RBSE 10th Maths Model Paper Set 6 with Answers in Hindi

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RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 6 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।
(i) 2.\(\overline{35}\) है एक:
(अ) पूर्णांक
(ब) परिमेय संख्या
(स) अपरिमेय संख्या
(द) प्राकृत संख्या
उत्तरः
(ब) परिमेय संख्या

(ii) यदि α और β बहुपद x² + 2x + 1 के शून्यक हैं, तो \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) बराबर है:
(अ) – 2
(ब) 2
(स) 0
(द) 1
उत्तरः
(अ) – 2

(iii) k = ……. के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 तथा 6x + ky = – 16 संपाती रेखाओं को व्यक्त करता
(अ) – \(\frac{1}{2}\)
(ब) \(\frac{1}{2}\)
(स) 2
(द) – 2
उत्तरः
(द) – 2

(iv) द्विघात समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 के मूल हैं :.
(अ) वास्तविक तथा बराबर
(ब) वास्तविक तथा भिन्न
(स) वास्तविक नहीं
(द) वास्तविक
उत्तरः
(स) वास्तविक नहीं

(v) उस समान्तर श्रेणी, जिसका nवाँ पद a_n = (3n + 7) है, का सार्वअंतर है:
(अ) 3
(ब) 7
(स) 10
(द) 6
उत्तरः
(अ) 3

(vi) रेखाखण्ड AB को बिन्दु C किस अनुपात में विभाजित करता है?

(अ) 4 : 5
(ब) 3 : 2
(स) 6 : 9
(द) 2 : 1
उत्तरः
(द) 2 : 1

(vii) यदि बिंदुओं A(10, – 6) तथा B(k, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिन्दु (a, b) है, तथा a – 2b = 18 है, तो k का मान है-
(अ) 30
(ब) 22
(स) 4
(द) 40
उत्तरः
(ब) 22

(viii) 2 sin² 60° x 3 cot² 30° – tan 45° का मान होगा
(अ) \(\frac{2}{19}\)
(ब) \(\frac{12}{19}\)
(स) \(\frac{19}{2}\)
(द) इनमें से कोई नहीं।
उत्तरः
(स) \(\frac{19}{2}\)

(ix) tan 36° tan 17° tan 54° tan 73° होगा
(अ) 0°
(ब) 10
(स) 2°
(द) 3°
उत्तरः
(ब) 10

(x) दिए गए सूत्र x̄ = a + h\(\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right)\) में, u का मान होगा-
(अ) h(x_i – a)
(ब) \(\frac{x_{i}-a}{h}\)
(स) \(\frac{a-x_{i}}{h}\)
(द) \(\frac{x_{i}+a}{h}\)
उत्तरः
(ब) \(\frac{x_{i}-a}{h}\)

(xi) चार छात्रों के सांख्यिकी में प्राप्तांक 53, 75, 42, 70 हैं। उनके प्राप्तांकों का समान्तर माध्य है
(अ) 42
(ब) 64
(स) 60
(द) 56
उत्तरः
(स) 60

(xii) ताशों की एक गड्डी में से एक ताश निकालने पर लाल रंग का मुख कार्ड होने की प्रायिकता है
(अ) \(\frac{3}{26}\)
(ब) \(\frac{3}{13}\)
(स) \(\frac{2}{13}\)
(द) \(\frac{1}{2}\)
उत्तरः
(अ) \(\frac{3}{26}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो
(i) रैखिक समीकरण s – 1 = 3 और s/3 + t/2 = 6 का हल s = ………. तथा 1 = ……….. है। (1)
उत्तरः
s = 9, t = 2

(ii) √8, √18, √32 ……….. का अगला पद …… है। (1)
उत्तरः
√50

(iii) 4 सेमी त्रिज्या के एक वृत पर 6 सेमी त्रिज्या के एक संकेंद्रीय वृत के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की लंबाई की माप ………………… होगी। (1)
उत्तरः
√25 सेमी

(iv) किसी बिन्दु की ग-अक्ष से दूरी उस बिन्दु का ………….. कहलाता है। (1)
उत्तरः
x-निर्देशांक

(v) tan 1° tan 2° tan 3° ……….. tan 89° का मान …………… होगा। (1)
उत्तरः
1

(vi) प्रथम पाँच प्राकृत संख्याओं का माध्य ………………… है। (1)
उत्तरः
3

प्रश्न 3.
(i) 10010 को इसके अभाज्य गुणनखण्ड को गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल:
दिया गया पूर्णांक 10010 है।
∴ 10010 = 2 × 5 × 7 × 11 × 13

(ii) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यांकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः -3 तथा 2 है।
हल:
यदि α और β द्विघात f(x) के शून्यक हो, तो बहुपद f(x) निम्न प्रकार लिखा जाता है :
f(x) = x² – (α + β)x + αβ
प्रश्नानुसार,
∴ α + β = – 3 तथा αβ = 2
अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद
f(x) = x² – (-3) x + 2
= x² + 3x + 2
अर्थात् द्विघात बहुपद x² + 3x + 2 है।

(iii) बहुपद 452 – 4s + 1 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया हुआ बहुपद = 4s² – 4s + 1
= (25)² – 2 (2s). 1 + (1)²
= (2s – 1)²
बहुपद f(x) के शून्यक ज्ञात करने के लिए
⇒ (2s – 1)² = 0
यदि (2s – 1)² = 0 ⇒ 2s – 1 = 0
यहाँ बहुपद के शून्यक समान हैं।
अत: बहुपद के शून्यक \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}\) हैं।

(iv) a का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निकाय ax + 2y = 5 तथा 3x + y = 1 का कोई भी हल नहीं होगा।1
हल:
दिये गये समीकरणों के लिए,
a₁ = a, b₁ = 2, C₁ = – 5, a₂ = 3, b₂ = 1 तथा c₂ = – 1
यहाँ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{a}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{2}{1}\)
तथा \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-1}=\frac{5}{1}\)
कोई भी हल नहीं होने के लिए प्रतिबन्ध
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
इसलिए, \(\frac{a}{3}=\frac{2}{1} \neq \frac{5}{1}\)
यह प्रतिबन्ध सत्य होगा यदि।
\(\frac{a}{3}=\frac{2}{1}\)
∴ a = 2 × 3 = 6
अत: a = 6 होने पर निकाय का कोई हल नहीं होगा।

(v) यदि द्विघात समीकरण x² + 2x – p = 0 का एक मूल – 2 हो, तोp का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ x² + 2x – p = 0 का एक मूल-2 है।
∴ (- 2)² + 2 (- 2) – p = 0
⇒ 4 – 4 – p = 0
⇒ p = 0

(vi) द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल 3 व \(\frac{1}{3}\) हों।
हल:
मूलों का योग = 3 + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{10}{3}\)
मूलों का गुणनफल = 3 × \(\frac{1}{3}\) = 1
∴ अभीष्ट द्विघात समीकरण,
x² – \(\frac{10}{3}\)x + 1 = 0
⇒ 3x² – 10x + 3 = 0

(vii) यदि कोई बिन्दु वृत पर स्थित है, तो इस बिन्दु से होकर जाने वाली वृत की कितनी स्पर्श रेखाएँ होती हैं? ।
हल:
1

(viii) उस त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (7, 5), (5, 7) तथा (-3, 3) हैं।
हल:
माना Δ के केन्द्रक (x, ) हैं।
तब x = \(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\) = \(\frac{7+5-3}{3}\) = 3
तब y = \(\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\) = \(\frac{5+7+3}{3}\) = 5
केन्द्रक = (3, 5)

(ix) मान निकालिए 2 tan² 45° + cos2 30° … sin² 60° :
हल:
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
= 2(1)² + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) – \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) = 2

(x) मान निकालिए cosee 31° ….. sec 59° :
हल:
cosec 31° – sec 59°
= cosec (90० – 59०) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
[∵ cosec (90° – θ)]
= sec θ = 0

(xi) 10 व्यक्तियों के भार का समान्तर माध्य 45.6 किग्रा है। उनके भारों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ 10 व्यक्तियों के भार का समान्तर माध्य = 45.6 किग्रा
∵ 10 व्यक्तियों के भारों का योगफल = 45.6 × 10 = 456 किग्रा

(xii) यादृच्छिक रूप से चुने गए एक ऐसे वर्ष में, जो अधिवर्ष न हो, 53 रविवार होने की क्या प्रायिकता होगी? 1
हल:
एक वर्ष 52 सप्ताह तथा 1 दिन होता है। यह शेष 1 दिन सप्ताह के 7 दिनों में से कोई भी 1 हो सकता है। 53 रविवार होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{7}\)

खण्ड-(ब)

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
माना कि √3 एक परिमेय संख्या है।
हम ऐसी सह अभाज्य संख्याएँ a और b ज्ञात करते हैं कि
√3 = \(\frac{a}{b}\) [जहाँ b ≠ 0]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
3 = \(\frac{a^{2}}{b^{2}}\) या a² = 3b²
अतः 3, a² को विभाजित करता है।
⇒ 3, a को विभाजित करेगा।
माना कि a = 3c(जहाँ c कोई पूर्णांक है)
⇒ a² = 9c²
⇒ 3b² = 9c² [∵ a² = 3b²]
⇒ b² = 3c²
अतः 3, b² को विभाजित करता है।
⇒ 3, b को विभाजित करेगा।
अतः a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 3 है।
परन्तु यह इस तथ्य का विरोध करता है कि a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। अतः हमारी परिकल्पना गलत है।
अतः √3 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 5.
यदि द्विघात बहुपद (a² + 9) x² + 13x + 6a का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम है तो a का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
माना एक शून्यक α है, तब दूसरा \(\frac{1}{\alpha}\), इनका

⇒ α × \(\frac{1}{\alpha}\) = \(\frac{6 a}{a^{2}+9}\)
⇒ α² + 9 = 6a ⇒ a² – 6a + 9 = 0
⇒ (a – 3)² = 0 ⇒ a = 3

प्रश्न 6.
दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। रैखिक समीकरण युग्म बनाकर प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए। (2)
हल:
माना बड़ा कोण x° तथा छोटा कोण y” है।
कोण x° और y° एक-दूसरे के संपूरक हैं।
∴ x + y = 180° ……. (i)
बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है।
∴ x = y + 18° ………(ii)
समीकरण (ii) से x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
⇒ y + 18° + y = 180°
⇒ 2y + 18° = 180°
⇒ 2y = 180° – 18° = 162°
∴ y = \(\frac{162}{2}\) = 81°
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
x = 81° + 18° = 99°
अतः बड़ा कोण 99° और छोटा कोण 81° है।

प्रश्न 7.
द्विघात समीकरण x² – 5x – 7 = 0, का मूल ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी समीकरण x² – 5x – 7 = 0 में,
a = 1, b = – 5, c = – 7
अतः श्रीधराचार्य के सूत्र से

अतः समीकरण के दो अभीष्ट मूल x = \(\frac{5+\sqrt{53}}{2}\)
और x = \(\frac{5-\sqrt{53}}{2}\) है|

प्रश्न 8.
जाँच कीजिए कि क्या नीचे दी गई स्थिति में सम्बद्ध संख्याओं की सूची समान्तर श्रेणी में है?
“किसी बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का \(\frac{1}{4}\) भाग बाहर निकाल देता है।”
हल:
माना कि एक बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा को x मात्रक से तथा प्रत्येक पम्प के बाद हवा की शेष मात्रा को a₂, a₃, a₄ से व्यक्त किया जाता है। प्रश्न के अनुसार,

और आगे भी इसी प्रकार से…
अब सार्वअन्तर,

यहाँ a₃ – a₂ ≠ a₂ – a₁
∵ सार्वअन्तर समान नहीं है।
∴ दी गई स्थिति समान्तर श्रेणी का रूप नहीं है।

प्रश्न 9.
समान्तर श्रेणी √2, √8, √18, √32,… का सार्वअन्तर तथा 5 वाँ पद ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दी गई समान्तर श्रेणी √2, √8, √18, √132,…
यहाँ a₁ = √2 , a₂ = √8, a₃ = √18, a₄ = √32
दो क्रमागत पदों का अन्तर:
d = a₂ – a₁ = √8 – √2 = √2(√4 – 1)
= √2(2 – 1) = √2
अतः सार्वअन्तर d = √2
तब 5वाँ पद a₅ = 4वाँ पद + सार्वअन्तर
= √32 + √2
= √2(√16 + 1)
= 5√2 = √25 × √2 = √50

प्रश्न 10.
दिए गए वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए, जब वृत्त का केन्द्र अज्ञात हो। (2)
हल:
दिया है: एक वृत्त की परिधि पर स्थित बिन्दु P है। केन्द्र अज्ञात है।
रचना के चरण:

• बिन्दु P से जीवा PQ खींची।
  
• जीवा के एक वृत्तखण्ड में वृत्त पर कोई बिन्दु R लेकर RP और RQ को मिलाया।
• जीवा PQ पर ∠QPB = ∠PRO इस प्रकार बनाया कि चाप PQ वाला वृत्तखण्ड इसका एकान्तर वृत्तखण्ड हो।
• इसे विपरीत दिशा में A तक बढ़ाया। अतः AB अभीष्ट स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 11.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें भुजा BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो। तब एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∠ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{3}{4}\) गुनी हों। (2)
हल:
BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105°
∠C= 180° – (∠B + ∠A)
= 180° – (45° + 105°)
= 180° – 150° = 30°
रचना के चरण:

• BC = 7 सेमी की रेखा खींची।
  
• बिंदु B पर 45° तथा बिंदु C पर 30° का कोण बनाया। यह एक-दूसरे को A पर काटते हैं।
• बिंदु B पर एक न्यून कोण बनाया।
• कोण किरण को चार सामान भागों B₁ B₂, B₃ और B₄ पर विभाजित किया।
• B₄ को C पर मिलाएँ।
• बिंदु B₃ से B₄C के समानान्तर रेखा खींची जो BC को C’ पर काटती है।
• C से AC के समानान्तर CA’ रेखा खींचा जो AB को A’ पर काटती है।
• ∆A”C’ अभीष्ट त्रिभुज है। जिसमें
  A’B = \(\frac{3}{4}\) AB.

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए: \(\frac{\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}+\frac{\cot ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}\) = 1
हल:

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए: \(\frac{\cot \theta+{cosec} \theta-1}{\cot \theta-{cosec} \theta+1}\) = \(\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\)
हल:

प्रश्न 14.
गणित की एक परीक्षा में 30 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन निम्नलिखित है :
im – 10
इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी सारणी से स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारम्बारता 7 है।
अत: 7 के संगत वर्ग अन्तराल 40 – 55 है।
अत: बहुलक वर्ग 40 – 55 होगा।
∴ l = 40, f_o = 3, f₁ = 7, f₂ = 6 तथा h = 15
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 40 + \(\left(\frac{7-3}{2 \times 7-3-6}\right)\) × h
= 40 + \(\frac{4 \times 15}{14-9}\)
= 40 + \(\frac{4 \times 15}{5}\)
= 40 + 12 = 52
अतः बहुलक = 52

प्रश्न 15.
नीचे दी गई सारणी में 280 लोगों का वेतन मान दर्शाया गया है: (2)

उपर्युक्त आँकड़ों से माध्यक वेतन मान ज्ञात कीजिए।
हल:

\(\frac{N}{2}=\frac{280}{2}\) = 140
यहाँ माध्यक वर्ग = 10 – 15
f = 133, c.f. = 49, h = 5
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{N}{2}-c \cdot f}{f}\right)\) × h
= 10 + \(\left(\frac{140-49}{133}\right)\) × h
= 10 + \(\frac{91 \times 5}{133}\)
= 10 + \(\frac{455}{133}\)
= 10 + 3.42 = 13.42
अतः लोगों का माध्यक वेतन ₹ 13.42 हजार है।

प्रश्न 16.
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि संख्याओं 1, 2, 3, 4 …… 35 से यादृच्छया चुनी गई एक संख्या 7 का गुणज है। (2)
हल:
∵ चयनित संख्या दी हुई 35 संख्याओं में से कोई भी एक संख्या हो सकती है।
∴ प्रारम्भिक घटनाओं की कुल संख्या = 35 चुनी गई संख्या 7 का गुणज होगी यदि वह 7, 14, 21, . 28, 35 में कोई एक संख्या हो।
∴ दी घटना के अनुकूल परिणाम = 5
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{5}{35}\) = \(\frac{1}{7}\)

प्रश्न 17.
यदि किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग 4n-n है, तो इसका सार्वान्तर तथा n वाँ पद ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
समान्तर श्रेणी 34, 32, 30, … 10 में पदों की संख्या तथा पदों का योग ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
∵ समान्तर श्रेणी प्रथम n पदों का योगफल
S_n = 4n – n²
n = 1 रखने पर,
S₁ = 4 × 1 – 1² = 3
∴ प्रथम पद a₁ = S₁ = 3
n = 2 रखने पर,
S₂ = 4 × 2 – 2²
= 8 – 4 = 4
द्वितीय पद a₂= S₂ – S = 4 – 3 = 1
अतः सार्वअन्तर d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2
∵ S_n = 4n – n²
और S_{n – 1} = 4(n – 1) – (n – 1)²
= (n – 1) {4 – n + 1}
= (n – 1) (5 – n)
= 5n – n² – 5 + n
= 6n – n² – 5
अब a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
= 5 – 2n
सार्वअन्तर d= – 2
तथा nवाँ पद a_n= 5 – 2n

प्रश्न 18.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, क्रमशः (- 4, – 2); (- 3, – 5); (3, – 2) और (2, 3) हैं।
अथवा
यदि बिन्दु (x, y), (-5, 7) और (-4, 5) सरेख हैं तो सिद्ध कीजिए – 2x + y + 3 = 0
हल:
माना कि चतुर्भुज ABCD के शीर्षों के निर्देशांक A(-4, -2), B(-3, – 5), C(3, – 2) और D(2, 3) हैं। AC को मिलाने पर चतुर्भुज ABCD, दो त्रिभुजों ABC’ और CDA में विभाजित हो जाता है।
∆ ABC में,
3, 13 = 3
यहाँ x₁ = – 4, x₂ = – 3, x₃ = 3
y₁ = – 2, y₂ = – 5, y₃ = – 2

∆ABC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [(-4)(-5 + 2) + (-3)(-2 + 2) + 3(- 2 + 5)]
= \(\frac{1}{2}\) [12 + 0+ 9]
= \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक
∆CDA में,
x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = – 4
y₁ = – 2, y₂ = 3, y₃ = – 2
∆CDA का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [3(3 + 2) + 2(-2 + 2) + (-4)(-2-3)]
= \(\frac{1}{2}\) [15 + 0 + 20]
= \(\frac{35}{2}\) वर्ग मात्रक
अब, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल =
= (∆ABC का क्षेत्रफल) + (∆CDA का क्षेत्रफल)
= \(\frac{21}{2}+\frac{35}{2}\) = \(\frac{21+35}{2}\)
= \(\frac{56}{2}\) = 28 वर्ग मात्रक
अतः अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि : 2(sin⁶θ + cos⁶θ) – 3(sin⁴θ + cos⁴θ) + 1 = 0
अथवा
सिद्ध कीजिए: \(\frac{{cosec} \theta}{{cosec}-1}+\frac{{cosec} \theta}{{cosec} \theta}\) = 2 sec²θ
हल:

प्रश्न 20.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए: (3)

अथवा
70 पैकेटों में, कॉफी का भार निम्नलिखित सारणी में दर्शाया गया है:

बहुलक भार निर्धारित कीजिए।
हल:

माध्य (x̄) = \(\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}\)
= \(\frac{499}{40}\)
= 12.48
अतः एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रह उनका माध्य = 12.48 दिन है।

प्रश्न 21.
2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹160 था। एक महीने बाद 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए। (4)
अथवा
क्या 3x + 2y = 4 तथा 2x + y = 5 रैखिक समीकरणों के युग्म संगत/असंगत हैं? यदि संगत हैं, तो उनके हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
माना एक दिन 1 किग्रा सेब का मूल्य ₹ x और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ y था।
दिया है : 2 किग्रा सेब तथा 1 किग्रा अंगूर क मूल्य ₹160 है।
∴ 2x + y = 160
1 महीने बाद 4 किग्रा सेब तथा 2 किग्रा अंगूर क मूल्य ₹ 300 है।
∴ 4x + 2 = 300

बीजगणितीय निरूपण:
2x + 1 = 160 ……. (1)
तथा 4x + 2y= 300 ……. (2)

ज्यामितीय निरूपण:
समीकरण (1) से,
2x + y = 160
⇒ y = 160 – 2x
x व y के विभिन्न मानों के लिए सारणी इस प्रकार है।

समीकरण (2) से,
4x + 2y= 300
⇒ 2(2x + y) = 300
⇒ 2x + y = 150
⇒ 150 – 2x
x व y के विभिन्न मानों के लिए सारणी इस प्रकार है।

अब बिन्दुओं (0, 160), (50, 60) तथा (75, 10)
का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 2x + y = 160 का आलेख एक सरल AB प्राप्त होती है। .
पुनः बिन्दुओं (0, 150), (50, 50) तथा (100, – 50) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 4x + 2yy = 300 का आलेख एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।
अतः सरल रेखाएँ AB व CD दिए गये कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप है। आलेख से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 22.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 सेमी तथा 3 सेमी लम्बाई की हों।
फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{5}{3}\) गुनी हों। (4)
अथवा
4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना
कीजिए जिसकी भुजाएँ दिये गये त्रिभुज की संगत भुजा की \(\frac{3}{5}\) गुनी हों।
हल:
दिया है: समकोण त्रिभुज जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 3 सेमी व 4 सेमी हैं।
रचना के चरण:

• सर्वप्रथम रेखाखण्ड BC = 4 सेमी खींचा।
• BC के बिन्दु B से BC पर 90° का कोण बनाती हुई BY रेखा खींची और उसमें से BA = 3 सेमी काटी।
• AC को मिलाया।
  इस प्रकार ∆ ABC प्राप्त होता है।
• BC के बिन्दु B पर BC के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई BX किरण खींची।
• किरण BX पर पाँच बिन्दु B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, इस प्रकार अंकित किए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅ हो।
  
• बिन्दु B, और ‘C’ को मिलाया।
• B₅ से B₃C के समान्तर एक रेखा B₅C खींची जो BC को बढ़ाने पर C’ पर प्रतिच्छेद करे।
• पुनः C’ से CA के समान्तरं एक रेखा C’A’ खींची जो BY पर A’ पर मिलती है। ∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{5}{3}\) गुनी हैं।
  औचित्य (उपपत्ति):
  ∆B₅C’ B तथा ∆B₃CB में,
  ∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
  ∠C’B₅B = ∠CB₃B (रचना से)
  ∴ ∆B₅C’B ~ ∆B₃CB, [A-A समरूपता कसौटी से]
  ∴ समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
  

प्रश्न 23.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में किग्रा प्रति हेक्टेअर गेहूँ का उत्पादन दर्शाती है: (4)

इस बंटन को ‘से अधिक’ प्रकार के बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए।
अथवा
नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शाती है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

हल:
दिए गए बंटन को ‘से अधिक प्रकार के बंटन में बदलना

(i) अब बिन्दुओं A(50, 100); B(55, 98); C(60, 90); D(65, 78); E(70, 54) और F(75, 16) को ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं।
(ii) इन बिन्दुओं को वक्र के रूप में हाथ से जोड़कर तोरण प्राप्त करते हैं।

अतः ABCDEF अभीष्ट तोरण है।