RBSE 10th Maths Model Paper Set 3 with Answers in Hindi

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RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 3 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।

(i) दिया है, HCF (156, 78) = 78, तो LCM (156, 78) का मान है | (1)
(अ) 156
(ब) 78
(स) 156 × 78
(द) 156 × 2
उत्तर:
(अ) 156

(ii) यदि द्विघात बहुपद x + 3x + k का एक शून्यक 2 है, तो k का मान है | (1)
(अ) 10.
(ब) – 10
(स) – 7
(द) -2
उत्तर:
(अ) 156

(iii) k = ______ लिए समीकरण निकाय x + y – 4 = 0 तथा 2x + ky = 3 का कोई हल नहीं है। (1)
(अ) – 2
(ब) + 2
(स) 3
(द) 2.
उत्तर:
(द) 2.

(iv) बहुपद x² – 3x – m(m + 3) के शून्यक हैं | (1)
(अ) m, m +3
(ब) – m, m + 3.
(स) m, – (m + 3)
(द) – m, – (m + 3)
उत्तर:
(ब) – m, m + 3.

(v) एक समान्तर श्रेणी का प्रथम पद p है तथा सार्वअन्तर १ है, तो उसका 10वाँ पद है | (1)
(अ) q+ 9p
(ब) p – 9q
(स) p + 9q
(द) 2p + 9q
उत्तर:
(स) p + 9q

(vi) चित्र में,

यदि PA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄Q
और A₁B₁ ∥ A₂B₂ ∥ A₃B₃ ∥ A₄B₄ ∥ QR.
तब A₂, रेखाखण्ड PQ को …………. के अनुपात में विभाजित करता है। (1)
(अ) 2 : 2
(ब) 2 : 3
(स) 1 : 2
(द) 3 : 2
उत्तर:
(स) 1 : 2

(vii) बिंदुओं (a cos θ + b sin θ, 0) तथा (0, a sin θ – b sin θ) के बीच की दूरी है | (1)
(अ) a² + b²
(ब) a² – b².
(स) \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
(द) \(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)
उत्तर:
(स) \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

(viii) यदि cos(10° + θ) = sin 30° है, तो ए का मान है | (1)
(अ) 50°
(ब) 40°
(स) 80°
(द) 20°
उत्तर:
(अ) 50°

(ix) \(\frac{2-\tan \theta}{2 {cosec} \theta-\sec \theta}\) बराबर है | (1)
(अ) tan θ
(ब) cos θ
(स) sin θ
(द) cot θ
उत्तर:
(स) sin θ

(x) एक बंटन का माध्य तथा माध्यक क्रमशः 14 तथा 15 है। बहुलक का मान होगा | (1)
(अ) 16
(ब) 17.
(स) 15
(द) 13.
उत्तर:
(ब) 17.

(xi) बंटन 1, 3, 2, 5, 9 का माध्यक होगा : (1)
(अ) 3
(ब) 4.
(स) 2
(द) 20
उत्तर:
(अ) 3

(xii) एक थैले में 3 लाल, 5 काली तथा 7 सफेद गेंदे हैं। इस थैले में से एक गेंद को यादृच्छया निकाला जाता है। निकाली गई गेंद काली नहीं है, इसकी प्रायिकता है (1)
(अ) \(\frac{1}{3}\)
(ब) \(\frac{9}{15}\)
(स) \(\frac{5}{10}\)
(द) \(\frac{2}{3}\)
उत्तर:
(द) \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो.

(i) दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख सदैव एक _________ रेखा को निरूपित करता है। (1)
उत्तर:
सरल

(ii) किसी समान्तर श्रेणी का __________ धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। (1)
उत्तर:
सार्वअन्तर

(iii) किसी वर्ग की उच्च सीमा तथा निम्न सीमा का अन्तर _________ कहलाता है। (1)
उत्तर:
वर्ग अन्तराल

(iv) AOBC एक आयत है जिसके तीन शीर्ष-बिंदु A(0, – 3), O(0, 0) एवं B(4, 0) हैं इसके विकर्ण की लंबाई _________ है। (1)
उत्तर:
5 इकाई

(v) \(\frac{\cos 80^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}\) + cos 59° cosec 31° का मान _________ (1)
उत्तर:
2

(vi) वर्ग: अन्तराल 10-20 का. वर्ग चिन्ह _________ है। (1)
उत्तर:
15

प्रश्न 3.
(i) किसी धनात्मक पूर्णांक P के लिए, प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक किस रूप में होता है? (1)
हल :
2P + 1

(ii) द्विघात समीकरण x² – 6x = 0 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
x² – 6x = 0
⇒ x(x – 6) = 0
x = 0 या x = 6
अतः शून्यक 0 तथा 6 है।

(iii) किसी द्विघात बहुपद में अधिक से अधिक शून्यकों की संख्या कितनी हो सकती है? (1)
हल:
2

(iv) समीकरणों kx – 2y = 3 तथा 3x + y =5 के अद्वितीय हल के लिए k का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
∵ समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
\(\frac{k}{3} \neq \frac{-2}{1}\)
अतः k ≠ – 6

(v) जाँच कीजिए कि क्या x + 3 = द्विघात समीकरण हैं ? (1)
हल :
दिया है
x + \(\frac{3}{x}\) = x²
⇒ \(\frac{x^{2}+3}{x}\) = x²
⇒ x² + 3 = x³
⇒ x³ – x² – 3 = 0
दिये गये समीकरण में x की अधिकतम घात 3 है। अतः समीकरण द्विघात नहीं है।

(vi) समीकरण (x + 6) (x – 5) = 0 के मूल ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
(x + 6) (x – 5) = 0
x = -6 या x = 5
अतः मूल – 6 तथा 5 होंगे।

(vii) 7.4 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचकर उसका 3:5 में आन्तरिक विभाजन कीजिए। (केवल चित्र दें) (1)
हल :

(viii) बिन्दु (2, 3) और (5, 6) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
बिन्दु (2, 3) और (5, 6) के बीच की दूरी

(ix) यदि sin θ = \(\frac{3}{5}\) हो, तो cos θ ज्ञात कीजिए। (1)
हल :

(x) यदि √3 tan θ = 1, तब का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
दिया है, √3 tan θ = 1
⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan 30°
अतः θ = 30°

(xi) बंटन 2, 4, 5 और 3 का माध्य ज्ञात कीजिए : (1)
हल :
समान्तर माध्य (x̄)
= \(\frac{2+4+5+3}{4}=\frac{14}{3}\) = 4.66

(xii) यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं’ की प्रायिकता क्या है ? (1)
हल :
∵ ‘E नहीं’ की प्रायिकता
= 1 – P(E)
= 1 – 0.05 = 0.95

खण्ड – (ब)

प्रश्न 4.
135 और 225 का H.C.F. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए। (2)
हल :
चरण 1. क्योंकि, संख्याएँ 135 और 225 इस प्रकार हैं कि 225 > 135 .
अतः 225 और 135 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर
225 = 135 × 1 + 90

चरण 2. ∵ शेषफल शून्य नहीं है।
∴135 और 90 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्रयोग करने पर,
135 = 90 × 1 + 45

चरण 3. 90 और 45 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
90 = 45 × 2 + 0
∵ शेषफल 0 प्राप्त हो गया।
∵ चरण 3 में भाजक 45 है।
अतः 135 और 225 का H.C.E = 45

प्रश्न 5.
शून्यकों की वास्तविक गणना किए बिना एक द्विघात बहुपद बनाइए जिसके शून्यक बहुपद 5x² + 2x – 3 के शून्यकों के व्युत्क्रम हो। (2)
हल :
माना बहुपद 5x² + 2x – 3 के शून्यक α और β है, तब
शून्यकों का योग (α + β) = \(\frac{-b}{a}=\frac{-2}{5}\)
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = \(\frac{c}{a}=\frac{-3}{5}\)
प्रश्नानुसार, अभीष्ट बहुपद के \(\frac{1}{\alpha}\) तथा \(\frac{1}{\beta}\) होंगे।
अभीष्ट बहुपद= x² – (शून्यकों का योग)x + शून्यकों का गुणनफल

प्रश्न 6.
जाँच कीजिए कि रैखिक समीकरण x – y = 8, 3x – 3y = 16 के युग्म संगत/असंगत हैं? (2)
हल :
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म : x – y = 8 तथा 3x – 3y = 16
उक्त समीकरण युग्म से स्पष्ट है कि यहाँ
a₁ = 1, b₁ = – 1, c₁ = – 8
a₂ = 3, b₂ = – 3, c₂ = – 16

अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म असंगत

प्रश्न 7.
\(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ 4,7 का मूल ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दिया गयां समीकरण हैं :

⇒ x² – 3x – 28 + 30 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – (2 + 1)x + 2 = 0.
⇒ x² – 2x – x + 2 = 0
⇒ x(x – 2) – 1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
x = 1, 2
कल अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल 1 और 2 हैं |

प्रश्न 8.
समान्तर श्रेणी : 3, 8, 13, 18, … का कौन-सा पद 78 है? (2)
हल :
दी गई श्रेणी 3, 8, 13, 18, …
यहाँ a = 3 तथा d = 8 – 3 = 5
माना nवाँ पद 78 है।
a_n = 78
∴ a_n = a + (n – 1)d (सूत्र)
⇒ 78 = 3 + (n – 1)5 = 3 + 5n – 5
⇒ 5n = 78 + 2 = 80
∴ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
अतः 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 9.
प्रथम n धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
माना S_n = 1 + 2 + 3 … + n
यहाँ a = 1 और अंतिम पद l = n
S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
अतः S_n = \(\frac{n(1+n)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\)

प्रश्न 10.
उचित माप लेकर किसी रेखाखण्ड को 3 : 2 में विभाजित कीजिए। (2)
हल :
माना AB एक रेखाखण्ड है जिसे 3 : 2 में विभाजित करना है।

रचना के चरण :

• सबसे पहले दी हुई नाप का रेखाखण्ड AB खींचा।
• रेखाखण्ड AB के बिन्दु A से न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण AX खींची।
• दिए हुए अनुपात (3 : 2) का योग 3 + 2 = 5 कर, किरण AX पर परकार की सहायता से बराबर दूरी के 5 भाग करके बिन्दु A₁, A₂, A₃, A₄ तथा A₅, अंकित करते हैं। अर्थात् AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅ हों।
• अन्तिम खण्ड (भाग) A₅ को रेखाखण्ड AB के बिन्दु B से मिलाया अर्थात् A₅B को मिलाया।
• अब A₅B के समान्तर A₃P रेखा खींची (∠AA₅B = ∠AA₃P हो) जो AB रेखाखण्ड को P बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है, तब
  AP : PB = 3 : 2

अतः रेखाखण्ड AB के AP और PB अभीष्ट भाग हैं।

प्रश्न 11.
7.6 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 5 : 8 के अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों को मापिए। (2)
हल :
दिया है : रेखाखण्ड AB = 7.6 सेमी।

रचना के चरण :

• एक रेखाखण्ड AB = 7.6 सेमी खींचा।
• रेखाखण्ड AB के बिन्दु A से न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींची।
• किरण AX के परकार की सहायता से 5 + 8 = 13 समान भाग किये।
• BA₁₃ को मिलाया।
• बिन्दु A₅ से A₁₃B के समान्तर रेखा A₅P खींची जो AB को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती है अर्थात् ∠BA₁₃A = ∠PA₅A बनाया। AP : PB = 5 : 8

अतः रेखा AB के AP व PB अभीष्ट भाग हैं।

प्रश्न 12.
यदि cot θ = \(\frac{7}{8}\), तो \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\) का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल :

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए : sec⁶ θ – tan⁶ θ = 1+ 3 tan²θ+ 3 tan⁴θ. (2)
हल :
सूत्र : a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
L.H.S. = sec⁶ θ – tan⁶ θ
= (sec² θ)³ – (tan² θ)³
= (sec² θ – tan² θ) (sec² θ + sec² θ tan² θ + tan⁴ θ)
= 1 x {sec² θ (sec² θ + tan² θ) + tan⁴ θ}
= {(1 + tan² θ) (1 + tan² + tan² θ) + tan⁴ θ} (∵ sec² θ = 1 + tan² θ)
= (1 + tan² θ) (1 + 2 tan²θ ) + tan⁴ θ
= 1 + tan² θ + 2 tan²θ + 2 tan⁴ θ + tan⁴θ
= 1 + 3 tan²θ + 3 tan⁴θ = R.H.S.

प्रश्न 14.
नीचे दिए गए बंटन का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए : (2)

हल :

प्रश्न 15.
निम्नलिखित सारणी एक स्कूल की कक्षा X के 50 विद्यार्थियों के गणित में प्राप्त अंकों को दर्शाती है। (2)

माध्यक अंक ज्ञात कीजिए।
हल :

योग यहाँ N = 50

∴ \(\frac{N}{2}=\frac{50}{2}\) = 25 से बड़ी संचयी बारंबारता 34 के संगत वर्ग-अन्तराल 50-60 है। (2)
माध्यक वर्ग = 50 – 60
l = 50, C = 22, f = 12, h = 10

अतः माध्यक अंक = 52.5

प्रश्न 16.
अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक इक्का नहीं होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = 52
∴ कुल संभावित परिणाम = 52
इक्का होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
∴ इक्का होने की प्रायिकता
P(इक्का) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
इक्का न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{13}=\frac{12}{13}\)

खण्ड – (स)

प्रश्न 17.
अनुक्रम 45, 39, 33, ….. के कितने पदों का योगफल 180 होगा? (3)
अथवा
यदि एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योगफल । पदों के योगफल के बराबर हो, तो सिद्ध कीजिए कि (m + n) पदों का योगफल शून्य होगा।
हल :
स्पष्टतः दिया गया अनुक्रम समान्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद a = 45 तथा सार्वअन्तर d = 39 — 45 = – 6 है। माना कि इसके n पदों का योगफल 180 है।
∴ S_n = 180
⇒ \(\frac{n}{2}\){2a + (n – 1)d} = 180
⇒ \(\frac{n}{2}\){2 × 45 + (n – 1) × (-6)} = 180
⇒ \(\frac{n}{2}\)[90 – 6n + 6] = 180
⇒ \(\frac{n}{2}\)[96 – 6n] = 180
⇒ n (48 – 3n) = 180
⇒ 48n – 3n² = 180
⇒ 3n² – 48n + 180 = 0
⇒ n² – 16n + 60 = 0
⇒ n² – 10n – 6n + 60 = 0
⇒ n(n – 10)- 6(n – 10) = 0
⇒ (n – 10)(n – 6) = 0
⇒ n = 10, 6
इस स्थिति में, प्रथम 6 पदों का योगफल = प्रथम 10 पदों का योगफल।
ये दोनों उत्तर संभव है, क्योंकि 7वें से 10वें पदों तक का योगफल शन्य होगा।

प्रश्न 18.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं। (3)
अथवा
यदि A और B क्रमशः (- 2, -2) और (2, -4) हों, तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac{3}{7}\) = AB हो, और P रेखाखण्ड AB पर स्थित है।
हल :
केन्द्र के निर्देशांक = (2, – 3)
बिन्दु B के निर्देशांक = (1, 4)

माना बिन्दु A के निर्देशांक (x, y) हैं।
∴ बिन्दु 0, व्यास AB का मध्य-बिन्दु है।
∴ मध्य-बिन्दु 0 के निर्देशांक

⇒ 4 =x +1और – 6 = y +4
⇒ x = 4-1 और y = – 6-4 .
⇒ x = 3 और y = – 10
अत: अभीष्ट बिन्दु A के निर्देशांक (3, – 10) हैं।

प्रश्न 19.
\(\left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\cos 55^{\circ}}\right)^{2}+\left(\frac{\cos 43^{\circ}}{\sin 47^{\circ}}\right)^{2}\) – 2 cos 60° का मान ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
\(\frac{\cos ^{2} \theta}{1-\tan \theta}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta}\) = 1 + sin θ cos θ
हल :

प्रश्न 20.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है : (3)

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
अथवा
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए। 3

हल :
माना कल्पित माध्य (A) = 225, वर्ग माप (h) = 50

माध्य (x̄) = A + \(\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right)\) × h
= 225 + \(\frac{(-7)}{25}\) × 50
= 225 + (-14) = 211
अतः प्रति परिवार भोजन पर होने वाला दैनिक व्यय का माध्य = ₹ 211

खण्ड – (द)

प्रश्न 21.
निम्न समीकरण निकाय के हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए | (4)
2x – 3y + 13 = 0 तथा 3x – 2y + 12 = 0
अथवा
5 सेबों और 3 सन्तरों का कुल मूल्य 35 रुपये है जबकि 2 सेबों और 4 सन्तरों का कुल मूल्य 28 रुपये है। इस समस्या को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कर ग्राफ विधि से हल कीजिए।
हल :
दिया गया समीकरण निकाय है :
2x-3y + 13 = 0 …(i)
3x – 2y + 12 = 0 …(ii)
चूँकि दोनों समीकरण x तथा ” की प्रथम घात में हैं। अतः इनके आलेख (graphs) सरल रेखाएँ होंगी।
अब, समीकरण 2x – 3y + 13 = 0 से,
⇒ 3y = 2x + 13 ⇒ y = \(\frac{2 x+13}{3}\)

(x, y) के विभिन्न मानों से बिन्दुओं की निम्न सारणी प्राप्त होती है :

इसी प्रकार समीकरण 3x – 2y + 12 = 0 से
⇒ 2y = 3x + 12 ⇒ y = \(\frac{3 x+12}{2}\)
(x, y) के विभिन्न मानों से बिन्दुओं की निम्न सारणी प्राप्त होती है

अब बिन्दुओं (1, 5), (- 2, 3) और (-5, 1) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 2x -3y + 13 = 0 का आलेख AB तथा बिन्दुओं (0, 6), (-2, 3) और (-4, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 3x – 2 + 12 = 0 का आलेख CD प्राप्त होती है।

चित्र से स्पष्ट है कि दोनों समीकरणों की सरल रेखाएँ बिन्दु P(-2, 3) पर प्रतिच्छेद करती है। अतः समीकरणों के हल x = – 2, y = 3

प्रश्न 22.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें भुजा BC = 7 सेमी, ∠B = 45° तथा ∠C = 60° है। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का \(\frac{3}{5}\) गुनी हो। (4)
अथवा
5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{7}{5}\) गुनी हों।
हल :

रचना के चरण :

• BC = 7 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचा।
• BC के बिन्दु B से 45° का कोण बनाती हुई BC के ऊपर एक रेखा खींची।
• BC के बिन्दु C से 60° का कोण बनाती हुई रेखा खींची जो पहली रेखा को बिन्दु A पर काटती
• रेखाखण्ड BC के बिन्दु B से नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण BX खींची।
• किरण BX के पाँच बराबर भाग इस प्रकार करते हैं कि वे सभी आपस में बराबर हों,
  BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅
• B₅C को मिलाया। B₃, से B₅C के समान्तर B₃C’ रेखा खींची जो BC से C’ पर मिलती है।
• C से AC के समान्तर A’C’ रेखा खींची जो AB से A’ पर मिलती है। अत: A’BC’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज होगा।

औचित्य (उपपत्ति) : ∆BB₃C तथा BB₅C में
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
∠BB₃C’ = ∠BB₅C (रचना से)
∆BB,C’ ~ ∆BBC (AA समरूपता कसौटी से)
⇒ \(\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{3}}{B B_{5}}\)
[समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
⇒ \(\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{3}{5}\) …..(1) [∵ \(\frac{B B_{3}}{B B_{5}}=\frac{3}{5}\) (रचना से)]

इसी प्रकार ∆A’BC’ तथा ∆ABC भी समरूप ई होंगे।

अत: ∆A’BC’ की भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{5}\) गुनी होंगी।

प्रश्न 23.
एक जीवन बीमा एजेण्ट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्याक्यिों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु 60 वर्ष से कम हो। (4)

अथवा
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

हल :

यहाँ N = 100 तो \(\frac{N}{2}=\frac{100}{2}\) = 50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 78 के संगत वर्ग-अन्तराल 35-40 है।
∴ माध्यक वर्ग = 35 – 40
l = 35, 2 = 50, C = 45, f= 33 और h = 5
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right)\) × h
= 35 + \(\left(\frac{50-45}{33}\right)\) × 5
= 35 + \(\frac{5}{33}\) × 5
= 35 + \(\frac{25}{33}\)
= 35 + 0.7575 = 35 + 0.76 (लगभग)
माध्यक = 35.76 (लगभग) अतः दिए गए आँकड़ों से माध्यक आयु 35.76 वर्ष है।