RBSE 10th Maths Model Paper Set 7 with Answers in Hindi

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RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 7 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए। (1)

(i) 144 तथा 198 का महत्तम समापवर्तक है :
(अ) 9
(ब) 18
(स) 6
(द) 12
उत्तरः
(ब) 18

(ii) यदि बहुपद (3x² + 8x + k) का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम है, तो k का मान है : (1)
(अ) 3
(ब) – 3
(स) \(\frac{1}{3}\)
(द) \(\frac{-1}{2}\)
उत्तरः
(अ) 3

(iii) यदि रैखिक समीकरणों का कोई युग्म संगत हो, तो इसके आलेख की रेखाएँ होंगी : (1)
(अ) समांतर
(ब) सदैव संपाती
(स) प्रतिच्छेदी या संपाती
(द) सदैव प्रतिच्छेदी
उत्तरः
(स) प्रतिच्छेदी या संपाती

(iv) समीकरण ax² + bx + c = 0, a#0 के मूल वास्तविक नहीं होंगे यदि : (1)
(अ) b² < 4ac
(ब) b² > 4ac
(स) b² = 4ac
(द) b = 4ac
उत्तरः
(अ) b² < 4ac

(v) एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 5 है तथा अंतिम पद 45 है। यदि सभी पदों को योगफल 400 हो, तो पदों की संख्या है: (1)
(अ) 20
(ब) 8
(स) 10
(द) 16
उत्तरः
(द) 16

(vi) चित्र में, ∠POA का मान होगा (1)

(अ) 1350
(ब) 120°
(स) 110°
(द) 150°
उत्तरः
(ब) 120°

(vii) उस त्रिभुज जिसके शीर्ष बिंदु (0, 4), (0, 0) तथा (3, 0) हैं का परिमाप है : (1)
(अ) 7 + √5
(ब) 5
(स) 10
(द) 12
उत्तरः
(द) 12

(viii) यदि AABC का LC समकोण है, तो cos (ZA + ZB) का मान है : (1)
(अ) 0
(ब) 1
(स) \(\frac{1}{2}\)
(द) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
उत्तरः
(अ) 0

(ix) यदि cos A = \(\frac{12}{13}\), तो cot A का मान होगा। (1)
(अ) 12/5
(ब) 5/12
(स) 12/15
(द) 13/12
उत्तरः
(अ) 12/5

(x) निम्न बंटन पर विचार कीजिए-

माध्यक वर्ग और बहुलक वर्ग की निम्न सीमाओं का योग है: (1)
(अ) 15
(ब) 25
(स) 30
(द) 35
उत्तरः
(ब) 25

(xi) एक बंटन का माध्य तथा माध्यक क्रमशः 14 तथा 15 है। अतः बहुलक का मान होगा : (1)
(अ) 16
(ब) 17
(स) 7
(द) 13
उत्तरः
(ब) 17

(xii) 52 ताशों की एक गड्डी में से एक कार्ड निकाला जाता है। कार्ड का ईंट का इक्का न होना घटना E है। E के अनुकूल परिणामों की संख्या है: । (1)
(अ) 4
(ब) 13
(स) 48
(द) 51
उत्तरः
(द) 51

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो

(i) p = __________ के लिए समीकरण युग्म x + y + 2 = 0 और 4x + py + 8 = 0 का कोई हल नहीं है | (1)
उत्तरः
4

(ii) अनुक्रम 5, 7, 9, 11, …. का 12वाँ पद __________ (1)
उत्तरः
27

(iii) आकृति में त्रिभुज A’B’C’ त्रिभुज ABC के __________ है। (1)

उत्तरः
समरूप

(iv) किसी बिन्दु की x-अक्ष से दूरी उस बिन्दु का __________ कहलाता है। (1)
उत्तरः
y-निर्देशांक

(v) \(\frac{\cos 60^{\circ}+1}{\cos 60^{\circ}-1}\) का मान __________ होगा। (1)
उत्तरः
– 3

(vi) यदि 3, 4, 5, 17 और का माध्य 6 हो, तो x का मान __________ होगा। (1)
उत्तरः
1

प्रश्न 3.
(i) अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 96 और 404 का म. स. ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
404 = 2 × 2 × 101
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड = 2, 2
अत: म. स. = 2 × 2 = 4

(ii) एक द्विधात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यांकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 1 तथा \(\frac{1}{2}\) है। (1)
हल :
द्विघात बहुपद के शून्यक α और β है।
प्रश्नानुसार,. α + β = 1
तथा αβ = \(\frac{1}{2}\)
द्विघात बहुपद = x² – (α + β)x + αβ
= x² – (1)x + \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\)(2x² – 2x + 1)
= k (2x² – 2x + 1) [जहाँ k = 1/2 अचर पद]
अतः अभीष्ट समीकरण 2x² – 2x + 1 है।

(iii) द्विघात बहुपद 3x² – x – 4 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
बहुपद के शून्यक ज्ञात करने के लिए
3x² – x – 4 = 0
3x² – (4 – 3)x – 4 = 0
3x² – 4x + 3x – 4 = 0
x(3x – 4) + 1(3x – 4) = 0
(3x – 4) (x + 1) = 0
x = \(\frac{4}{3}\), -1
अत: बहुपद के शून्यक \(\frac{4}{3}\), और – 1 हैं।

(iv) k के किस मान के लिए समीकरण युग्म 2x + 3y = 7 और (k + 2)x – 3(1 – k)y = 5k + 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे। (1)
हल :
रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए,

⇒ – 3(5k + 1)= 21(1 – k)
⇒ – 15k – 3 = 21 – 21k
⇒ – 15k + 21k = 21 +3
⇒ 6k = 24
⇒ k = 4
अत: k = 4 पर इन समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(v) जाँच कीजिए कि क्या समीकरण x – 7x + 12 = 0 द्विघात समीकरण है। (1)
हल :
∵ दिए गए समीकरण में अधिकतम घात 2 है, यह समीकरण द्विघात व्यंजक की प्रदर्शित करता है।
अतः समीकरण x² – 7x + 12 = 0 एक द्विघातीय समीकरण है।

(vi) गुणनखण्ड विधि से द्विघात समीकरण 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0 के मूल ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
दिया गया द्विघात समीकरण है :
⇒ 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
⇒ \(\frac{16 x^{2}-8 x+1}{8}\) =0
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
अतः द्विघात समीकरण के मूल \(\frac{1}{4}\) या \(\frac{1}{4}\) हैं।

(vii) यदि कोई बिन्दु वृत के बाहर स्थित है, तो इस बिन्दु से होकर जाने वाली वृत की कितनी स्पर्श रेखाएं होती हैं? (1)
हल :
2

(viii) (a, b), (-a, – b) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
दिए गए बिन्दु : (a, b), (-a, – b)

(ix)
\(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 30^{\circ}}\) का मान निकालिए। (1)
हल :

(x) दिखाइए कि : tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° =1. (1)
हल :
L.H.S. = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° tan (90° – 48°) tan (90° – 23°)
= tan 48° tan 23° cot 48° cot 23°
= tan 48° tan 23° × \(\frac{1}{\tan 48^{\circ}} \times \frac{1}{\tan 23^{\circ}}\)
= 1 = R.H.S.

(xi) यदि किसी बंटन का माध्य 16 और बहुलक 13 हो, तो बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
∵ बहुलक = 3 × माध्यिका – 2 × माध्य
⇒ 13 = 3 (माध्यिका) – 2 × 16
⇒ 3 (माध्यिका) = 13 + 32 = 45
⇒ माध्यिका = 15

(xii) दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का योग 7 है। (1)
हल :
जब दो पासों को एक साथ फेंका जाता है तब सम्भावित परिणामों की संख्या = 6 × 6 = 36
दोनों पासों पर आने वाली ऐसी संख्याएँ जिनका योग 7 है : (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) और (6, 1)
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का योग 7 की प्रायिकता = \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

खण्ड – (ब)

प्रश्न 4.
संख्याओं 180, 72 व 252 का म. स. और ल. स. ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
संख्याओं के गुणनखण्ड करने पर

प्रश्न 5.
द्विघात बहुपद.f(x) = 3x² – x – 4 के शून्यक ज्ञात कीजिए। शून्यकों का योग तथा इसका गुणनफल भी ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
f (x) = 3x² – x – 4
= 3x² – 4x + 3x – 4
= x(3x – 4) + 1 (3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)
जब f (x) = 0
= (x + 1) (3x – 4) = 0
x = -1, \(\frac{4}{3}\)

शून्यकों का योग = – 1 + \(\frac{4}{3}=\frac{1}{3}\)
शून्यकों का गुणनफल = (-1) × \(\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\)

प्रश्न 6.
“एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3,800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1,750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
माना एक बल्ले का मूल्य ₹ x तथा एक गेंद का मूल्य ₹ y है।
∴ 7 बल्लों का मूल्य = ₹ 7x.
और 6 गेंदों का मूल्य = ₹ 6y

प्रश्नानुसार,
7x + 6y = 3800 …(i)
पुन: 3 बल्लों का मूल्य = ₹ 3x
और 5 गेंदों का मूल्य = ₹ 5y

प्रश्नानुसार,
3x + 5y = 1750 …(ii)
समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर,

y = 50
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x = 500
अतः एक बल्ले का मूल्य = ₹ 500
और एक गेंद का मूल्य = ₹ 50

प्रश्न 7.
द्विघात समीकरण 2x² – 7x + 3 = 0 के मूलों को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दिया गया द्विघात समीकरण है :
2x² – 7x + 3 = 0

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर
⇒ x – \(\frac{7}{4}=\pm \sqrt{\frac{25}{16}}\)
⇒ x – \(\frac{7}{4}=\pm \frac{5}{4}\)
अतः x = 3 (+ चिह्न लेने पर)
अत:: = \(\frac{1}{2}\) (- चिह्न लेने पर)
अत: अभीष्ट मूल 3 और \(\frac{1}{2}\) होंगे।

प्रश्न 8.
समान्तर श्रेणी \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}\),………….. का प्रथम पद तथा सार्वअन्तर लिखिए । (2)
हल :
दी गई A.P. = \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}\), ……………………..
प्रथम पद = \(\frac{1}{3}\)
सार्वन्तर = \(\left(\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\right)=\frac{5-1}{3}=\frac{4}{3}\)
अतः प्रथम पद = \(\frac{1}{3}\) तथा सार्वअन्तर = \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 9.
क्या समान्तर श्रेणी 1², 5², 7², 7³, … हैं ? यदि समान्तर श्रेणी है, तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दिया गया अनुक्रम 1², 5², 7², 7³, … ह
यहाँ a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 7³

दो क्रमागत पदों का अन्तर d :
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 7³ – 7² = 73 – 49 = 24
चूँकि दो क्रमागत पदों का अन्तर समान है।
अतः सार्वअन्तर d = 24
तथा दिया गया अनुक्रम एक समान्तर श्रेणी है।

प्रश्न 10.
2 सेमी त्रिज्या के वृत्त पर 5 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्री वृत्त खींचिए। बाह्य वृत्त पर लिए गए एक बिन्दु P से छोटे वृत्त पर दो स्पर्श-रेखाओं PA तथा PB की रचना कीजिए। PA की लम्बाई मापिए। (2)
हल :

रचना के चरण :

• एक 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा। अब वृत्त के केन्द्र O से एक 5 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचा।
• बाह्य वृत्त पर बिन्दु P लेकर उसे केन्द्र O से मिलाया।
• अब OP का लम्ब-अर्द्धक खींचते हैं, जो OP . को M पर काटता है।
• बिन्दु M को केन्द्र मानकर तथा OM त्रिज्या से वृत्त खींचते हैं, जो अंतः वृत्त को बिन्दु A व B पर काटता है।
• बिन्दु A व B को बिन्दु P से मिलाया। PA तथा PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं। PA = 4.5 सेमी।

प्रश्न 11.
आधार 8 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ इस समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की 15 गुनी हों।
हल :
माना कि आधार AB = 8 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी वाला एक समद्विबाहु ∆ARC है। (2)

रचना के चरण:

• रेखाखण्ड AB = 8 सेमी खींचा।
• रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक किया जो रेखाखण्ड AB को M बिन्दु पर काटता है।
• बिन्दु M को केन्द्र मानकर लम्ब समद्विभाजक में से 4 सेमी काटा, जिस पर बिन्दु C अंकित किया।
• AC, BC को मिलाकर त्रिभुज ABC प्राप्त किया।
• बिन्दु A पर AB के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींची।
• A₁ किरण पर तीन बिन्दु A₁, A₂, A₃, इस प्रकार अंकित किए कि AA₁ = A₁A₂, = A₂A₃ हों।
• बिन्दु A₂, और B को मिलाया।
• बिन्दु A₃ से A₂B के समान्तर एक रेखा A₃B’ खींचते हैं जो कि AB को आगे बढ़ाने पर B’ पर काटती है।
• B’ से BC के समान्तर एक रेखा B’C’ खींचते हैं जो AC को बढ़ाने पर C’ पर मिलती है।

अत: ∆AB’C’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की 1\(\frac{1}{2}\) गुनी हैं।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए :
\(\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}\) = sec θ – tan θ (2)
हल :

प्रश्न 13.
यदि cos 3A = sin (A – 34°) हो, जहाँ A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दिया है, cos 3A = sin(A – 34°)
⇒ cos 3A = cos[90° – (A.- 34°)]
⇒ 3A = 90° – (A – 34°)
⇒ 3A = 90° – A + 34°
⇒ 4A = 124°
⇒ A = 31°

प्रश्न 14.
निम्न बंटन का कल्पित माध्य मानकर माध्य x̄ ज्ञात कीजिए : (2)

हल :

समान्तर माध्य (x̄) = A + \(\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= 47.5 + \(\frac{465}{30}\) = 47.5 + 15.5 = 63

प्रश्न 15.
समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए (2)

हल :

समान्तर माध्य = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{1260}{50}\) = 25.2

प्रश्न 16.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा लाल है? (2)
हल :
लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4.

डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = 5 +8 +4 = 17
जब डिब्बे में से एक कंचा निकाला जाता है, तो सम्भावित कुल परिणामों की संख्या =17
निकाला गया कंचा लाल (R) होने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5.
अतः निकाला गया कंचा लाल हो, इसकी प्रायिकता

खण्ड – (स)

प्रश्न 17.
एक समान्तर श्रेणी में, a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
एक समान्तर श्रेणी में, a = 8, d = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए। (3)
हल :
दिया गया है, a = 5, d = 3 और अन्तिम पद (a_n) = 50
∵ अनुक्रम A.P. है और a_n = 50
⇒ a + (n – 1)d = 50
⇒ 5 + (n – 1)3 = 50
⇒ 5 + 3n-3 = 50
⇒ 3n = 50 + 3 – 5
⇒ 3n = 48
∴ n = \(\frac{48}{3}\) = 16
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)
= \(\frac{16}{2}\)(5 + 50) = 8 × 55 = 4400
अतःn = 16 तथा S_n = 440

प्रश्न 18.
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
K का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु A(2, 3), B(4, ) और C(6, – 3) सरेखी हैं। (3)
हल :
माना कि त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, – 1), B(2, 1) और C(0, 3) हैं। त्रिभुज की भुजा AB, BC और CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E व F हैं।

मध्य-बिन्दु D के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\)
= (1, 0)

मध्य-बिन्दु E के निर्देशांक = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\)
= (1, 2)

मध्य-बिन्दु F के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3-1}{2}\right)\)
= (0, 1)

∆DEF में, x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 0
y₁ = 0, y₂ = 2, y₃ = 1

∆DEF का क्षेत्रफल =
\(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0(0 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[1 + 1 – 0] = \(\frac{1}{2}\) × 2 = 1 वर्ग मात्रक।

∆ABC में, x₁ = 0, x₁ = 2, x₃ = 0
y₁ = – 1, y₂ = 1, y₃ = 3

AABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[0(1 – 3) + 2(3 + 1) + 0(-1 – 1)]

अतः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए : (1+ tan A – sec A) × (1 + tan A + sec A) = 2 tan A (3)
अथवा
(1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ – cosec θ) का मान ज्ञात कीजिए। (3)
हल :
L.H.S. = (1 + tamA – sec A) x (1 + tan A + sec A)
= {(1 + tan A) – sec A}{(1 + tan A) + sec A}
= (1 + tan A)² – sec² A
= 1 + tan² A + 2 tan A – sec² A
= sec² A + 2 tan A – sec² A
= 2 tan A = R.H.S.

प्रश्न 20.
किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। (3)

अथवा
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। (3)

हल :
माना स्पन्दन का कल्पित माध्य A = 75.5

माध्य (x̄) = A + \(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}\)
= 75.5 + \(\frac{12}{30}\) = 75.5 + 0.4 = 75.9
अतः महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 75.9

खण्ड – (द)

प्रश्न 21.
ग्राफ द्वारा ज्ञात कीजिए निम्न समीकरण युग्म 2x + 3y = 8 तथा 4x – 3y = 1 का हल नहीं है, अद्वितीय हल है अथवा अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। (4)
अथवा
क्या दी गई रैखिक समीकरण 2x + y – 6 = 0 तथा 4x – 2y – 4 = 0 के युग्म संगत/असंगत हैं ? यदि संगत हैं, तो उनके हल आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए। (4)
हल :
दिया गया समीकरण युग्म
2x + 3y = 8…(i) .
4x – \(\frac{3}{2}\)y = 1…(ii)
समीकरण (i) से,
2x + 3y = 8
⇒ y = \(\frac{8-2 x}{3}\)
x व y के विभिन्न भागों की सारणी इस प्रकार है।

सारणी-I

समीकरण (ii) से
4x – \(\frac{3}{2}\)y = 1
⇒ \(\frac{8 x-3 y}{2}\) = 1
⇒ 8x – 3y = 2
⇒ 3y = 8x – 2
⇒ y = \(\frac{8 x-2}{3}\)
x व y के विभिन्न भागों की सारणी इस प्रकार है।

सारणी-II

अब बिन्दुओं (1, 2), (- 2, 4), (7, – 2) और (-5, 6) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 2x + 3y = 8 का आलेख, रेखा AB तथा बिन्दुओं (1, 2), (-2, -6), (4, 10) और (-5, – 14) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 4x – \(\frac{3}{2}\)y = 1 का आलेख, रेखा CD प्राप्त होती है।

ये आलेख सरल रेखाएँ AB तथा CD बिन्दु P पर प्रतिच्छेदित होती हैं जिसके निर्देशांक (1, 2) हैं। अत: x = 1, y = 2 दिये गये समीकरण निकाय के अद्वितीय हल हैं।

प्रश्न 22.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और ∠ABC = 60° हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की = गुनी हों। (4)
अथवा
3 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 5 सेमी. त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। (4)
हल :
रचना के चरण :

• रेखाखण्ड BC = 6 सेमी खींचा।
• रेखाखण्ड BC के बिन्दु B पर 60° का कोण (∠CBX = 60°) बनाया।
• बिन्दु B को केन्द्र मानकर और 5 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो BK को A पर प्रतिच्छेद करता है।
• बिन्दु A और C को मिलाया। रेखाखण्ड BC के बिन्दु B के नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण BY खींची।
• किरण BY पर चार बिन्दु B₁, B₂, B₃, B₄ इस प्रकार अंकित किए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ हो। बिन्दु B₄ और C को मिलाया।
• बिन्दु B₃ से B₄C के समान्तर एक रेखा B₃C खींची जो BC को C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
• बिन्दु C’ से CA के समान्तर एक रेखा C’A’ खींची जो BA को A’ पर प्रतिच्छेद करती है।

अत: ∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी संगत भुजाएँ ∆MBC की संगत भुजाओं के \(\frac{3}{4}\) गुनी हैं।

औचित्य (उपपत्ति) :
∵ ∆BBC और ∆BBC में,
∠B = ∠B [उभयनिष्ठ]
∠C’BB = ∠CBB [संगत कोण]
∆B₃BC’ ~ ∆B₄BC [A-A समरूपता कसौटी से]
∴ समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होंगी।

इसी प्रकार ∆BC’A’ और ∆BCA समरूप होते
∴ उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होंगी।

और अर्थात् ∆A’BC’ की भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की गुनी हैं।

प्रश्न 23.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए

उपरोक्त आँकड़ों के लिए से कम’ प्रकार का तोरण खींचिए। इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ :

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए। (4)
हल :
‘से कम’ प्रकार का बंटन

अब बिन्दुओं A(38, 0), B(40, 3), C(42, 5), D(44, 9), E(46, 14), F(48,28), G(50,32) तथा H (52, 35) को ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं। इन बिन्दुओं को वक्र के रूप में हाथ से जोड़कर तोरण प्राप्त करते हैं।

अत: ABCDEFGH अभीष्ट तोरण है।
माध्यक ज्ञात करना :
∵ \(\frac{\Sigma f}{2}=\frac{N}{2}=\frac{35}{2}\) = 17.5

• Y-अक्ष पर 17.5 पर एक बिन्दु अंकित किया।
• इस बिन्दु से X-अक्ष के समान्तर रेखा खींची जो वक्र को बिन्दु P पर काटती है।
• बिन्दु P का भुज ज्ञात किया जो कि 46.8 है।

अतः अभीष्ट माध्यक = 46.8 किग्रा है।