RBSE 10th Maths Model Paper Set 2 with Answers in Hindi

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RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 2 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।

(i) निम्न में से कौन-सी परिमेय संख्या को सांत दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है? (1)
अ) \(\frac{124}{165}\)
(ब) \(\frac{131}{30}\)
(स) \(\frac{2027}{625}\)
(द) \(\frac{1625}{462}\)
उत्तर :
(स) \(\frac{2027}{625}\)

(ii) निम्न आकृति में, बहुपद p(x) का आलेख दिया है। बहुपद के शून्यकों की संख्या है : (1)
(अ) 1
(ब) 2
(स) 3
(द) 0
उत्तर :
(ब) 2

(ii) k का वह मान, जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय x + 2y = 3, 5x + ky + 7 = 0 असंगत है, (1)

(अ) \(\frac{-14}{3}\)
(ब) \(\frac{2}{5}\)
(स) 5
(द) 10
उत्तर :
(द) 10

(iv) 2 का वह मान जिसके लिए (x + 4x + 2) एक पूर्ण वर्ग है, (1)
(अ) 16
(ब) 9
(स) 1
(द) 4
उत्तर :
(द) 4

(v) समांतर श्रेणी \(\frac{1}{p}, \frac{1-p}{p}, \frac{1-2 p}{p}\) ……का सार्वअंतर है (1)
(अ) 1
(ब) \(\frac{1}{p}\)
(स) – 1
(द) –\(\frac{1}{p}\)
उत्तर :
(स) – 1

(vi) चित्र में, (1)

यदि PA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄Q
और A₁B₁ || A₂B₂ || A₃B₃ || A₄B₄ || QR.
तब A₁, रेखाखण्ड PQ को ………… के अनुपात में विभाजित करता है।
(अ) 1 : 1
(ब) 1 : 2
(स) 1 : 4
(द) 1 : 5
उत्तर :
(स) 1 : 4

(vii) p का वह मान जिसके लिए बिंदु A(3, 1), B(5, p) तथा C(7,–5) सरेंख हैं, (1)
(अ) 2
(ब) 9
(स) 7
(द) 1
उत्तर :
(अ) 2

(viii) 8 cot² A – 8 cosec² A बराबर है | (1)
(अ) 8
(ब) \(\frac{1}{8}\)
(स) -8
(द) \(\frac{-1}{8}\)
उत्तर :
(स) -8

(ix) यदि see θ + tan θ = 37 है, तो secθ – tanθ बराबर है | (1)
(अ) \(\frac{1}{7}\)
(ब) 7
(स) 6
(द) 49
उत्तर :
(अ) \(\frac{1}{7}\)

(x) यदि वर्गीकृत आँकड़ों के वर्ग अन्तरालों के मध्य बिन्दु हैं, f_i इनकी संगत बारम्बारताएँ हैं तथा x̄ माध्य है, तो Σ(f_ix_i – x̄) बराबर है | (1)
(अ) 0
(ब) -1
(स) 1
(द) 2
उत्तर :
(अ) 0

(xi) किसी स्कूल के छात्रों की संख्या मकी आयु के अनुसार निम्न प्रकार है | (1)

इसका बहुलक है
(अ) 41
(ब) 12
(स) 3
(द) 17
उत्तर :
ब) 12

(xii) दो सिक्के एक साथ उछाले गए। अधिक से अधिक एक चित आने की प्रायिकता है | (1)
(अ) \(\frac{1}{4}\)
(ब) \(\frac{1}{2}\)
(स) \(\frac{2}{3}\)
(द) \(\frac{3}{4}\)
उत्तर :
(ब) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

(i) वह समीकरण युग्म जिसका कोई हल नहीं है, रैखिक समीकरणों का ____________ युग्म कहलाता है। (1)
उत्तर :
असंगत

(ii) समान्तर श्रेणी का …………………………….. धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। (1)
उत्तर :
सार्वअन्तर

(iii) वक्र रेखा पर दो बिन्दुओं के बीच की दूरी ……………. कहलाती है। (1)
उत्तर :
चाप

(iv) बिंदुओं (-a, a) तथा ((1, -1) के बीच की दूरी ____________ (1)
उत्तर :
2a इकाई

(v) (1 + tan² θ – sin θ)(1 + sin θ) का मान ____________ है। (1)
उत्तर :
1

(vi) एक माध्यक का तीन गुना और माध्य के दो गुना के अन्तर को ____________ कहते हैं। (1)
उत्तर :
बहुलक

प्रश्न 3.
(i) यदि म.स. (306, 657) = 9 हो, तो ल.स. (386, 657) ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
नही क्योंकि हम जानते हैं कि ल.स. (L.C.M) म. स. से विभाज्य होता है।
परन्तु यहाँ ल. स. 15 से विभाज्य नही है।

(ii) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यांकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः a तथा \(\frac{1}{a}\) हैं। (1)
हल :
यदि α और β द्विघात बहुपद के शून्यक हो, तो
α + β = a तथा αβ = \(\frac{1}{a}\)
अतः द्विघात बहुपद = x² + a + 1/a

(iii) एक द्विघात बहुपद 3x² – 3√2x + 1 = 0 के शून्यांकों का योग तथा गुणनफल ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
यदि द्विघात बहुपद f(x) के शून्यक α व β हो तो शून्यकों का योग \(\frac{-b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है।
तब शून्यकों का योगफल
(α + β) = \(-\left(\frac{-3 \sqrt{2}}{3}\right)\) = √2

तब शून्यकों का गुणपफल αβ = \(\frac{1}{3}\)

(iv) k के किस मान के लिए समीकरण निकाय kx +2y = 5 तथा 3x + y=1 का अद्वितीय हल होगा। (1)
हल :
अद्वितीय हल के लिए आवश्यक शर्त
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
⇒ (\(\frac{3}{2}\), 2)
⇒ k ≠ 6

(v) x के लिए समीकरण 6x² + 11x + 3 = 0 हल कीजिए। (1)
हल :
6x² + 11x + 3 = 0
∴ 6x² + (9 + 2)x + 3 = 0
⇒ 6x² + 9x + 2x + 3 = 0
⇒ 3x (2x + 3) + 1(2x + 3) = 0
⇒ (2x + 3) (3x + 1) = 0
⇒ x = \(\frac{-3}{2}, \frac{-1}{3}\)

(vi) निम्न समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए : (1)
2x² – 4x + 3 = 0 .
हल :
समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 के लिए
विविक्तकर D = b² – 4ac
= (-4)² – 4 × 2 × 3
= 16 – 24
= -8 < 0 (ऋणात्मक) समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।

(vii) वृत्त की त्रिज्या तथा वृत्त की स्पर्श रेखा के बीच का कोण कितना होगा ? (1)
हल :
एक समकोण के बराबर।

(viii) बिन्दुओं (-1, 7) और (4, – 3) के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
मध्य बिन्दु के निर्देशांक

(ix) यदि 2cos 3θ = 1 हो, तो θ ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
2 cos3θ = 1
⇒ cos3θ = 1/2
⇒ cos3θ = cos60°
⇒ 3θ = 60°

θ = 20°

(x) sin 28° cos 62° + cos 28° sin 62° का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
sin 28° cos 62° + cos 28° sin 62°
= sin (90° – 62°) cos 62° + cos (90° – 62°) sin 62°
= cos 62° cos 62° + sin 62°sin 62°
= cos2 62° + sin2 62° = 1 .

(xi) कक्षा 10 के छात्रों के प्राप्तांक 18, 10, 15, 12, 18, 17, 15, 16, 19 हैं। माध्यक ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
प्राप्ताकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, 10, 12, 15, 15, 16 , 17, 18, 18, 19 कुल पद= 9 हैं।
माध्यक M = \(\frac{n+1}{2}\) वाँ पद = \(\frac{9+1}{2}\) = 5वाँ पद
∴ माध्यक M = 16 अंक

(xii) एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
एक पासे को यादृच्छया फेंके जाने पर कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)
अभाज्य संख्या प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3 (2, 3, 5)
∴ अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

खण्ड – (ब)

प्रश्न 4.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आमी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं? (2)
हल :
सेना के दो समूहों वाले बैण्ड की कुल संख्या 616 और 32 है।
∴ हमें स्तम्भों की अधिकतम संख्या ज्ञात करनी है।
∴ अधिकतम संख्या के लिए HCF निकालेंगे। चरण 1.
∵ 616 > 32,
∴ 616 और 32 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
616 = 32 × 19 + 8

चरण 2. ∵ शेषफल 0 नहीं है।
∴ 8 और 32 पर पुनः यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
32 = 8 × 4 + 0. यहाँ शेषफल 0 है।

चरण 2 में भाजक 8 है।
∴ 616 और 32 का H.C.F = 8
अतः मार्च करने के लिए अधिकतम स्तम्भों की संख्या = 8

प्रश्न 5.
बहुपद (x) = 3x² – x³ – 3x + 5 को बहुपद g(x) = x – 1 – x² से भाग देकर शेषफल कीजिए। (2)
हल :
दिया है, f(x)= 3x² – x³ – 3x + 5 = -x³ + 3x² – 3x + 5
तथा g(x) = x – 1 – x²
= -x² + x – 1

∴ शेषफल = 3

प्रश्न 6.
दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
तथा संख्याओं का अन्तर 26 है।
x – y = 26
तब प्रश्नानुसार, x = 3y.
समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर,
3y – y = 26
⇒ 2y = 26
⇒ y= 13
⇒ तब x = 3 × 13 = 39
अतः अभीष्ट संख्याएँ 39 तथा 13 हैं।

प्रश्न 7.
समीकरण 2x² – √5x – 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए : (2)
हल :
यहाँ a = 2, b = -√5, c = – 2. श्रीधराचार्य के सूत्र से,

प्रश्न 8.
एक समान्तर श्रेणी में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
माना कि प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर ‘d’ है। प्रश्नानुसार, तीसरा पद a = 12
a + (3 – 1)d = 12
a+2d = 12 …(1)
और अन्तिम पद = a₅₀ = 106
a+ (50 – 1)d = 106
⇒ a + 49d = 106 …(2)
समीकरण (1) एवं (2) को हल करने पर,
∴ d = \(\frac{94}{47}\) = 2 तथा a = 8

अब श्रेणी का 29वाँ पद
a₂₉ = a + (29 – 1)d
= 8+ 28 × 2 = 8 + 56 = 64

प्रश्न 9.
उस समान्तर श्रेणी A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 14 और 18 है। (2)
हल :
श्रेणी का दूसरा पद a₂ = 14
तथा तीसरा पद a₃ = 18
∴ सार्वअन्तर d = a₃ – a₂ = 18 – 14 = 4
∴ दूसरा पद, a + d = 14
⇒ a + 4 = 14
⇒ a = 14 – 4 = 10

तब n पदों का योग S_n = [2a + (n – 1)d]
अतः प्रथम 51 पदों का योगफल
∴ S₅₁ = \(\frac{51}{2}\)[2 × 10 + (51 – 1)4]
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 50 × 4] = \(\frac{51}{2}\)[20 + 200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220 = 51 × 110 = 5610

प्रश्न 10.
∆ARC की रचना कीजिए जिसमें AB = 4 सेमी, BC = 5 सेमी और CA = 3.5 सेमी है। इसे एक ऐसे समरूप त्रिभुज में परिवर्तित कीजिये जिसकी BC के संगत भुजा 3.7 सेमी हो। (2)
हल :

रचना के चरण :

• आधार BC = 5 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचा।
• बिन्दु B से 4 सेमी और C से 3.5 सेमी के चाप लगाए जहाँ दोनों चाप काटते हैं, उसे बिन्दु A अंकित किया। BA और AC को मिलाया। ∆ABC प्राप्त हुआ।
• BC में से BC’ = 3:7 सेमी काटा।
• C’ बिन्दु पर परकार की सहायता से ∠BCA के बराबर कोण बनाया जो AB को A’ पर काटता
  अत: ∆A’BC’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।

प्रश्न 11.
किसी चूड़ी की सहायता से वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। (2)
हल :
किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचने का अर्थ है कि वृत्त का केन्द्र अज्ञात है। सर्वप्रथम हम केन्द्र ज्ञात करेंगे।

रचना के चरण:

• चूड़ी की सहायता से वृत्त खींचा। इस वृत्त का केन्द्र बिन्दु ज्ञात करने के लिए कोई दो जीवाएँ AB और CD खींचते हैं।
• जीवा AB और CD के लम्ब समद्विभाजक किए जो परस्पर 0 बिन्दु पर काटते हैं। बिन्दु 0 वृत्त का केन्द्र होगा। [∵ OA = OB = OC = OD] (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
• वृत्त के बाहर कोई बिन्दु P लिया।
• OP को मिलाकर लम्ब समद्विभाजक किया जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
• बिन्दु M को केन्द्र मानकर MP त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁, व T₂ पर काटता है।
• PT₁ और PT₂ को मिलाया।

अत: PT₁ व PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए – \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\) = cosec θ + cot θ. (2)
हल :
L.H.S. से वर्गमूल चिह्न को हटाने के लिए अंश और हर में \(\) से गुणा करने पर,

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि : \(\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{\cot \alpha+\cot \beta}\) = tan α tan β (2)
हल :

प्रश्न 14.
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए। (2)

हल :

प्रश्नानुसार, 45 + x + y = 80
⇒ x + y = 80 – 45
⇒ x + y = 35
अब \(\frac{N}{2}=\frac{80}{2}\) = 40
तथा बंटन का माध्यक = 28.5 है।
जोकि वर्ग अंतराल 20 – 30 में स्थिति है।
माध्यम वर्ग = 20 – 30
l = 20, f = 20, C = 5 + x और h = 10

x का मान समी. (1) में रखने पर
18 + y = 35
अतःx = 18 तथा y = 17

प्रश्न 15.
कुछ विद्यार्थियों के प्राप्तांक नीचे दिए हुए हैं। प्राप्तांकों का माध्यक ज्ञात कीजिए : (2)

हल :
बंटन को निम्न सारणी के रूप में लिखने पर,

49.5 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 52 है, जिसके संगत चर का मान 40 है।
अतः अभीष्ट माध्यक = 40 अंक

प्रश्न 16.
एक पेटी में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि डिस्क पर एक पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होगी। (2)
हल :
डिस्कों की कुल संख्या = 90
∴ कुल सम्भव परिणाम
= (1, 2, 3, 4, 5, …, 90)
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 90
यदि एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो
पूर्ण वर्ग संख्याएँ = ( 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 9
अतः डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की
प्रायिकता = \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

खण्ड – (स)

प्रश्न 17.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं। (3)
हल :
0 और.50 के बीच की विषम संख्याओं की सूची इस प्रकार है
1, 3, 5, 7, ……, 49
प्रथम पद a = 1, सार्वअन्तर d = 3 – 1 = 2,
a_n = 49
∵ a_n = 49
a + (n – 1)d = 49
1 + (n – 1)2 = 49
(n – 1)2 = 48
(n-1) = 24
– n= 25
श्रेणी 1, 3, 5, 7, …… का 25 पदों तक योगफल
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₂₅ = \(\frac{25}{2}\)[2 × 1 + (25-1) × 2]
= \(\frac{25}{2}\)[2 + 24 × 2]
= \(\frac{25}{2}\)[2 + 48] = \(\frac{25}{2}\) × 50 = 625
अतः 0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योगफल = 625

प्रश्न 18.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-3, -2), (5, – 2) और (5, 4) हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि यह समकोण त्रिभुज है। (3)
अथवा
यदि K(5, 4) रेखाखण्ड PQ का मध्यबिन्दु है तथा ए के निर्देशांक (2, 3) है तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (3)
हल :
माना ABC एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष A(-3, – 2), B(5, – 2) तथा C(5, 4) हैं।

∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[-3(-2 – 4) + 5(4 + 2) + 5(-2 + 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-3)(-6) + 5 × 6 + 5 × 0]
= \(\frac{1}{2}\)[18 + 30] = \(\frac{1}{2}\) × 48 = 24 वर्ग इकाई

प्रश्न 19.
यदि \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}\) = 2 sec A, तो सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित हैं, न्यूनकोण हैं। (3)
अथवा
यदि \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = see A + tan A, तो सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं। (3)
हल :

प्रश्न 20.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। (3)

अथवा
एक स्कूल के अनुपस्थित छात्रों की संख्या प्रतिदिन 147 दिनों तक दर्ज की गई थी तथा प्राप्त आँकड़ों की सारणी निम्न बारम्बारता सारणी में प्रस्तुत है:

माध्यक ज्ञात कीजिए तथा यह भी बताइए कि इससे क्या सूचना मिलती है। (3)
हल :
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 20 है। इस बारम्बारता का संगत वर्ग-अन्तराल 40 – 50 है।
बहुलक वर्ग = 40 – 50
l = 40; f₁ = 20; f₀ = 12; f₂ = 11 और h = 10

अतः दिए गए आँकड़ों का बहुलक = 44.7 कारें

खण्ड – (द)

प्रश्न 21.
निम्नलिखित समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए : (4)
3x + 4y = 32 तथा 6x + 8y = 24
अथवा
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3,900 में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदीं। बाद में, उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1,300 में खरीदर्दी। इस स्थिति को आलेखीय रूप में व्यक्त कीजिए। (3)
हल :
दिया गया समीकरण युग्म
3x + 4y = 32 …(i)
6x + 8y = 24 …(ii)

समीकरण (i) से,
3x + 4y = 32
4y = 32 – 3x
y = \(\frac{32-3 x}{4}\)
x के विभिन्न मानों के लिएy के विभिन्न मान इस प्रकार हैं
सारणी I

अब समीकरण (ii) से,
6x + 8y = 24
8y = 24 – 6x
y = \(\frac{24-6 x}{8}\)

x के विभिन्न मानों के लिए के विभिन्न मान इस प्रकार हैं

सारणी II


अब बिन्दुओं (4, 5), (0, 8), (8, 2) और (12, – 1) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 3x +4y = 32 का आलेख, एक सरल रेखा AB प्राप्त होती है। पुनः बिन्दुओं (4, 0), (- 4, 6), (8, – 3) और (0, 3) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 6x + 8y == 24 का आलेख, एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।

अब दिये गये समीकरणों के आलेख दो रेखाएँ AB एवं CD हैं जो कि परस्पर समान्तर हैं। इसलिए दिया गया समीकरण निकाय असंगत है तथा इसका कोई हल विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 22.
3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु Pऔर ए लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचिए। औचित्य भी दीजिए। (4)
अथवा
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें भुजा BC = 6 सेमी, ∠B = 45° तथा ∠A = 105° हो, तब एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) गुनी हों। औचित्य भी दीजिए। (4)
हल :
दिया है : 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त है जिसका केन्द्र 0 है। AOB वृत्त का व्यास है जिसको इस प्रकार बिन्दुओं P व Q तक बढ़ाया गया है कि वृत्त के केन्द्र 0 से प्रत्येक बिन्दु P व Q की दूरियाँ OP व OQ, 7 सेमी हैं।

रचना के चरण :

• O केन्द्र वाला 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
• वृत्त का व्यास AB खींचकर, इसे दोनों ओर क्रमशः P व Q तक इस प्रकार बढ़ाया कि OP = OQ = 7 सेमी।
• OP और 00 के लम्ब समद्विभाजिक खींचे जो OP को M₁, तथा OQ को M₂, पर काटते हैं।
• बिन्दु M₁, को केन्द्र मानकर MO त्रिज्या का वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁, व T₂, पर स्पर्श करता है।
• PT₁, और PT, को मिलाया।
• बिन्दु M₂, को केन्द्र मानकर M₂O त्रिज्या का वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को S₁, व S₂, पर स्पर्श करता है।
• QS₁, और QS₁, को मिलाया। अतः PT₁, PT₂, OS₁, और QS₂, अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति) : केन्द्र 0 वाले वृत्त की त्रिज्याएँ OT₁, OT₂, OS₁ व OS₂, खींची।

∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अतः ∠OT,P = ∠OT,P = 90°
तथा ∠OS,Q = ∠OS,Q = 90°
∵ केन्द्र M, वाले वृत्त में ZOT₁P व ∠OT₂P अर्द्धवृत्तों में स्थित कोण हैं।
∴ ∠OT₁P व ZOT₂P समकोण हैं जो क्रमशः त्रिज्याओं OT₁, व OT₂, के सिरों T₁, व T₂, पर स्थित हैं।
∴ PT₁, व PT₂, केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसी प्रकार, OS₁, व QS₂, भी केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 23.
निम्न बारंबारता का बहुलक 36 है। लुप्त बारंबारता (f) का मान ज्ञात कीजिए : (4)

अथवा .
निम्न तालिका एक गांव की 100 फार्मों में गेहूं की प्रति हैक्टेयर (क्विंटलों में) उपज के आंकड़ें दर्शाता है : (4)

उपरोक्त बंटन को ‘से अधिक प्रकार के बंटन में बदलकर उसका तोरण खींचिए। (4)
हल :
∵ दिए गए बारंबारता बंटन का बहुलक 36 है, इसलिए बहुलक वर्ग 30-40 है।
∴ l = 30, f₀ = f, f₁ = 16, f₂ = 12
तथा h = 10

⇒ 6 × (20 -1) = (16 – 1) × 10
⇒ 120 – 6f= 160 – 10f
⇒ 10f – 6f= 160 – 120
⇒ 4f = 40
⇒ f = 10
अतः लुप्त बारंबारता, f = 10