RBSE 10th Maths Model Paper Set 8 with Answers in Hindi

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RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 8 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।
(i) 2√3 एक
(अ) पूर्णांक है
(ब) परिमेय संख्या है
(स) अपरिमेय संख्या है
(द) एक पूर्ण संख्या है
उत्तरः
(स) अपरिमेय संख्या है

(ii) यदि बहुपद kx² + 2x + 3 के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के बराबर है, तो k बराबर है
(अ) \(\frac{1}{3}\)
(ब) \(\frac{-1}{3}\)
(स) \(\frac{2}{3}\)
(द) \(\frac{-2}{3}\)
उत्तरः
(द) \(\frac{-2}{3}\)

(iii) आश्रित रैखिक समीकरणों के युग्म का एक समीकरण – 5x + 7y = 2 है। दूसरा समीकरण हो सकता है- 1
(अ) 10x + 14y + 4 = 0
(ब) – 10x – 14y + 4 = 0
(स) – 10x + 14y + 4 = 0
(द) 10x – 14y = – 4
उत्तरः
(द) 10x – 14y = – 4

(iv) द्विघात समीकरण 2x² – x – 6 = 0 के मूल है
(अ) – 2, \(\frac{3}{2}\)
(ब) 2, – \(\frac{3}{2}\)
(स) – 2, –\(\frac{3}{2}\)
(द) 2, \(\frac{3}{2}\)
उत्तरः
(ब) 2, – \(\frac{3}{2}\)

(v) निम्नलिखित में से कौन-सी समांतर श्रेणी नहीं है?
(अ) – 1:2, 0.8, 2.8, ….
(ब) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2,….
(स) \(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{9}{3}, \frac{12}{3}, \ldots\)
(द) \(\frac{-1}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{-3}{5}, \ldots\)
उत्तरः
(स) \(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{9}{3}, \frac{12}{3}, \ldots\)

(vi) आकृति में त्रिभुज POR और त्रिभुज PQ’R’ की संगत भुजाओं का अनुपात क्या है?

(अ) 3 : 2
(ब) 1 : 2
(स) 3 : 4
(द) 1 : 3
उत्तरः
(अ) 3 : 2

(vii) यदि बिंदुओं A(4, p) तथा B(1, 0) के बीच की दूरी 5 इकाई है, तो p का मान है-1
(अ) केवल 4
(ब) केवल – 4
(स) ± 4
(द) 0
उत्तरः
(स) ± 4

(viii) sin (45° + θ) – cos (45° – θ) बराबर है
(अ) 2 cos θ
(ब) 0
(स) 2 sin θ
(द) 1
उत्तरः
(ब) 0

(ix) यदि sec θ + tan θ = 7 है, तो sec θ – tan θ बराबर है-
(अ) \(\frac{1}{7}\)
(ब) 7
(स) 6
(ब) 49
उत्तरः
(अ) \(\frac{1}{7}\)

(x) निम्न बंटन के लिए वर्ग 30 – 40 की बारम्बारता है-

(अ) 3
(ब) 4
(स) 48
(द) 51
उत्तरः
(अ) 3

(xi) यदि वर्गीकृत आँकड़ों के वर्ग-अन्तरालों के मध्य बिन्दु हैं, इनकी संगत बारम्बारताएँ हैं तथा x̄ माध्य है, तो Σ(f_ix_i – x̄) बराबर है-
(अ) 0
(ब) – 1
(स) 1
(द) 2.
उत्तरः
(अ) 0

(xii) ताश की गड्डी में एक काले रंग के गुलाम न होने की प्रायिकता होगी
(अ) \(\frac{1}{26}\)
(ब) \(\frac{3}{4}\)
(स) \(\frac{11}{52}\)
(द) \(\frac{25}{26}\)
उत्तरः
(द) \(\frac{25}{26}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो –
(i) समीकरण ax + by + c = 0 दो चरों वाले रैखिक समीकरण का …………………… कहलाता है। (1)
उत्तरः
व्यापक रूप

(ii) समान्तर श्रेणी 4, 10, 16, 22, 28 … का सार्वअन्तर ………………. होगा। (1)
उत्तरः
6

(iii) वह बिन्दु जिस पर स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है ………………… कहलाता है। (1)
उत्तरः
स्पर्श बिन्दु

(iv) यदि तीन या तीन से अधिक बिन्दु एक सीधी रेखा पर स्थित हों तो उन्हें …. बिन्दु कहते हैं। (1)
उत्तरः
सरेखीय

(v) cot θ = \(\frac{3}{4}\) तो tan²θ का मान ………………….. है। (1)
उत्तरः
16/9

(vi) 6, 4, 9, 3, 5, 8 की माध्यिका ………………. है। (1)
उत्तरः
5.5

प्रश्न 3.
(i) किसी परेड़ में 612 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 48 सदस्यों वाले एक बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं, क्या है? (1)
उत्तरः
स्तम्भों में अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए 612 और 48 का म.स. ज्ञात करना है।

∴ म. स. (612, 48) = 12
अतः अधिकतम स्तम्भों की संख्या 12 है।

(ii) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 4 और 1 है। (1)
हल:
माना f(x) वह द्विघात बहुपद है जिसके शून्यकों
का योग 4 और गुणनफल 1 हैं।
f(x) = x² – (शून्यकों का योग) x + शून्यकों का गुणफल
∴ f(x) = k[x² – 4x + 1], (जहाँ k अचर पद है)
अतः अभीष्ट बहुपद x² – 4x + 1 है।

(iii) विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए: p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2 (1)
हल:
p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3
तथा g(x) = x² – 2
माना भागफल q(x) और शेषफल (x) है। यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्यम से,
p(x)= g(x).q(x) + r(x)
q(x) = \(\frac{p(x)}{g(x)}-\frac{r(x)}{g(x)}\)
= \(\frac{x^{3}-3 x^{2}+5 x-3}{x^{2}-2}-\frac{r(x)}{g(x)}\)
= (x – 3) – \(\frac{7 x-9}{x^{2}-2}\)

अतः भागफल q(x) = x – 3
शेषफल r(x) = 7x – 9

(iv) दिए गए समीकरणों के लिए a तथा B के वे मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए निम्न रैखिक समीकरण युग्म के एक अद्वितीय हल हो। (1)
2x + 3y = 7, 2αx + (α + β)y = 28
हल:
अद्वितीय हल के लिए शर्त

अतः दिये गये समीकरण युग्म के एक अद्वितीय हल के लिए 2α ≠ β हो।

(v) दी गई स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए_ “दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।”
हल:
माना पहला धन पूर्णांक x है तथा दूसरा क्रमागत धन पूर्णांक x + 1 है,
∴ पूर्णांकों का गुणनफल = x × (x + 1)
= x² + x
प्रश्नानुसार, x² + x = 306
x² +x – 306 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण:
x² + x – 306 = 0

(vi) दी गई द्विघात समीकरण x² – 5x – 7 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी समीकरण x² – 5x – 7 = 0 की व्यापक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 से दुलना करने पर,
a = 1, b = -5, c = – 7
अतः श्रीधराचार्य के सूत्र से समीकरण के दो अभीष्ट मूल होंगे:

(vii) एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 3 सेमी है, के केंद्र से 5 सेमी की दूरी पर स्थित बिंदु P से वृत्त की स्पर्श रेखाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

स्पर्श रेखा PA की लम्बाई = \(\sqrt{O P^{2}-A O^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}-3^{2}}\)
= \(\sqrt{25-9}\) = √16 = 4 सेमी

(viii) उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (- 2, 1) और (5, 4) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 3 के अनुपात में आन्तरिक विभाजित करता है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु (x, y) है, तब सूत्र

(ix) मान निकालिए: \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
हल:
sin 18°= sin (90° – 72°)
= cos 72° [∵ sin (90° – θ) = cos θ]
∴ \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\) = 1

(x) सिद्ध कीजिए : tan 15° tan 20° tan 70° tan 75° = 1
हल:
L.H.S.= tan 15° tan 20° tan 70° tan 75°
= tan 15° tan 20° tan (90° – 20°) tan (90° – 159)
= tan -15° tan 20° cot 20° cot 15°
= tan 15° tan 20° \(\frac{1}{\tan 20^{\circ} \tan 15^{\circ}}\)
= 1 = R.H.S.

(xi) निम्न चर मानों का माध्यक ज्ञात कीजिए: 37, 31, 42, 43, 46, 25, 39, 45, 32
हल:
दिए गए आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,
25, 31, 32, 37, 39, 42, 43, 45, 46
दिए गए आँकड़ों में 9 पद हैं।
∴ माध्यक = \(\frac{n+1}{2}\) वाँ पद = \(\frac{9+1}{2}\) वाँ पद
= 5वाँ पद = 39
अत: माध्यक = 39

(xii) 52 पत्तों की ताश की एक गड्डी में से सभी बादशाह, बेगम तथा इक्के निकाल दिए गए। शेष बचे पत्तों को भली प्रकार फेंटने के पश्चात् उनमें से एक पत्ता निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला पत्ता एक काले रंग का तस्वीर वाला पत्ता है।
हल:
52 पत्तों की गड्डी में बादशाह, बेगम तथा इक्के के पत्तों को निकालने के बाद शेष बचे पत्तों की संख्या = 52 – 12 = 40
∴ कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 40
शेष 40 पत्तों में तस्वीर वाले चार पत्ते हैं जिनमें काले रंग के तस्वीर वाले पत्तों की कुल संख्या = 2
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{2}{40}=\frac{1}{20}\)

खण्ड -(ब)

प्रश्न 4.
संख्या 6, 72 और 120 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा म.स. व ल.स. ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर, 6 = (2 × 3), 72 = 2³ × 3² तथा 120 = 2³ × 3 × 5 व 2¹ और 3¹ प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घातें हैं।
अतः म.स. (6, 72, 120) = 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6
2³ × 3² और 5¹ प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घातें हैं।
अतः ल.स. (6, 72, 120) = 2³ × 3² × 51 = 360

प्रश्न 5.
बहुपद p(x) = x³ + x² – x + 2, को g(x) = x² – 1 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल की विभाजन एल्गोरिथ्म से जाँच कीजिए। (2)
हल:
दिया ह p(x) = x³ + x² – x + 2
तथा g(x) = x² – 1
p(x) को g(x) से विभाजित करने पर

अतः भागफल q(x) = x + 1 तथा शेषफल
r(x) = 3
विभाजन एल्गोरिथ्म से
x³ + x² – x + 2 = (x² – 1) (x + 1) + r (x)
अथवा p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
x³ + x² – x + 2
= x³ – x + x² – 1 + r (x)
⇒ 2 = – 1 + r (x)
⇒ r (x) = 2 + 1 = 3 शेषफल

प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल कीजिए
2x – 9 = y – x + 7 = 5x – 6y .
हल:
दिये गये समीकरण
2x – 9 = y – x + 7 = 5x – 6y
दो-दो समीकरणों को लेने पर,
2x – 9 = y – x + 7 लेने पर,
⇒ 2x – y + r = 7 + 9
⇒ 3x – y = 16 …(i)
पुनः y – x + 7 = 5x – 6y लेने पर,
⇒ – 5x – x + y + 6y = – 7
⇒ 6x – 7y = 7 …(ii)
अब समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर, x= 7 तथा y = 5
अत: x = 7 और y = 5 दिये गये समीकरणों के अभीष्ट हल हैं।

प्रश्न 7.
दी गई समीकरण x – \(\frac{1}{x}\), x ≠ 0 के मूल ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दिया गया समीकरण है:

प्रश्न 8.
समान्तर श्रेणी – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2,… का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए और इसका पाँचवा पद लिखिए। (2)
हल:
समान्तर श्रेणी – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2,
यहाँ a₁ = – 1.2, a₂ = – 3.2, a₃ = – 5.2, a₄ = – 7.2
दो क्रमागत पदों का अन्तर d:
a₂ – a₁ = – 3.2 – (- 1.2) = – 2.0
a₃ – a₂ = – 5.2 – (-3.2) = – 2.0
a₄ – a₃ = – 7.2 – (-5.2) = – 2.0
∵ दो क्रमागत पदों का अन्तर समान (-2.0) है।
∴ सार्वअन्तर d = – 2.0
तब पाँचवाँ पद a₅ = चौथा पद a₄ + सार्वअन्तर d = – 7.2 + (-2) = – 9.2

प्रश्न 9.
दी गई समान्तर श्रेढियों में रिक्त खानों के पदों को ज्ञात कीजिए

हल:
∵ पहला पद a = – 4 और माना सार्वअन्तर d
6वाँ पद = a + (6 – 1)d
= a + 5d
∵ a + 5d = 6
⇒ – 4 + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ 5d = 10
∴ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
तब दूसरा पद a₂ = a + d = – 4 + 2 = – 2
तीसरा पद a₃ = a₂ + d = – 2 + 2 = 0
चौथा पद a₄ = a₃ + d = 0 + 2 = 2
पाँचवाँ पद a₅ = a₄ + d = 2 + 2 = 4
अतः रिक्त बॉक्सों में प्रविष्टियाँ – 2, [0], [2], [4] हैं।

प्रश्न 10.
किसी दिए गए वृत्त पर बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए, जब वृत्त का केन्द्र ज्ञात हो।
हल:
दिया है: वृत्त का केन्द्र O है तथा उसके बाहर एक बिन्दु P है।
रचना के चरण:

• PO को आपस में मिलाया। PO को समद्विभाजित किया। समद्विभाजक बिन्दु को M द्वारा अंकित किया।
• M को केन्द्र मानकर PM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो 0 केन्द्र वाले वृत्त को A और B बिन्दुओं । पर काटता है।
  
• PA और PB को मिलाया। अत: PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 11.
4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac{2}{3}\) गुनी हों।
हल:
माना ∆ABC है जिसमें AB = 5 सेमी, AC = 4 सेमी और BC = 6 सेमी।
रचना के चरण:

• एक रेखाखण्ड BC = 6 सेमी खींचा।
• B को केन्द्र मानकर 5 सेमी की त्रिज्या से एक चाप लगाया।
  
• C को केन्द्र मानकर 4 सेमी के बराबर त्रिज्या से चाप लगाया जो पहले चाप को A बिन्दु पर काटता है।
• AB और AC को मिलाइए।
  अत: ∆ABC वांछित त्रिभुज़ है।
• आधार BC के नीचे की ओर कोई न्यूनकोण बनाती किरण BX खींची।
• किरण BX पर तीन बिन्दु इस प्रकार अंकित किए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ हो।
• B₃C को मिलाया।
• B₃C के समान्तर B₂C’ रेखा खींची जो BC को C’ पर काटती है।
• बिन्दु C’ से CA के समान्तर C’A’ रेखा खींची अर्थात् ∠ACB = ∠A’C’B बनाया।
  इस प्रकार ∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac{2}{3}\) गुनी हैं।

प्रश्न 12.
यदि 4 tan θ = 3 है, तो \(\left(\frac{4 \sin \theta-\cos \theta+1}{4 \sin \theta+\cos \theta-1}\right)\) का मान ज्ञात कीजिए\
हल:
यदि 4 tan θ = 3
tan θ = \(\frac{3}{4}\)
लम्ब = 3, आधार = 4; कर्ण = ?
पाइथागोरस प्रमेय से,
(कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²
= (3)² + (4)²
= 9 + 16 = 25
कर्ण = 5
∴ sin θ = \(\frac{3}{5}\)

प्रश्न 13.
यदि x = r sin A cos C, y = r sin A sin C तथा z = r cos A है, तो सिद्ध कीजिए कि x² + y² + z² = r² है। (2)
हल:
दिया है,
x = r sin A cos C,y= r sin A sin C तथा
z = r cos A
L.H.S.= x² + y² + z²
= (r sin A cos C)² + (r sin A sin C)² + (r cos A)²
= r² sin² A cos² C + r² sin² A sin² C + r² cos² A
[∵ sin² C + cos² C = 1]
= r² sin² A (cos² C + sin² C)+ r² cos² A
= r² sin² A + r² cos²A
= r² (sin² A + cos² A)
= r²
∴ L.H.S.= R.H.S.

प्रश्न 14.
निम्न आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए: (2)

हल:
∵ अधिकतम बारंबारता = 12
∴ बहुलक वर्ग = 60 – 80
∴ l = 60, f₀ = 10, f₁ = 12, f₂ = 6, h = 20
अब बहुलक = l + \(\left[\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right]\) × h
= 60 + \(\left[\frac{12-10}{2 \times 12-10-6}\right]\) × 20
= 60 + \(\frac{2}{8}\) × 20 = 60 + 5 = 65

प्रश्न 15.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी शहर के 50 उपभोक्ताओं के बिजली के मासिक खर्च को दर्शाता है। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना भी कीजिए।

हल:
दिए गए आँकड़ों में सबसे अधिक बारम्बारता 18 है। इसके संगत वर्ग-अन्तराल 20-30 है।
∴ बहुलक वर्ग = 20 – 30
∴ l = 20, f₁ = 18, f₀ = 13, f₂ = 12 और h = 10
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 20 + \(\left(\frac{18-13}{2 \times 18-13-12}\right)\) × 10
= 20 + \(\frac{5}{36-25}\) × 10
= 20 + \(\frac{5}{11}\) × 10 = 20 + \(\frac{50}{11}\)
= 20 + 4.54 (लगभग) = 24.54
अत: बहुलक = 24.54

प्रश्न 16.
एक बच्चे के पास एक ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं- (2)

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A प्राप्त हो? (ii) D प्राप्त हो? .
हल:
पासे के फलकों की संख्या = 6
∴ कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 6

(i) ∵ दो फलकों पर A अक्षर अंकित है।
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
अत: पासे पर A आने की प्रायिकता = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) ∵ केवल एक फलक पर अक्षर D अंकित
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः पासे पर D आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)

खण्ड-(स)

प्रश्न 17.
यदि a_n = 3 + 4n तो दर्शाइए कि a₁, a₂, …, a_n, ….. से एक A.P. बनती है। साथ अथवा
एक A.P. में, a = 3, n = 8 और S_n = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, a_n = 3 + 4n …..(1)
n के विभिन्न मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित
करने पर, a₁ = 3 + 4(1) = 7
a₂ = 3 + 4(2) = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 15, …
सार्वअन्तर (a) = a₂ – a₁
= 11 – 7 = 4
a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
∵ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 4
अतः अनुक्रम 7, 11, 15, …. है।
चूँकि सार्वअन्तर समान है, अतः दिया गया अनुक्रम A.P. है।
यहाँ a = 7, d = 4 और n = 15
∵ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d].
∵ S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[2(7) + (15 – 1)4]
= \(\frac{15}{2}\)[14 + 56]
= \(\frac{15}{2}\) × 70
= 15 × 35 = 525
∴ S₁₅ = 525

प्रश्न 18.
बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
अथवा
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2, 3), (- 1, 0), (2, – 4) हैं।
हल:
माना कि C, D और E अभीष्ट बिन्दु हैं जो बिन्दुओं A (-2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

अब D, A और B का मध्य-बिन्दु है; C, A और D का मध्य-बिन्दु है; तथा E, D और B का मध्य-बिन्दु है।
∴ AC = CD = DE = EB
अब A और B के मध्य-बिन्दु D के निर्देशांक
= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\) = (0, 5)
A और D के मध्य-बिन्दु C के निर्देशांक
= \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)\) = \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)
D और B के मध्य-बिन्दु E के निर्देशांक
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{8+5}{2}\right)\) = \(\left(-1, \frac{13}{2}\right)\)
अत: AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक (0, 5), \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\) और \(\left(-1, \frac{13}{2}\right)\) है|

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए: \(\frac{\tan ^{2} A}{\tan ^{2} A-1}+\frac{{cosec}^{2} A}{\sec ^{2} A-{cosec}^{2} A}=\frac{1}{1-2 \cos ^{2} A}\) (3)
अथवा
यदि 3 cot A = 4 तो \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}\) का मान ज्ञात कीजिए। (3)
हल:

प्रश्न 20.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए। (3)

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
अथवा
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए (3)

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
उपर्युक्त सारणी में पौधों की संख्या और घरों की संख्या के मान अत्यधिक कम होने के कारण प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करेंगे:

∴ माध्य (x̄) = \(\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}\)
\(\frac{162}{20}\) = 8.1
अतः प्रति घर में पौधों की माध्य संख्या = 8.1 पौधे।

खण्ड-(द)

प्रश्न 21.
एक त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण 2y – x = 8 5y – x = 14 तथा y – 2x = 1 द्वारा प्रदत्त हैं। आलेख द्वारा इसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा
7 रबड़ और 5 पेन्सिलों का कुल मूल्य ₹ 58 है, जबकि 5 रबड़ और 6 पेन्सिलों का कुल मूल्य ₹ 56 है। इस समस्या को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कर ग्राफविधि से हल कीजिए। (4)
हल:
समीकरण 2y – x = 8 द्वारा निरूपित रेखा का आलेखन:
2y – x = 8
⇒ y = \(\frac{x+8}{2}\)
x = 0 रखने पर, y = \(\frac{0+8}{2}\) = 4
x = – 4 रखने पर, y = \(\frac{-4+8}{2}\) = 2
x = 2 रखने पर, y = \(\frac{2+8}{2}\) = 5

समीकरण 5y – x = 14 द्वारा निरूपित रेखा का आलेखनः
5y – x = 14
⇒ y = \(\frac{x+14}{5}\)
x = 1 रखने पर, y = \(\frac{1+14}{5}\) = 3
x = – 4 रखने पर, y = \(\frac{-4+14}{5}\) = 2
x = 6 रखने पर, y = \(\frac{6+14}{5}\) = 4

समीकरण y – 2x = 1 द्वारा निरूपित रेखा का आलेखन:
y – 2x = 1
y = 2x + 1
x = 1 रखने पर, y = 2 × 1 + 1 = 3
x = 0 रखने पर, y = 2 × 0 + 1 = 1
x = 2 रखने पर, y = 2 × 2 + 1 = 5

इस प्रकार प्राप्त x और ” के मानों को ग्राफ पेपर पर अंकित कर आलेख खींचते हैं।
सारणी I से प्राप्त बिन्दुओं को आलेखित करने पर समीकरण 2y – x = 8 को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त होती है।
सारणी II से प्राप्त बिन्दुओं को आलेखित करने पर समीकरण 5y – x = 14 को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त होती है।
सारणी III से प्राप्त बिन्दुओं को आलेखित करने पर समीकरण y – 2x = 1 को निरूपित करने वाली रेखा प्राप्त होती है।

आलेख से स्पष्ट है कि हमें ∆ ABC प्राप्त होता है। इसके शीर्षों के निर्देशांक A(- 4, 2), B(2, 5) तथा C(1, 3) है।
अत: PR और PQ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 22.
5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त की रचना कीजिए। वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु P से केन्द्र का उपयोग किए बिना वृत्त की स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए तथा औचित्य भी दीजिए। (4)
अथवा.
8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। (4)
हल:
दिया है: एक वृत्त और इसका बाह्य बिन्दु P है। वृत्त का केन्द्र अज्ञात है।
रचना के चरण:

• वृत्त की छेदक रेखा PAB खींची।
• PB को समद्विभाजित किया और इसके मध्य-बिन्दु M से MP = MB त्रिज्या का अर्द्धवृत्त खींचा।
• बिन्दु A पर लम्ब AC खींचा जो अर्द्ध वृत्त को C बिन्दु पर मिलता है।
  
• P को केन्द्र मानकर PC त्रिज्या के चाप खींचे जो वृत्त को Q और R पर प्रतिच्छेद करते हैं।
• PR और PQ को मिलाया। अब PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति): PB को व्यास मानकर अर्द्धवृत्त PCB खींचा और PB के बिन्दु A पर AC ⊥ PB पर,
PC² = PA.PB (∵ PC त्रिज्या के चाप R व Q हैं)
∴ PR² = PA.PB (PC = PR = PQ) और PQ² = PA.PB

प्रश्न 23.
निम्न आँकड़ों से:

(a) से कम प्रकार
(b) से अधिक प्रकार का तोरण खींचिए। उपरोक्त आँकड़ों का माध्यक भी ज्ञात कीजिए। .
अथवा
किसी मोहल्ले के एक शॉपिंग कॉम्प्लेक्स (shopping complex) की 30 दुकानों द्वारा अर्जित किए गए वार्षिक लाभों से निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त होता है।

उपर्युक्त आँकड़ों से एक ही अक्षों पर दोनों तोरण खींचिए। इसके बाद माध्यक लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) से कम प्रकार की संचयी बारम्बारता सारणी :

अब बिन्दुओं A(10, 8), B(20, 15), C(30, 20), D(40, 30) तथा E(50, 35) को ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं। इन बिन्दुओं को वक्र के रूप में हाथ से जोड़कर तोरण प्राप्त करते हैं।

(b) से अधिक प्रकार की संचयी बारम्बारता सारणी:

अब बिन्दुओं P(0, 35), Q(10, 27), R(20, 20), S(30, 15) तथा T(40, 5) को ग्राफ पेपर पर ‘अंकित करते हैं। इन बिन्दुओं को वक्र के रूप में हाथ से जोड़ कर तोरण प्राप्त करते हैं जोकि ऊपर ग्राफ में दिखाया गया है। यह ग्राफ पहले ग्राफ को बिन्दु M पर काटता है। x-अक्ष पर MN ⊥ OX खींचा।
ON = 25
अत: माध्यक = 25