RBSE 10th Maths Model Paper Set 9 with Answers in Hindi

Students must start practicing the questions from RBSE 10th Maths Model Papers Set 9 with Answers in Hindi Medium provided here.

RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 9 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।

(i) दो संख्याओं का म.स: 27 है तथा उनका ल.स. 162 है। यदि एक संख्या 54 है, तो दूसरी संख्या है : (1)
(अ) 36
(ब) 35
(स) 9
(द) 81
उत्तरः
(द) 81

(ii) एक तीन घात वाले बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या है: (1)
(अ) 1
(ब) 4
(स) 2
(द) 3
उत्तरः
(द) 3

(iii) समीकरण x = a और y = b का युग्म आलेखीय रूप से वे रेखाएँ निरूपित करता है, जो : (1)
(अ) समांतर हैं
(ब) (b, a) पर प्रतिच्छेद करती हैं
(स) संपाती हैं
(द) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं
उत्तरः
(द) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं

(iv) द्विघात समीकरण px² + qx + r = 0, p ≠ 0 के मूल समान होंगे यदि : (1)
(अ) p² < 4pr
(ब) p² > 4qr
(स) q² = 4pr
(द) p² = 4qr
उत्तरः
(स) q² = 4pr

(v) एक समान्तर श्रेणी – 15, – 11, – 7, ….. 49 का 9वाँ पद है : (1)
(अ) 32
(ब) 0
(स) 17
(द) 13
उत्तरः
(स) 17

(vi) आकृति में रेखाखण्ड AC के समान्तर रेखाखण्ड __________ है | (1)

(अ) BC
(ब) A’C’
(स) AB
(द) AC
उत्तरः
(ब) A’C’

(vii) बिंदु P(3, 4) की x-अक्ष से दूरी है : (1)
(अ) 3 इकाई
(ब) 4 इकाई
(स) 5 इकाई
(द) 1 इकाई
उत्तरः
(ब) 4 इकाई

(viii) यदि sin A + sin²A = 1, तब व्यंजक (cos²A + cos⁴A) का मान है : (1)
(अ) 1
(स) 2
(द) 3
उत्तरः
(अ) 1

(ix) cos² 12° + cos² 78° का मान होगा। (1)
(अ) 0
(ब) 1
(स) 2
(द) 3
उत्तरः
(स) 2

(x) निम्नलिखित बारम्बारता बंटन में 25 वर्ष से कम आयु के विद्यार्थियों की संख्या कितनी है ? (1)

(अ) 8
(ब) 6
(स) 17
(द) 25
उत्तरः
(द) 25

(xi) बारम्बारता बंटन के माध्य, मध्यिका तथा बहुलक के बीच निम्न सम्बन्ध है : (1)
(अ) बहुलक = 3 माध्य — 2 माध्यिका
(ब) बहुलक = 3 मध्यिका – 2 माध्य
(स) बहुलक = 2 माध्यिका – 3 माध्य
(द) बहुलक = 3 माध्यिका + 2 माध्य।
उत्तरः
(ब) बहुलक = 3 मध्यिका – 2 माध्य

(xii) कोई लड़की यह परिकलित करती है कि उसके द्वारा एक लाटरी में प्रथम पुरुस्कार जीतने की प्रायिकता 0.08 है। यदि 6000 टिकट बेचे गए हैं तो उस लड़की ने कितने टिकट खरीदे हैं ? (1)
(अ) 40
(ब) 240
(स) 480
(द) 750
उत्तरः
(स) 480

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो :

(i) दिए गए समीकरणों x + y = 14, x – y = 4 में x = __________ तथा y = __________ (1)
उत्तरः
x = 9, y = 5

(ii) 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 …. समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो पदान्तर का मान __________ होगा। (1)
उत्तरः
4

(iii) वक्र रेखा पर दो बिन्दुओं के बीच की दूरी __________ कहलाती है। (1)
उत्तरः
चाप

(iv) बिन्दु (- 5, – 3) __________ चतुर्थांश में स्थित है। (1)
उत्तरः
चतुर्थ

(v) यदि tan θ = √3 हो, तो θ का मान __________ होगा। (1)
उत्तरः
60°

(vi) संचयी बारम्बारता सारणी का उपयोग __________ ज्ञात करने में है। (1)
उत्तरः
माध्यक

प्रश्न 3.
(i) दिया है कि म.स. (135, 225) = 45, तो ल. स. (135, 225) ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
दिया है, म.स. (135, 225) = 45
∴ म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल
45 × LCM = 135 × 225
ल.स. = \(\frac{135 \times 225}{45}\) = 675
अतः ल.स. (LCM) (135, 225) = 675

(ii) द्विघात बहुपद 4u² + 8u के शून्यक ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया है-f(u) = 4u² + 8u बहुपद f(u) के शून्यक ज्ञात करने के लिए fu) शून्य होगा।
∴ f(u) = 0 = 4u(u + 2) = 0
= u = 0 या u + 2 = 0
= u = 0 या u = -2
अत: f(u) के शून्यक 0 और -2 है।

(iii) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 1 और 1 है। (1)
हल :
f(x) = x² – (शून्यकों का योग)x + शून्यकों का गुणनफल
माना f(x) वह द्विघात बहुपद है जिसके शून्यकों का योगफल 1 और गुणनफल 1 हैं।
∴ f(x) = x² – 1x +1
= x² – x + 1
अतः अभीष्ट बहुपद x² – x + 1 है।

(iv) α तथा β के वे मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए दी गई रैखिक समीकरण युग्म के अनन्त हल हों। (1)
2x + 3y = 7 तथा 2αx + (α + β)y = 28
हल :
दी गई समीकरणों से,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7
a₂ = 2a, b₂ = (α + β), c₂ = – 28
अनन्त हल के लिए शर्त

हल करने पर
∴ α = 4 और β = 8

(v) जाँच कीजिए कि क्या समीकरण x + \(\frac{3}{x}\) = x² द्वघात समीकरण हैं। (1)
हल :
दिया है : x + \(\frac{3}{x}\) = x²
\(\frac{x^{2}+3}{x}\) = x²
x² + 3 = x³
⇒ x³ – x² – 3 = 0
स्पष्ट है कि व्यंजक x³ – x² – 3 द्विघातीय व्यंजक नहीं है ।
अतः समीकरण x + \(\frac{3}{x}\) =x² द्विघातीय समीकरण नहीं है।

(vi) गुणनखण्ड विधि से द्विघात समीकरण 100x² – 20x + 1 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
दिया गया द्विघात समीकरण है :
⇒ 100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1)- 1(10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
x = \(\frac{1}{10}, \frac{1}{10}\)
अतः द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान होंगे।
∴ x = \(\frac{1}{10}\) और \(\frac{1}{10}\)

(vii) यदि कोई बिन्दु वृत के बाहर स्थित है, तो इस बिन्दु से होकर जाने वाले वृत की स्पर्श-रेखाएं कैसी होती हैं? (1)
हल :
माना दिए गए बिन्दु क्रमानुसार A(5, -2), B(6, 4) और C(7, – 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उपर्युक्त दूरियों से स्पष्ट है कि AB = BC = \(\sqrt{37}\)
अतः दिए गए बिन्दु समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(vii) जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, – 2), (6, 4) और (7, – 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं? (1)
हल :
समान

(ix) मान निकालिए : \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
हल :

(x) sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए। (1)
हल :
sin 67° + cos 75° = sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
[∵ sin (90° – θ) = cos θ ]
और cos (90° – θ) = sin θ
= cos 23° + sin 15°

(xi) किसी बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य और बहुलक क्रमशः 25.5 तथा 27.0 है। माध्यिका ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
∵ समान्तर माध्य – बहुलक = 3 (समान्तर माध्य – माध्यिका)
∴ 25.5 – 27 = 3(25.5 – माध्यिका)
⇒ 25.5 – माध्यिका = \(\frac{-1.5}{3}\) = – 0.5
⇒ माध्यिका = 25.5 + 0.5 = 26

(xii) 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई ताश की एक गड्डी में से यादृच्छया एक पत्ता निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता लाल रंग का बादशाह है। (1)
हल :
ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं तथा एक पत्ता 52 तरीकों से निकाला जा सकता है।
∴ कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 52
माना कि लाल रंग का बादशाह होने की घटना R है।
अत: घटना (R) के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
∴ P(R) = \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)

खण्ड-(ब)

प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा पूर्णांक 375 और 675 का म. स. ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा

375 = 3 × 5 × 5 × 5 = 3 × 5³
675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 3³ × 5²
अतः म. स. = 3 × 5² = 3 × 2⁵ = 75

प्रश्न 5.
यदि द्विघात बहुपद (a + 9)x2 + 13x + 6a का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम हैं, तो a का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
माना एक शून्यक a है, तब दूसरा शून्यक = \(\frac{1}{α}\)

⇒ a² + 9 = 6a.
⇒ या a² – 6a + 9 = 0
⇒ (a – 3)² = 0 ⇒ a = 3

प्रश्न 6.
पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है? (2)
हल :
माना जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष है।
और उसके पुत्र की वर्तमान आयु । वर्ष है।

5 वर्ष बाद जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष तथा 5 वर्ष बाद पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष प्रश्नानुसार,

5 वर्ष बाद जैकब की आयु = 3 × (5 वर्ष बाद उसके पुत्र की आयु)
⇒ x + 5 = 3 x (y + 5)
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x = 3y + 15 – 5
⇒ x = 3y + 10 …(i)
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु = (x – 5) वर्ष और 5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष प्रश्नानुसार,
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु = 7 × (5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु)
⇒ x – 5 = 7 × (y – 5)
⇒ x – 5 = 7y – 35
⇒ x – 7y = -35 + 5.
⇒ x – 7y = – 30 …(ii).

समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
⇒ (3y + 10) – 7y = – 30
⇒ 3y + 10 – 7y = – 30
⇒ -4y = – 30 – 10
⇒ -4y = – 40
∴ y = \(\frac{-40}{-4}\) = 10

y का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 3 × 10 + 10
x = 30 + 10
∴ x = 40

अतः जैकब की वर्तमान आयु = 40
वर्ष तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष।

प्रश्न 7.
यदि द्विघात समीकरण 2x² + x – 4 = 0 के मूलों का अस्तित्व हो, तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दी गई द्विघात समीकरण है : ..
⇒ 2x² + x – 4 = 0
⇒ 2x² + x = 4
⇒ x² + \(\frac{1}{2}\)x = \(\frac{4}{2}\)

प्रश्न 8.
जाँच कीजिए कि श्रेढ़ी 2, 4, 8, 16, … एक समान्तर श्रेणी हैं? (2)
हल :
दिया हुआ अनुक्रम 2, 4, 8, 16, …
यहाँ a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16

दो क्रमागत पदों का अन्तर (सार्वअन्तर)
d = a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8

दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है,
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं है।

प्रश्न 9.
किसी समान्तर श्रेणी का 17वाँ पद इसके 8वें पद के दुगुने से 5 अधिक है। यदि इस समांतर श्रेढी का 11वाँ पद 43 है, तो इसका प्रथम पद व सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है। दिया है,
a₁₇ = 2a₈ + 5
⇒ a + (17 – 1) d = 2[a + (8 – 1)d] + 5
⇒ a + 16d = 2a + 14d+5
⇒ 2a – a + 14d – 16d + 5 = 0
⇒ a – 2d + 5 = 0 …(i)

और a₁₁ = a + (11 – 1)d
⇒ 43 = a + 10d
⇒ a + 10d – 43 = 0 …(ii)

समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर

⇒ 12d = -48
⇒ d = 4
समी (i) में d = 4 रखने पर,
a – 2 x 4 + 5 = 0
⇒ a – 8 + 5 = 0
⇒ a = 3

प्रश्न 10.
दिए गए चतुर्भुज के समरूप एक चतुर्भुज की रचना कीजिए जिसकी संगत भुजाएँ दिए गए चतुर्भुज की भुजाओं के \(\frac{3}{7}\)के बराबर हों। (2)
हल :
रचना के चरण :

• एक चतुर्भुज ABCD बनाया। चतुर्भुज का विकर्ण AC खींचा।
• AB में बिन्दु B’ इस / प्रकार निर्धारित किया AX कि AB’ : AB = 3 : 7.
• B’ से BC के समान्तर रेखा खींची जो AC को C’ पर काटती
• C’ से CD’ ∥ CD खींची जो AD को D’ पर काटती है।

चतुर्भुज AB’C’D’ ही अभीष्ट समरूप चतुर्भुज

प्रश्न 11.
दिए हुए वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा खींचिए, यदि उसका केन्द्र ज्ञात हो। (2)
हल :
दिया है : वृत्त का केन्द्र 0 है और वृत्त पर स्थित बिन्दु P है।

रचना के चरण :

• OP को मिलाया।
• बिन्दु P पर OP के साथ 90° का कोण बनाती हुई APB रेखा खींची।

अतः वृत्त के बिन्दु P पर AB अभीष्ट स्पर्श रेखा

प्रश्न 12.
यदि sec θ = x + \(\frac{1}{4x}\), x ≠ 0, तो (sec θ + tan θ) ज्ञात कीजिए। (2)
हल :

प्रश्न 13.
निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है। (2)
\(\frac{1+\cot ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\left(\frac{1-\cot A}{1-\tan A}\right)^{2}\)
हल :

प्रश्न 14.
निम्न बारंबारता का बहुलक 36 है। लुप्त बारंबारता (1) का मान ज्ञात कीजिए : (2)

हल :
∵ दिए गए बारंबारता बंटन का बहुलक 36 है, इसलिए बहुलक वर्ग 30-40 है।
∵ l = 30, f_o = f, f₁ = 16, f₂ = 12 तथा h = 10
अब बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
⇒ 36 = 30 + \(\frac{16-f}{2 \times 16-f-12}\) × 10
⇒ 36 – 30 = \(\frac{(16-f)}{20-f}\) × 10
⇒ 6 × (20 – f) = (16 – f) × 10
⇒ 120 – 6f = 160 – 10f
⇒ 10f – 6f = 160 – 120
⇒ 4f = 40 ⇒ f = 10
अतः लुप्त बारंबारता, f = 10

प्रश्न 15.
किसी मोहल्ले के एक शॉपिंग कॉम्प्लेक्स (shopping complex) की 30 दुकानों द्वारा अर्जित किए गए वार्षिक लाभों से निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त होता है। (2)

लाभ (लाख रु. में)	दुकानों की संख्या
5 से अधिक या बराबर	30
10 से अधिक या बराबर	28
15 से अधिक या बराबर	16
20 से अधिक या बराबर	14
25 से अधिक या बराबर	10
30 से अधिक या बराबर	7
35 से अधिक या बराबर	3

उपर्युक्त आँकड़ों से अधिक प्रकार’ का तोरण वक्र खींचिए।
हल :
बिन्दुओं A(5, 30); B(10, 28); C(15, 16); D(20, 14); E(25, 10); F(30, 7) और G(35, 3) को उचित पैमाना मानकर ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं। सभी बिन्दुओं को एक मुक्त हस्त से जोड़ते हुए तोरण खीचते है।
अत: A B C D E F G ही अभीष्ट तोरण है।

प्रश्न 16.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा हरा नहीं है? (2)
हल :
लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4
डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = 5 + 8 +4 = 17
जब डिब्बे में से एक कंचा निकाला जाता है, तो. सम्भावित कुल परिणामों की संख्या =17

निकाला गया कंचा हरा न (G’) होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5 + 8 = 13
अतः निकाला गया कंचा हरा न होने की प्रायिकता P(G’)

खण्ड-(स)

प्रश्न 17.
एक समान्तर श्रेणी में, यदि d = 5 और S₉ = 75, तो a और ay ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
दर्शाइए कि a₁, a₂, …, a_n, … से एक समान्तर श्रेणी बनती है, यदि a_n = 3 + 4n
हल :
दिया है : d = 5 और S₉ = 75

अत: a = –\(\frac{35}{3}\) और a₉ = \(\frac{85}{3}\).

प्रश्न 18.
‘K’ का मान ज्ञात कीजिए, जब तीन बिन्दु (7, – 2); (5, 1); (3, k) संरेखी हों : (3)
अथवा
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (- 1, 4) और . (-2, – 1) हैं।
हल :
माना कि दिए गए बिन्दु A(7, -2), B(5, 1) और C(3, K) हैं।
यहाँ x₁ = 7, x₂ = 5, x₃ = 3
y₁ = – 2, y₂ = 1, y₃ = k
∴ तीनों बिन्दु संरेखी हैं तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होगा।
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
⇒ 0 = \(\frac{1}{2}\)[7(1 – k) + 5(k + 2) + 3(-2 – 1)]
⇒ 0 = \(\frac{1}{2}\)[7 – 7k + 5k +10 – 6 – 3]
⇒ 0 = \(\frac{1}{2}\)[-2k + 8]
⇒ 0 = k + 4
∴ k = 4

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए \(\frac{\sin A-2 \sin ^{3} A}{2 \cos ^{3} A-\cos A}\) = tan A
अथवा
सिद्ध कीजिए \(\frac{\tan A-\sin A}{\tan A+\sin A}=\frac{\sec A-1}{\sec A+1}\) (3)
हल :

प्रश्न 20.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च को दर्शाता है। माध्य जेब खर्च ₹ 18 है। लुप्त बारम्बारता ज्ञात कीजिए : (3)

अथवा
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए। (3)

हल :
माना कि कल्पितमाध्य (A) = 18

खण्ड – (द)

प्रश्न 21.
समीकरण युग्म 3x – y = 2; 6x – 2y = 4 का हल ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है। आलेखीय विधि से बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया समीकरण युग्म
3x – y = 2 …………..(1)
6x – 2y = 4 ………..(2)

अब समीकरण 3x – y = 2 से,
⇒ y = 3x – 2
x व y के विभिन्न मानों के लिए सारणी इस प्रकार हैं।

सारणी-I

पुनः समीकरण
6x – 2y = 4 से
2y = 6x – 4
y = \(\frac{6 x-4}{2}\)
x व y के विभिन्न मानों के लिए सारणी इस प्रकार हैं।

सारणी-II

अब बिन्दुओं (1, 1), (2, 4), (0, – 2) और (-2, – 8) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 3x – y = 2 का आलेख AB रेखा प्राप्त होती है। पुनः बिन्दुओं (3, 7), (-3, – 11), (- 1, -5) और (4, 10) का आलेखन करते हैं। हम देखते हैं कि ये चारों बिन्दु रेखा AB पर विद्यमान हैं। इसलिए दोनों रेखाएँ सम्पाती होंगी। अतः दिया गया निकाय संगत है तथा इसके अनन्त हल होंगे।

अतः समीकरण 3x – y = 2 का प्रत्येक हल पूरे निकाय का हल होगा।

प्रश्न 22.
4-5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो परस्पर 45° का कोण बनाती हों। औचित्य भी दीजिए। (4)
अथवा
एक समकोण त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें BC = 12 सेमी., AB = 5 सेमी. और ∠B = 90° है। इस त्रिभुज के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका स्केल गुणक \(\frac{2}{3}\) हो। क्या नया त्रिभुज भी एक समकोण त्रिभुज हैं? (4)
हल :
रचना के चरण :

• O को केन्द्र मानकर 4.5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा।
• वृत्त का व्यास AB खींचा।
• बिन्दु O पर OA से 45° का कोण बनाती हुई एक रेखा OC खींची जो वृत्त को C बिन्दु पर काटती है।
• बिन्दु B पर OB के लम्बवत् रेखा खींची तथा बिन्दु C पर OC के लम्बवत् एक रेखा खींची। दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को P बिन्दु पर काटती हैं।

अत: PB और PC वृत्त की दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक-दूसरे से 45° का कोण बनाती है।

औचित्य (उपपत्ति) : माना वृत्त का केन्द्र O है। PB व PC स्पर्श रेखाएँ हैं।
इनके बीच का कोण BPC = 45° है।
∴ ∠BOC= 180° – 45° = 135°
∴ ∠AOC= 180° – ∠BOC (रैखिक समीकरण युग्म से)
= 180° – 135° = 45°.

प्रश्न 23.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :

उपरोक्त बंटन को एक ‘से कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए। (4)
अथवा
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों से माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना भी कीजिए। (4)

हल :
‘से कम’ प्रकार का संचयी बारम्बारता बंटन

• अब बिन्दुओं A(120, 12), B(140, 26), C(160, 34), D(180, 40) और E(200, 50) को ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं।
• अंकित बिन्दुओं को वक्र के रूप में हाथ से जोड़कर तोरण प्राप्त करते हैं।

अत: ABCDE अभीष्ट तोरण है।