 6 है, है: (1)
(अ) x² + 5x + 6
(ब) x² – 5x + 6
(स) x² – 5x – 6
(द) – x² + 5x + 6
उत्तरः
(अ) x² + 5x + 6

(iii) k का वह मान जिनके लिए रैखिक समीकरण युग्म kx + y = k² तथा x + ky = 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, है: (1)
(अ) ± 1
(ब) 1
(स) – 1
(द) 2
उत्तरः
(अ) ± 1

(iv) द्विघात समीकरण x² – 0.04 = 0 के मूल हैं: (1)
(अ) ± 0.2
(ब) ± 0.02
(स) 0.4
(द) 2
उत्तरः
(अ) ± 0.2

(v) x का वह मान जिसके लिए 2x, (x + 10) तथा (3x + 2) एक समान्तर श्रेणी के क्रमिक पद हैं, है: (1)
(अ) 6
(ब) – 6
(स) 18
(द) – 18
उत्तरः
(अ) 6

(vi) चित्र में,
यदि PA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄Q
और A₁B₁ || A₂B₂ || A₃B₃ || A₄BA || QR.
तब A₃, रेखाखण्ड PR को …………. के अनुपात में विभाजित करता है। (1)
(अ) 3 : 5
(ब) 2 : 3
(स) 3 : 2
(द) 3 : 6
उत्तरः
(स) 3 : 2

(vii) यदि बिंदु P(k, 0), बिंदुओं A(2, – 2) तथा B(- 7, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है, तो k का मान है: (1)
(अ) – 1
(ब) 2
(स) -2
(द) 1
उत्तरः
(अ) – 1

(viii) यदि sin A = cos A, 0 ≤ A ≤ 90° है, तो कोण A बराबर है: (1)
(अ) 30°
(ब) 60°
(स) 0°
(द) 45°
उत्तरः
(द) 45°

(ix) यदि sin θ = \(\frac{1}{2}\) = हो, तो \(\frac{1-2 \sin ^{2} \theta}{\sin \theta}\) का मान ज्ञात कीजिए। (1)
(अ) 1
(ब) 0
(स) 2
(द) – 1
उत्तरः
(अ) 1

(x) बारम्बारता बंटन के माध्य, मध्यिका तथा बहुलक के बीच निम्न सम्बन्ध है: (1)
(अ) बहुलक = 3 माध्य – 2 माध्यिका
(ब) बहुलक = 3 मध्यिका – 2 माध्य
(स) बहुलक = 2 माध्यिका – 3 माध्य
(द) बहुलक = 3 माध्यिका + 2 माध्य।
उत्तरः
(ब) बहुलक = 3 मध्यिका — 2 माध्य

(xi) बंटन 2, 3, 4, 7, 5, 1 का माध्यक होगा: (1)
(अ) 4
(ब) 7
(स) 11 .
(द) 3.5
उत्तरः
(द) 3.5

(xii) संख्याओं 1, 2, 3, …….. 15 से यादृच्छया 4 का एक गुणज चुने जाने की प्रायिकता है: (1)
(अ) \(\frac{4}{15}\)
(ब) \(\frac{2}{15}\)
(स) \(\frac{1}{15}\)
(द) \(\frac{1}{5}\)
उत्तरः
(द) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो
(i) वह समीकरण युग्म जिसका हल अद्वितीय होता है, रैखिक समीकरणों का ………………. युग्म कहलाता है। (1)
उत्तरः
संगत

(ii) श्रेणी 21, 18, 15, …… का 8वाँ पद ……………………………… है। (1)
उत्तरः
शून्य

(iii) संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ ……………………… होती है। (1)
उत्तरः
असमान

(iv) बिन्दुओं (-3 , – 3) तथा (- 3, 3) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु ………………. है (1)
उत्तरः
(-3, 0)

(v) \(\left(\sin ^{2} \theta+\frac{1}{1+\tan ^{2} \theta}\right)\) का मान ………………………….. है (1)
उत्तरः
1

(vi) यदि द्विघात समीकरण का एक शून्यक \(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\) है, तो अन्य शून्यक ………………………….. होगा। (1)
उत्तरः
\(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

प्रश्न 3.
(i) क्या दो संख्याओं का म.स. 15 तथा ल. स. 175 हो सकता है ?
हल:
नहीं, क्योंकि हम जानते हैं कि ल.स. (L.C.M.), म.स. से विभाज्य होता है।
परन्तु यहाँ ल.स. 175, म.स. 15 से विभाज्य नहीं है।

(ii) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल – 3 तथा 2 है।
हल:
यदि α और β द्विघात बहुपद f(x) के शून्यक हो, तो
α + β = – 3 तथा αβ = 2
अतः f(x) = x² – (- 3)x + 2
= x² + 3x + 2

(iii) एक द्विधात बहुपद a² – 6x – 6 = 0 के शून्यकों का गुणनफल 4 हैं तो a का मान ज्ञात कीजिए। 1
हल:
यदि द्विघात बहुपद f(x) के शून्यक α व β हों तो
αβ = – \(\frac{6}{a}\)
जबकि αβ = 4
∴ – \(\frac{6}{a}\) = 4
⇒ a = – \(\frac{6}{4}\)
⇒ a = – \(\frac{3}{2}\)

(iv) k के किस मान के लिए समीकरणों x + 2y + 7 = 0 तथा 2x + ky + 14 = 0 के अनन्त हल होंगे?
हल:
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{2}{k}=\frac{7}{14}\)
⇒ \(\frac{2}{k}=\frac{1}{2}\)
∴ k = 4

(v) जाँच कीजिए कि क्या x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2 द्विघात समीकरण है?
हल:
x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = 2
⇒ \(\frac{x^{4}+1}{x^{2}}\) = 2
⇒ x⁴ – 2x² + 1 = 0

अतः स्पष्ट है कि दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं होगा क्योंकि दिये गये समीकरण में x की अधिकतम घात 4 है।

(vi) द्विघात समीकरण x² + 16x + 57 = 0 के मूलों का योग तथा गुणनफल ज्ञात कीजिए :
हल:
दी गई समीकरण है :
x² + 16x + 57 = 0.

(vii) वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
हल:
दो।

(viii) उस त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, 5), (2, 3) और (- 2, – 11) हैं।
हल:
यदि त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक (x, y) है तब,
x = \(\frac{1+2-2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
तथा y = \(\frac{5+3-11}{3}\) = – 1
अतः केन्द्रक = \(\left(\frac{1}{3},-1\right)\)

(ix) sin² 30° + 2 cos² 45° + 3 tan² 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin² 30° + 2 cos² 45° + 3 tan² 60°

(x) \(\frac{\cos 45^{\circ}-\cos 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

(xi) यदि किसी बंटन का माध्य 16 तथा बहुलक 13 हो, तो माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ बहुलक = 3 × माध्यिका – 2 × माध्य
⇒ 13 = 3 (माध्यिका) – 2 × 16
माध्यिका = \(\frac{13+32}{3}\) = \(\frac{45}{3}\) = 15

(xii) यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकत 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ? (1)
हल:
∵ 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता = 0.992
∴ दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता P(E’) = 1 – 0.992 = 0.008

खण्ड-(ब)

प्रश्न 4.
196 और 38220 का म.स. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
हल:
चूंकि संख्याएँ 196 और 38220 इस प्रकार हैं कि 38220 > 196
अतः 38220 और 196 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर
38220 = 196 × 195 + 0
∵ शेषफल शून्य प्राप्त हो गया है। इस स्थिति में भाजक 196 है।
∴ 38220 और 196 का म.स. = 196

प्रश्न 5.
बहुपद 6x² – 3 – 7x का शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया बहुपद
f(x) = 6x² – 3 – 7x
= 6x² – 7x – 3
= 6x² – (9 – 2)x – 3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x (2x – 3) + 1(2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
⇒ f(x) = 0
शून्यक ज्ञात करने के लिए
(2x – 3) (3x + 1) = 0
⇒ x = \(\frac{3}{2}\) = – \(\frac{1}{3}\)
अत: बहुपद के शून्यक \(\frac{3}{2}\), –\(\frac{1}{3}\) हैं।

प्रश्न 6.
एक आयताकार बाग का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बाग की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है। प्रश्नानुसार
x + y = 36 ….(i)
तथा x = y + 4
⇒ x – y = 4
समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर,
x = 20 तथा y = 16
अतः बाग की लम्बाई 20 मीटर तथा चौड़ाई 16 मीटर है।

प्रश्न 7.
पूर्ण वर्ग बनाकर x² + 16x + 57 = 0 का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई समीकरण है:
x² + 16x + 57 = 0
⇒ x² + 16x = – 57
⇒ x² + 16x + 64 = – 57 + 64
⇒ (x + 8)² = 7
⇒ x + 8 = ± √7
∴ x = – 8 ± √7
अतः दी गई समीकरण के हल हैं :
∴ x = – 8 + √7 तथा x = – 8 – √7

प्रश्न 8.
क्या समान्तर श्रेणी 11, 8, 5, 2 … का एक पद – 150 है ?
हल:
यहाँ पहला पद a = 11 तथा
सार्वअन्तर d = 8 – 11 = – 3
प्रश्नानुसार,
⇒ a_n = – 150
⇒ a + (n – 1)d = – 150
⇒ 11 + (n – 1) × (-3) = – 150
⇒ – 3(n – 1) = – 150 – 11 = – 161
⇒ (n – 1) = \(\frac{-161}{-3}\) = 53.6 (लगभग)
∴ n = 53.6 + 1 = 54.6
⇒ n का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः दी गई श्रेणी का कोई पद – 150 नहीं है।

प्रश्न 9.
उस समान्तर श्रेणी के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
दिया है d = 7, n = 22
∵ 22वाँ पद a₂₂ = 149
⇒ a + (22 – 1)d = 149
⇒ a + 21 × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149
∴ a = 149 – 147 = 2
तब प्रथम 22 पदों का योग
S₂₂ = \(\frac{22}{2}\) (2 + 149)
= 11 × 151 = 1661
अतः दी गई A.P. के प्रथम 22 पदों का योग = 1661

प्रश्न 10.
दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप त्रिभुज की रचना करना जिसकी प्रत्येक भुजा दिए गए त्रिभुज की संगत भुजा का \(\frac{3}{5}\) वाँ भाग हो।
हल:
रचना के चरण:

• दिया गया त्रिभुज ABC बनाया।
• BC के बिन्दु B से BC पर नीचे की ओर न्यून कोण बनाती हुई रेखा BX खींची।
  
• Bx को B से प्रारम्भ करके पाँच बराबर भागों में विभाजित किया। पाँचवें भाग का शीर्ष B₅ है। B₅ को C से मिलाया।
• परकार की सहायता से BB₅ के प्रत्येक बराबर भाग से ∠BB₅C के बराबर कोण बनाती हुई पाँच समानान्तर रेखाएँ खींची जो BC पर मिलती हैं। ये BC के भी पाँच बराबर भाग हैं।
• BC के पाँच बराबर भागों में से तीसरे भाग के शीर्ष पर C’ अंकित किया।
• C”से CA के समान्तर रेखा खींची जो BA को A’ पर मिलती है।
  अतः इस प्रकार ∆A’BC’, ∆ABC के समरूप त्रिभुज है|

प्रश्न 11.
4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{2}{3}\) गुनी हों। (2)
हल:
माना ∆ABC है जिसमें AB = 5 सेमी, AC = 4 सेमी और BC = 6 सेमी।
रचना के चरण:

• एक रेखाखण्ड BC = 6 सेमी खींचा।
• B को केन्द्र मानकर 5 सेमी की त्रिज्या से एक चाप लगाया।
• C को केन्द्र मानकर 4 सेमी के बराबर त्रिज्या से चाप लगाया जो पहले चाप को A बिन्दु पर काटता है।
  
• अब AB और AC को मिलाते हैं। अत: ∆ABC वांछित त्रिभुज है।
• आधार BC के नीचे की ओर कोई न्यूनकोण बनाती किरण BX खींची।
• BX किरण पर तीन बिन्दु इस प्रकार अंकित किए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ हो।
• B₃C को मिलाया।
• B₃C के समान्तर B₂C” रेखा खींची जो BC को C” पर काटती है।
• बिन्दु C’ से CA के समान्तर C’A’ रेखा खींची अर्थात् ∠ACB = ∠A’C’B बनाया।
  इस प्रकार ∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{2}{3}\) गुनी हैं।

प्रश्न 12.
यदि tan (A + B) = √3 और tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B ≤ 90%; A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan (A + B) = √3 = tan 60°
⇒ A + B = 60° ……. (1)
और tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
⇒ A – B = 30° …(2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर,
∴ A = 45° तथा B = 15°

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि – cos⁴ θ – sin⁴ θ = 1 – 2 sin² θ
हल:
L.H.S.= cos⁴ θ – sin⁴θ
= (cos²θ)² – (sin² θ)²
= (cos²θ + sin²θ) (cos²θ – sin²θ)
= 1.(cos²0θ – sin²θ)
= {(1 – sin²θ) – sin²θ}
= 1 – 2 sin²θ = R.H.S.

प्रश्न 14.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल:
बहुलक के लिए: यहाँ अधिकतम बारम्बारता 40 है।
इस बारम्बारता का संगत वा-अन्तराल 100 – 200 है।
∴ बहुलक वर्ग = 100 – 200
∴ 1 = 100, f₁ = 40, f₀ = 24, f₂ = 33 और h = 10

प्रश्न 15.
किसी परीक्षा में 100 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का प्रतिशत नीचे दिया गया है:

माध्यक प्रतिशत अंक निर्धारित कीजिए।
हल:

∴ \(\frac{N}{2}=\frac{100}{2}\) = 50
50 से ठीक बड़ी संचयी वरम्बारता 71 के संगत वर्ग अन्तराल 45-50 है।
∴ माध्यक वर्ग = 45 – 50
यहाँ l = 45, c = 48. f = 23 तथा h = 5
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{N}{2}-c}{f}\right)\) × h
= 45 + \(\left(\frac{50-48}{23}\right)\) × h
= 45 + \(\frac{10}{23}\)
= 45.4
अतः प्राप्तांकों का माध्यक प्रतिशत = 45.4

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
खराब पेनों की संख्यः = 12
अच्छे पेनों की संख्या = 132
पेनों की कुल संख्या = 12 – 132 = 144
अच्छा पेन निकलने की प्रानकिता – अनुकूल परिणामों के संख्या

अच्छा पेन प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{132}{144}\) = \(\frac{11}{12}\)

खण्ड-(स)

प्रश्न 17.
एक समान्तर श्रेढी के प्रथम m पदों का योगफल 4m² – m है। यदि इस श्रेढी का nवाँ पद 107 है, तोn का मान ज्ञात कीजिए। इस समान्तर श्रेढी का 21वाँ पद भी ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
636 योग प्राप्त करने के लिए समान्तर श्रेणी 9, 17, 25, … के कितने पद लेने चाहिए? (3)
हल:
दिया है:
समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम m पदों का योगफल
S_m = 4m² – m
m = 1, 2, 3 रखने पर
S₁ = 4 × (1)² – 1 = 3
S₂ = 4 × (2)² – 2 = 14.
S₃ = 4 × (3)² – 3 = 33
a = a₁ = 3, a₂ = S₂ – S₁ = 14 – 3 = 11
a₃ = S₃ – S₂ = 33 – 14 = 19
अतः समान्तर श्रेढ़ी है-
3, 11, 19, …
यहाँ a = 3, d = 11 – 3 = 8
a_n = 107 (दिया है)
⇒ a + (n – 1) × d = 107
⇒ 3 + (n – 1) × 8 = 107
⇒ (n – 1) × 8 = 107 – 3
⇒ (n – 1) = \(\frac{104}{8}\) = 13
⇒ n = 13 + 1 = 14
अब a₂₁ = 3 + (21 – 1) × 8
= 3 + 20 × 8
= 3 + 160
अतः n = 14 तथा 21वाँ पद = 163

प्रश्न 18.
k के मान ज्ञात कीजिए जिनसे (1, – 1), (-4, 2k) तथा (- k, – 5) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई हो। (3)
अथवा
बिन्दु 4(4,7), B(P, 3) तथा C(7,3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें B पर समकोण है। Pका मान ज्ञात अथवा करो। (3)
हल:
माना A(1, -1), B(-4, 2k) तथा C (-k, -5) दिये गये ∆ABC के शीर्ष हैं।
∆ABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[1(2k + 5) + (-4) (-5 + 1) + (-k) (- 1 – 2k)]
= \(\frac{1}{2}\)[2k + 5 + 16 + k + 2k²]
= \(\frac{1}{2}\)[2k² + 3k + 21] वर्ग इकाई दिया है:
∆ABC का क्षेत्रफल-24 वर्ग इकाई
∴ \(\frac{1}{2}\)[2k² + 3k + 21] = 24
⇒ 2k² + 3k + 21 = 48
⇒ 2k² + 3k – 27 = 0
2k² + 9k – 6k – 27 = 0
k(2k + 9)- 3(2k + 9)
(k – 3) (2k + 9) = 0
अतः k = \(\frac{-9}{2}\) तथा k = 3

प्रश्न 19.
मान ज्ञात कीजिए:
\(\frac{2 \cos 65^{\circ}}{\sin 25^{\circ}}-\frac{\tan 20^{\circ}}{\cot 70^{\circ}}\) – sin 90° + tan 50 tan 35° tan 60°.tan 55° tan 850 sin 25° … .cot 70°
अथवा
सिद्ध कीजिए कि: \(\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{\cot ^{2} \alpha-1}\) = tan²α
हल:

प्रश्न 20.
किसी फुटकर बाजार में,फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थी। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था:

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए | आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है? (3)
अथवा
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
माना कल्पित माध्य (A) = 57, वर्ग माप (h) = 3

माध्य (x̄) = A + \(\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right)\) × h
⇒ x̄ = 57 + \(\frac{25}{400}\) × 3 = 57 + (0.0625) × 3
= 57 + 0.1875 = 57.1875 = 57.19 (लगभग)
अतः पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या = 57.19 है। हमने पद विचलन विधि का प्रयोग किया है।

प्रश्न 21.
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे . केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा। (क्या यह मनोरंजक है ?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए। (4)
अथवा
क्रिकेट टीम के एक कोच ने एक बल्ला और 2 गेंदें ₹ 300 में खरीदीं। बाद में एक ही प्रकार के अन्य 2 बल्ले तथा 3 गेंदें ₹525 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय रूपों में व्यक्त कीजिए एवं इसको ग्राफीय विधि से हल कीजिए। यह भी ज्ञात कीजिए कि कोच एक बल्ला तथा एक गेंद कितने रुपयों में खरीद सकेगा? (4)
हल:
माना कि आफताब की वर्तमान आयु x वर्ष है और आफताब की पुत्री की वर्तमान आयु वर्ष है।
प्रथम शर्त के अनुसार,
x – 7 = 7(y – 7) = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 3 = 3(y + 3) = 3y + 9
⇒ x – 3y – 6 = 0
∴ दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का बीजगणितीय रूप
x – 7y + 42 = 0 …….. (i)
x – 3y – 6 = 0 ……….. (ii)
समीकरण (i) से,
x – 7y + 42 = 0
⇒ 7y = x + 42
⇒ y = \(\frac{x+42}{7}\)
x के विभिन्न मानों के लिए 7 के मान निम्न होंगे:

समीकरण x – 3y – 6 = 0 से,
3y = x – 6
y = \(\frac{x-6}{3}\)
x के विभिन्न मानों के लिएy के मान निम्न होंगे:


अब बिन्दुओं (-7, 5), (0, 6) और (7, 7) का
आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – 7y + 42 = 0 का आलेख, एक सरल रेखा AB प्राप्त होती हैं।
पुनः बिन्दुओं (6, 0), (3, – 1) और (0, – 2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण x – 3y – 6 = 0 का आलेख, एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।

प्रश्न 22.
दिए गए वृत्त पर बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए, जब वृत्त का केन्द्र ज्ञात हो।
अथवा
एक त्रिभुज ABC बनाइए, जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A= 105° हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆MBC की संगत भुजाओं की \(\frac{4}{3}\) गुनी हों।
हल:
दिया है : वृत्त का केन्द्र 0 है तथा उसके बाहर एक बिन्दु P है।

रचना के चरण:

• PO को आपस में मिलाया। PO को समद्विभाजित किया। समद्विभाजक बिन्दु को M द्वारा अंकित किया।
• M को केन्द्र मानकर PM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो 0 केन्द्र वाले वृत्त को A और B बिन्दुओं : पर काटता है।
• PA और PB को मिलाया।
  अत: PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति): हम जानते हैं कि किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा, त्रिज्या के लम्बवत् होती है।
∴ ∠PAO = 90°
अब OA और OB को मिलाया।
वृत्त OAPB में, OP वृत्त का व्यास है।
∠PAO अर्द्धवृत्त में बना कोणं है।
∴ ∠PAO = 90°
इसी प्रकार ∠PBO = 90°
अतः PA और PB वृत्त की A और B बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ हैं।
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा की लम्बाई

प्रश्न 23.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती हैं तथा प्राप्त आंकड़ों को अग्रलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है:

पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।
अथवा
निम्नलिखित सारणी 400 नीऑन लैम्पों के जीवनकालों (Life time) को प्रदर्शित करती है:

एक लैम्प का माध्यक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए वर्ग सतत् नहीं हैं। इसलिए पहले इसे सतत वर्ग में बदलेंगे।

∴ \(\frac{N}{2}\) = \(\frac{40}{2}\) = 20 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 29 के संगत वर्ग-अन्तराल 144.5 – 153.5 है।
∴ माध्यक वर्ग = 144.5 – 153.5
यहाँ l = 144.5, f = 12, C = 17 और h = 9
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right)\) × h
= 144.5 + \(\left(\frac{20-17}{12}\right)\) × 9
= 144.5 + \(\frac{3}{12}\) × 9
= 14.5 + \(\frac{9}{4}\)
= 144.5 + 2.25 = 146.75
अतः पत्तियों की माध्यक लम्बाई = 146.75 मिमी