RBSE 10th Maths Model Paper Set 4 with Answers in Hindi

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RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 4 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।
(i) वह बड़ी से बड़ी संख्या, जिससे 245 तथा 1029 को भाग देने पर क्रमश: 5 एवं ” शेष बचे है-
(अ) 15
(ब) 60
(स) 9.
(द) 5
उत्तरः
(द) 5

(ii) बहुपद p(x) को x² – 4 से विभाजित करने पर भागफल तथा शेषफल क्रमशः x तथा 3 पाए गए। बहुपद p(x) है-
(अ) 3x² + x – 12
(ब) x³ – 4x + 12
(स) x² + 3x – 12
(द) x³ – 4x – 3
उत्तरः
(ब) x³ – 4x + 12

(iii) रैखिक समीकरणों y = 0 तथा y = – 6 के युग्म का एक-
(अ) अद्वितीय हल है।
(ब) कोई हल नहीं है ।
(स) अनेक हल हैं .
(द) सिर्फ एक हल (1), (0) है.
उत्तरः
(ब) कोई हल नहीं है ।

(iv) द्विघात समीकरण x² – 4x + k = 0 के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे, यदि
(अ) k = 4
(ब) k > 4
(स) k = 16
(द) k < 4
उत्तरः
(द) k < 4

(v) समान्तर श्रेणी a, 3a, 5a, ……. का गवाँ पद है
(अ) na
(ब) (2n – 1)a
(स) (2n + 1)a
(द) 2na
उत्तरः
(ब) (2n – 1)a

(vi) बिन्दु (5, 7) की x-अक्ष से दूरी है-
(अ) 5 मेमी
(ब) 7 मेमी
(स)12 सेमी
(द) 2 सेमी
उत्तरः
(ब) 7 मेमी

(vii) x-अक्ष पर स्थित बिंदु P जो बिंदुओं A(-1, 0) तथा B(5, 0) से समदूरस्थ है, हैं
(अ) (2, 0)
(ब) (0, 2)
(स) (3, 0)
(द) (2, 2)
उत्तरः
(अ) (2, 0)

(viii) यदि cos A = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 0° < A < 90° है, तो A बराबर है-
(अ) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(ब) 30°
(स) 60°
(द) 1
उत्तरः
(ब) 30°

(ix) यदि 5 tan θ = 12 है, तो \(\frac{13 \sin \theta}{3}\) का मान है
(अ) 2
(ब) 4
(स) 12
(द)1
उत्तरः
(ब) 4

(x) वर्गीकृत आँकड़ों की ‘से कम प्रकार’ और ‘से अधिक प्रकार’ की संचयी बारम्बारता वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु के भुज से आँकड़ों का प्राप्त होना है-
(अ) माध्य
(ब) माध्यक
(स) बहुलक
(द) उपरोक्त सभी
उत्तरः
(ब) माध्यक

(xi) बंटन 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4 का बहुलक है
(अ) 7
(ब) 4
(स) 3.
(द) 1.
उत्तरः
(ब) 4

(xii) अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया है। एक गुलाम के आने की प्रायिकता होगी-
(अ) \(\frac{3}{26}\)
(ब) \(\frac{1}{52}\)
(स) \(\frac{1}{13}\)
(द) \(\frac{3}{52}\)
उत्तरः
(स) \(\frac{1}{13}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो –
(i) k …………………… के लिए समीकरण निकाय x + 2y = 3 तथा 5x + ky = 7 का कोई हल नहीं है। (1)
उत्तरः
10 या ± \(\frac{14}{3}\)

(ii) यदि 3k – 2, 4k – 6 तथा k + 2 एक समान्तर श्रेणी के क्रमित पद हैं, तो k का मान …………………….. है। (1)
उत्तरः
3

(iii) समरूप आकृतियों के …………………….. समान नहीं होते। 1)
उत्तरः
आकार

(iv) यदि एक वृत्त का केन्द्र (3, 5) तथा व्यास के अंत बिन्दु (4, 7) तथा (2, y) हैं तो y का मान …………………….. है। (1)
उत्तरः
3

(v) sin 20° cos 70° + sin 70° cos 20° का मान …………………………. है। (1)
उत्तरः
1

(vi) बंटन 5, 3, 7, 6, 4, 2, 1 की माध्यिका ………………………… है। (1)
उत्तरः
4

प्रश्न 3.
(i) दो पूर्णांक संख्याओं का म.स. व ल.स. क्रमश: 12 और 48 हैं, यदि एक पूर्णांक 36 है, तो दूसरा पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या
⇒ 12 × 48 = 36 × दूसरी संख्या
अतः दूसरी संख्या = \(\frac{12 \times 48}{36}\) = 16

(ii) द्विघात समीकरण x² + x – 2 = 0 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
⇒ x² + x – 2 = 0
⇒ x + 2x- x – 2 = 0
⇒ x(x + 2) – 1(x – 2) = 0
⇒ (x + 2) (x – 1) = 0
⇒ x = – 2, 1

(iii) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल – \(\frac{1}{4}\) और \(\frac{1}{4}\) हैं ।
हल:
माना (x) वह द्विघात बहुपद है जिसके शून्यकों का योग α और गुणनफल β हैं।
∴ f(x) = x² – (α + β) x + αβ
f(x) = x² + \(\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{4}\)

(iv) दो संख्याओं का अन्तर 26 है तथा बड़ी संख्या, छोटी संख्या के तीन गुने से 4 अधिक है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दो संख्याएँ x और ) हैं। यहाँ x > y है।
प्रश्नानुसार, x – y = 26 …… (i)
तथा x = 3y + 4
⇒ x – 3y = 4 ……….. (ii)
समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर,
x = 37, y = 11
अतः संख्याएँ 37 और 11 हैं।

(v) द्विघात समीकरण x² + 8x + 7 = 0 को हल कीजिए।
हल:
x² + 8x + 7 = 0
⇒ x² + 7x + x + 7 = 0
⇒ x(x + 7) + 1(x + 7) = 0
⇒ (x + 7) (x + 1) = 0
⇒ x = – 1, – 7

(vi) k के किस मान के लिए समीकरण x² + k (2x + k – 1) + 2 = 0 के मूल वास्तविक तथा समान हैं।
हल:
x² + k (2x + k – 1) + 2 = 0
⇒ x² + 2kx + k² – k + 2 = 0
वास्तविक और समान मूलों के लिए प्रतिबंध:
b² – 4ac = 0
⇒ (2k)² – 4 × 1 × (k² – k + 2) = 0
⇒ 4k² – 4k² + 4k – 8 = 0
⇒ 4k = 8
अतः k = 2

(vii) वृत्त के अन्दर से वृत्त पर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
हल:
कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।

(viii) x-अक्ष बिन्दुओं A(3, – 5) और B(-4, 7) को मिलाने वाली रेखा को किस अनुपात में विभाजित करता है ? 1
हल:
माना बिन्दु P(x, 0) दिए हुए रेखाखण्ड को m₁ : m₂ के अनुपात में आन्तरिक विभाजित करता हैं|
∴ 0 = \(\frac{m_{1} \times 7+m_{2} \times(-5)}{m_{1}+m_{2}}\)
⇒ 7m₁ – 5m₂ = 0
⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}\) = \(\frac{5}{7}\)
⇒ m₁:m₂ = 5 : 7

(ix) \(\frac{\tan 67^{\circ}}{\cot 23^{\circ}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{\tan 67^{\circ}}{\cot 23^{\circ}}\) = \(\frac{\tan 67^{\circ}}{\cot \left(90^{\circ}-67^{\circ}\right)}\)
= \(\frac{\tan 67^{\circ}}{\tan 67^{\circ}}\) = 1

(x) यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 2A = cot (A – 18°)
⇒ cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
⇒ 90° – 2A = A – 18°
⇒ 3A = 108°
∴ A = 36°

(xi) कक्षा 10 के छात्रों के प्राप्तांक 19, 15, 18, 14, 17, 16, 15, 15 हैं। इनका माध्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
प्राप्तांकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,
14, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 19

(xii) यदि किसी घटना की प्रायिकता P है, तो इसकी पूरक घटना की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
पूरक प्रायिकता = 1 – P

खण्ड-(ब)

प्रश्न 4.
510 और 92 का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो 2 संख्याओं का गुणनफल = म.स. × ल.स. है।
हल:
दी गई संख्याएँ = 510, 92
∴ 92= 2 × 2 × 23 = (2)² × (23)¹
510 = 2 × 3 × 5 × 17
= (2)¹ × (3)¹ × (5)¹ × (17)¹
92 और 510 के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों का (न्यूनतम घातों में) गुणनफल = (2)¹ = 2
अतः = म.स. = 2
तथा 92 और 510 के अधिकतम घातांक में सभी अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल
= (2)² × (3)¹ × (5)¹ × (17)¹ × (23)¹ = 23460
अत: ल.स. = 23460
अब संख्याओं का गुणनफल = 92 × 510 = 46920 .
और म.स. × ल.स. = 2 × 23460 = 46920
अत: संख्याओं का गुणनफल = म.स. × ल.स.

प्रश्न 5.
3x³ + 4x² + 5x – 13 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल क्रमश: 3x + 10 तशा 16x
__- 43 आते हैं। बहुपद g(x) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
भाज्य p(x) = 3x³ + 4x² + 5x – 13
भागफल q(x) = 3x + 10
शेषफल (x) = 16x – 43
भाजक g(x) = ज्ञात करना है यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
⇒ p(x) – r(x) = g(x) × q(x)

अब 3x³ + 4x² – 11x + 30 को 3x + 10 से भाग देने पर g(x) इस प्रकार प्राप्त करेंगे।

अतः g(x) = x² – 2x + 3

प्रश्न 6.
गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि से √2x + √3y = 0, √3x – √2y = 0 के हल ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
√2x + √3y = 0 …(i)
√3x – √2y = 0 …(ii)
समीकरण (i) और (ii) में y का गुणांक समान करने के लिए समीकरण (i) को √2 से तथा समीकरण (ii) को √3 से गुणा करके समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,

x का मान समीकरण (i) में रखने पर
√2 × 0 + √3y = 0
⇒ 0 + √3y = 0
⇒ √3y = 0
⇒ y = 0
अतःx = 0, y = 0 दिए गए समीकरणों के अभीष्ट हल हैं।

प्रश्न 7.
x² + 2√2x – 6 = 0 मूल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए समीकरण x² + 2√2x – 6 = 0 की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = 2√2, c = – 6
श्रीधराचार्य के सूत्र से,

यहाँ x = – √2 + 2√2 = √2
और x = – √2 – 2√2 = – 3√2
अतः समीकरण के दो अभीष्ट मूल x = √2 और x = – √32 हैं।

प्रश्न 8.
समान्तर श्रेणी 3, 8, 13, …, 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ प्रथम पद a = 3,
सार्वअन्तर d = 8 – 3 = 5
अन्तिम पद a_n = 253
सूत्र : अन्त से वाँ पद = a_n – (r – 1)d
अन्त से 20वाँ पद = 253 – (20 – 1)5
= 253 – 19 × 5
= 253 – 95 = 158
अतः समान्तर श्रेणी के अन्तिम पद से 20वाँ पद 158 है।

प्रश्न 9.
किसी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, प्रथम पद a = 5,
अन्तिम पद l = a_n = 45
और S_n = 400
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] = 400
⇒ \(\frac{n}{2}\)[5 + 45] = 400
⇒ 25n = 400
∴ n = \(\frac{400}{25}\) = 16
अतः पदों की संख्या, n = 16

प्रश्न 10.
दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{5}{3}\) हों। (2_
हल:
रचना के चरण:

• सर्वप्रथम दिया गया त्रिभुज ABC बनाया।
• आधार BC के बिन्दु B से BC पर नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण BX खींची।।
• रेखा BX को B से प्रारम्भ करके 5 बराबर भागों में विभाजित किया।
• अनुपात का छोटा भाग 3 है। अत: B, को C से मिलाकर रेखाखण्ड B₃C खींचा।
• BC को उसी की सीध में आगे BY तक बढ़ाया।
• B₅ से B₃C के समान्तर B₅C’ खींची. जो बढी हुई BY को C’ पर काटती है।
  
• C” से CA के समान्तर C’A’ रेखा खींची जो बढ़ी हुई BA रेखा को A’ पर काटती है। अतः इस प्रकार ∆A’BC’, ∆ABC के समरूप त्रिभुज है|

प्रश्न 11.
माना ABC’एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 सेमी, ३(= 8 सेमी तथा 18 – 90° है। 8 से A(‘ पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, (‘व) से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल:
दिया है : एक समकोण त्रिभुज ABC जिसमें ∠B= 90°, AB = 6 सेमी तथा BC = 8 सेमी है। शीर्ष B से भुजा AC पर BD लम्ब खींचा गया है।
रचना के चरण:

• सर्वप्रथम रेखाखण्ड BC = 8 सेमी खींचा।
• बिन्दु B पर 90° कोण बनाते हुए, AB रेखाखण्ड 6 सेमी खींचा।
  
• AC को मिलाया। इस प्रकार समकोण AABC प्राप्त हुआ।
• बिन्दु B से AC पर BD लम्ब खींचा जो AC को D बिन्दु पर काटता है।
• अब ABCD की भुजाओं BD और CD के लम्ब समद्विभाजक किए जो परस्पर 0 बिन्दु पर काटते हैं।
• 0 को केन्द्र मानकर OB त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो बिन्दुओं B, C व D से होकर गुजरता
• चूँकि AB स्वयं स्पर्श रेखा है। इसलिए A को केन्द्र मानकर AB त्रिज्या का चाप खींचा जो वृत्त को बिन्दु P पर काटता है। AP को मिलाया।
  अतः AP अभीष्ट स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 12.
यदि sin θ + cos θ = p और sec θ + cosec θ = q हो, तो सिद्ध कीजिए:
q(p² – 1) = 2p
हल:
L.H.S. = q(p² – 1)
p और 4 के मान रखने पर
= (sec θ + cosec θ) [(sin θ + cos θ)² – 1]

प्रश्न 13.
सिद्ध काज: \(\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}\) = sec A – tan A
हल:

प्रश्न 14.
निम्न बंटन का कल्पित माध्य मानकर माध्य x̄ ज्ञात कीजिए:

हल:

समान्तर माध्य (x̄) = A + \(\frac{\Sigma j_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= 47.5 + \(\frac{465}{30}\) = 47.5 + 15.5 = 63
दी गयी सारणी से स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारम्बारता 7 है।

प्रश्न 15.
निम्नलिखित आँकड़े 200 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घण्टों में) की सूचना देते हैं:

उपकरणों का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ अधिकतम बारम्बारता 65 है तथा इस बारम्बारता के संगत वर्ग 80 – 100 हैं। अत: बहुलक वर्ग 80 – 100 है।
∴ l = 80, f₁ = 65, f_o = 38, f₂ = 24, h = 20
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 80 + \(\left(\frac{65-38}{2 \times 65-38-24}\right)\) × 20
= 80 + \(\frac{27}{68}\) × 20
= 80 + 7.94
= 87.94
अतः उपकरणों का बहुलक जीवन काल 87.94 घंटे है।

प्रश्न 16.
एक जार में 24 कंचे हैं, जिनमें कुछ हरे हैं और कुछ नीले हैं। यदि इस जार में से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाता है, तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता \(\frac{2}{3}\) है| जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
माना जार में हरे कंचों की संख्या x है।
कंचों की कुल संख्या = 24
जब जार में से 1 कंचा यादृच्छया निकाला जाता है,
तो कंचे के हरे होने की प्रयिकता = \(\frac{x}{24}\)
प्रश्नानुसार, कंचे के हरे होने की प्रायिकता \(\frac{2}{3}\) है।
∴ \(\frac{x}{24}\) = \(\frac{2}{3}\) ⇒ 3 x = 48 ⇒ x = 16
∴ जार में हरे कंचों की संख्या = 16
∴ तब, जार में नीले कंचों की संख्या

खण्ड-(स)

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि (a – b), (a + b), (a + b) एक समान्तर श्रेणी में हैं।
अथवा
एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग 63 है और इसके अगले 7 पदों का योग 161 है। समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना a₁ = (a – b)², a₂ = (a² + b²),
a₃ = (a + b)²
a₂ – a₁ = (a² + b²) – (a – b)²
= (a² + b²) – (a² + b² – 2ab)
= a² + b² – a² – b² + 2ab
= 2ab …(i)
तथा a₃ – a₂ = (a + b)² – (a² + b²)
= a² + b² + 2ab – a² – b²
= 2ab …(ii)
समीकरण (i) = समीकरण (ii)
a₂ – a₁ = a₃ – a₂
अतः (a – b)², (a² + b²), (a + b²) एक समान्तर श्रेणी में हैं।

प्रश्न 18.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2,- 5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
अथवा
y-का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P (2, – 3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है। (3)
हल:
माना x-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0) हैं, क्योंकि x-अक्ष के लिए y-निर्देशांक शून्य होता है।
(x, 0) और (2, – 5) के बीच की दूरी
= \(\sqrt{(x-2)^{2}+(0+5)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}-4 x+4+25}\)
= \(\sqrt{x^{2}-4 x+29}\)
तथा (x, 0) और (-2, 9) के बीच की दूरी .
= \(\sqrt{(x+2)^{2}+(0-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+4 x+4+81}\)
= \(\sqrt{x^{2}+4 x+85}\)
प्रश्नानुसार,
\(\sqrt{x^{2}-4 x+29}\) = \(\sqrt{x^{2}+4 x+85}\) (दोनों पक्षों का वर्ग करने पर)
⇒ x² – 4x + 29 = x² + 4x + 85
⇒ – 8x = 85 – 29 ⇒ – 8x = 56
⇒ x = \(\frac{56}{-8}\)
∴ x = – 7
अत: अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (-7, 0) हैं।

प्रश्न 19.
यदि tan θ + sec θ = l, तब सिद्ध कीजिए कि sec θ = \(\frac{l^{2}+1}{2 l}\)
अथवा
सिद्ध कीजिए कि: tan⁴θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ.
हल:
दिया है,
tan θ + sec θ = l
⇒ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\) = l
⇒ \(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\) = l

प्रश्न 20.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है: (3)

उपर्युक्त आँकड़ों से माध्य ज्ञात कीजिए।
अथवा
निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घण्टों में) की सूचना देते हैं: (3)

उपकरणों का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कल्पता माध्य (A) = 40 है|

∴ माध्य (x̄) = A + \(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}\)
= 40 + \(\frac{(-370)}{80}\) = 40 + (-4.625) = 35.375
अतः आँकड़ों का माध्य = 35.375 वर्ष
औसतन अस्पताल में भर्ती किए गए रोगियों की आयु 35.37 वर्ष है।

खण्ड-(द)

प्रश्न 21.
निम्न समीकरण युग्म का आलेखीय विधि से हल ज्ञात कीजिए (4)
x + y = 5 तथा 2x + 2y = 10
अथवा
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए । (4)
हल:
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म:
x + y = 5 या x + y – 5 = 0 …(1)
2x + 2y = 10 या 2x + 2y – 10 = 0 …(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = – 5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = – 10
यहाँ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{2} ; \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{2}\)
और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\)
∵ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत है।

आलेखीय विधि:
समीकरण (1) से, x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x व” के विभिन्न मानों के लिए, सारणी

बिन्दुओं A(5, 0), B(2, 3) और C(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण x + y = 5 को इंगित करती है।
समीकरण (2) से, 2x + 2y = 10
⇒ 2(x + y) = 10
⇒ x + y = 5
⇒ y = 5 – x
x व y के विभिन्न मानों के लिए, सारणी

बिन्दुओं D(5, 0), E(3, 2) और F(0, 5) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कर उनको मिलाने से हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जो कि समीकरण 2x + 2y = 10 को इंगित करती है।

आलेख से यह स्पष्ट है कि दिया गया रैखिक समीकरण युग्म. सम्पाती रेखाएँ हैं। अतः इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

प्रश्न 22.
5 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज ABC’ की रचना कीजिए। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज ARC’ की संगत भुजाओं की \(frac{2}{3}\) गुनी हों। (4)
अथवा
8.5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड 48 खींचिए। A को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र मानकर 2 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। (4)
हल:
रचना के चरण:

• एक रेखाखण्ड BC = 5 सेमी खींचिए।
• बिन्दु B को केन्द्र मनाकर 5 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए।
  
• इसी प्रकार, बिन्दु C को केन्द्र मनाकर 5 सेमी त्रिज्या का एक अन्य चाप लगाइए, जो बिन्दु B से लगे ‘चाप को काटता है। यह प्रतिच्छेदित बिन्दु A है।
• A से C को मिलाइये। अतः एक समबाहु त्रिभुज ABC की रचना हो गई।
• BC के बिन्दु B से शीर्ष A के दूसरी ओर न्यूनकोण बनाती किरण BY खींचिए।
• 3 बिन्दु B₁, B₂, B₃, किरण BY पर इस प्रकार कीजिए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ हो।
• B₃ को C से मिलाइए।
• बिन्दु B₂ से, B₂D || B₃C खींचिए।
• बिन्दु D से, DE || CA खींचिए।
  तब AEBD अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(frac{2}{3}\) गुनी है।

प्रश्न 23.
नीचे दी गई सारणी में 280 लोगों का वेतन मान दर्शाया गया है: (4)

उपर्युक्त आँकड़ों से माध्यक वेतन मान ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा
निम्नलिखित बंटन को ‘से कम प्रकार’ के बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए: (4)

हल:

\(\frac{N}{2}=\frac{280}{2}\) = 140
माध्यक वर्ग = 10 – 15
f = 133
c = 49
h = 5.
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{N}{2}-c}{f}\right)\) × h
= 10 + \(\left(\frac{140-49}{133}\right)\) × 5
= 10 + \(\frac{91 \times 5}{133}\)
= 10 + \(\frac{455}{133}\)
= 10 + 3.42 = 13.42
अतः लोगों का माध्यक वेतन ₹ 13.42 है।