RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

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RBSE Class 12 Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

समय : 2 घण्टे 45 मिनट
पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :

• परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न
(i) यदि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए : (1)
(अ) (2, 4) ∈ R
(ब) (3, 8) ∈ R
(स) (6, 8) ∈ R
(द) (8, 7) ∈ R
उत्तरः
(स) (6, 8) ∈ R

(ii) tan^-1√3 – sec-1(-2) का मान बराबर है: (1)
(अ) π
(ब) \(\frac{-π}{3}\)
(स) \(\frac{π}{3}\)
(द) \(\frac{2π}{3}\)
उत्तरः
(ब) \(\frac{-π}{3}\)

(iii) A = [a_ij]_m×n, एक वर्ग आव्यूह है, यदि : (1)
(अ) m < n (ब) m > n:
(स) m = na
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(स) m = na

(iv) यदि A एक 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो |KA| का मान होगा : (1)
(अ) k|A|
(ब) K²|A|
(स) K³|A|
(द) 3k|A|
उत्तरः
(स) K³|A|

(v) यदि x – y = π, तो का मान होगा : (1)
(अ) 0
(ब) 1
(स) – 1
(द) 2
उत्तरः
(ब) 1

(vi) ∫\(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\) बराबर है : (1)
(अ) \(\frac{1}{2}\)x^1/3 + 2x^1/2 + C
(ब) \(\frac{2}{3}\)x^1/3 + 2x² + C
(स) \(\frac{2}{3}\)x^3/2 + 2x^1/2 + C
(द) \(\frac{3}{2}\)x^1/3 + 2x^1/2 + C
उत्तरः
(स) \(\frac{2}{3}\)x^3/2 + 2x^1/2 + C

(vii) अवकल समीकरण 2x²1\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}\) + y = 0 की कोटि है : (1)
(अ) 2
(ब) 1
(स) 0
(द) परिभाषित नहीं.
उत्तरः
(अ) 2

(viii) यदि सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) इस प्रकार हैं कि |\(\vec{a}\)| = 3 और |\(\vec{b}\)| = \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) ,तब \(\vec{a} \times \vec{b}\) एक मात्रक सदिश है यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है: (1)
(अ) \(\frac{π}{6}\)
(ब) \(\frac{π}{4}\)
(स) \(\frac{π}{3}\)
(द) \(\frac{π}{2}\)
उत्तरः
(ब) \(\frac{π}{4}\)

(ix) दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतन्त्र घटनाएँ कहते हैं, यदि: (1)
(अ) A और B परस्पर अपवर्जी है
(ब) P(A’B’) = [1 – P(A)][1 – P(B)]
(स) P(A) = P(B)
(द) P(A) + P(B) = 1
उत्तरः
(ब) P(A’B’) = [1 – P(A)][1 – P(B)]

(x) आव्यूह A तथा B एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे, केवल यदि : (1)
(अ) AB = BA
(ब) AB = BA = 0
(स) AB = 0, BA = 1
(द) AB = BA = 1
उत्तरः
(द) AB = BA = 1

(xi) यदि y = x² + 3x + 2 हो, तो का मान होगा: (1)
(अ) 2x + 3
(ब) x + 3
(स) 2
(द) 3
उत्तरः
(स) 2

(xii) î.(ĵ × k̂) + ĵ .(î × k̂) + k̂.(î × ĵ) का मान है: (1)
(अ) 0
(ब) – 1
(स) 1
(द) 3
उत्तरः
(स) 1

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए :
(i) यदि f(x) = |x| तथा g(x) = |(5x – 2) हो, तो gof (x) = ___________ है। (1)
उत्तरः
151x|- 2|

(ii) cos^-1 (cos\(\frac{7 \pi}{6}\)) का मान ___________ है। (1)
उत्तरः
5π/6

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\) हो, तो A + B = ___________ है। (1)
उत्तरः
\(\left[\begin{array}{ll}
3 & 7 \\
1 & 7
\end{array}\right]\)

(iv) \(\frac{dy}{dx}\) [tan(2x + 3)] = ___________ है। (1)
उत्तरः
2 sec² (2x + 3)

(v)

उत्तरः
log\(\frac{3}{2}\)

(vi) सदिश \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + 3k̂ और \(\vec{b}\) = 3î – 2ĵ + k̂ के बीच का कोण θ = ___________ है। (1)
उत्तरः
cos^-1\(\frac{5}{7}\)

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न :
(i) यदि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}A से B तक एक फलन हैं, सिद्ध कीजिए कि एकैकी है। (1)
हल:
f: A → B इस प्रकार है

f= {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
⇒ f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6 अर्थात् A के प्रत्येक अवयव का प्रतिबिम्ब अलगअलग है।
अतः फलन एकैकी है।

(ii) यदि sin(sin^-1\(\frac{1}{5}\) + cos^-1x) = 1, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:

(iii) समीकरण \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\) से x, y तथा का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
तुलना से, y = 4, z = 3 और x = 1

(iv) दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
5 & 3 & 8 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए। 1
हल:

= 2(9 – 16) – 0(15 – 8) + 1(10 – 3)
= 2(-7)- 0 + 7
= – 14 + 7 = – 7

(v) e^sin-1x का x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
\(\frac{dy}{dx}\)e^sin-1x = e^sin-1x.\(\frac{dy}{dx}\)sin^-1x
= e^sin-1x.\(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{e^{\sin ^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

(vi) ∫\(\frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+4}}\)dx का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:

(vii) अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^{2}}\)(-2 < y < 2) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^{2}}\)
या \(\frac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}\)= dx

समीकरण (i) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}\) = ∫dx
⇒ sin^-1\(\frac{y}{2}\) = x + C
⇒ \(\frac{y}{2}\) = sin (x + C)
⇒ y = 2 sin (x + C) …(ii)
समीकरण (ii) दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

(viii) दर्शाइए कि सदिश 2î – 3ĵ + 4k̂ और -4î + 6ĵ – 8k̂ सरेख हैं। (1)
हल :
माना \(\vec{a}\) = 2î – 3ĵ + 4k̂
तथा \(\vec{b}\) = -4î + 6ĵ – 8k̂
= -2(2î – 3ĵ + 4k̂)
∴ \(\vec{b}\) = – 20 या \(\vec{a}\) = –\(\frac{1}{2}\)\(\vec{b}\)
सदिश \(\vec{b}\) को सदिश \(\vec{a}\) के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। अत: सदिश a तथा है सरेख हैं।
अत: \(\vec{b}\) = λ\(\vec{a}\), यहाँ λ = -2, \(\vec{a}\) = –\(\frac{1}{2}\)\(\vec{b}\), तब λ = –\(\frac{1}{2}\)

(ix) यदि P(A) = \(\frac{3}{5}\), P(B) = \(\frac{1}{5}\) और A एवं B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं। तो (P ∩ B) ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया है : P(A) = \(\frac{3}{5}\). P(B) = \(\frac{1}{5}\)
यदि A और B दो स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= \(\frac{3}{5} \times \frac{1}{5}=\frac{3}{25}\)

(x) यदि शीर्ष (2, – 6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 35
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
2 & -6 & 1 \\
5 & 4 & 1 \\
k & 4 & 1
\end{array}\right|\) = 35
R → R₂ – R₁, तथा R₃ → R₃ – R₁ का प्रयोग करने पर,

(xi) वक्रों के कुल y = a sin(x + b), जिसमें a, b स्वेच्छ अचर हैं, को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया है, y = a sin (x + b) . … (i)
समीकरण (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष उत्तरोत्तर अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = a cos (x + b) …. (ii)
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = – a sin (x + b) … (iii)

समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से a तथा b को विलुप्त करने पर
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0… (iv)

समीकरण (iv) स्वेच्छ अचरों a तथा b से मुक्त है, इसलिए यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(xii) उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ a = 3î + ĵ + 4k̂ और b = î – ĵ + k̂ द्वारा दी गई हैं। (1)
हल:
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
\(\) = 5î + ĵ – 4k̂
इसलिए \(\)
अतः क्षेत्रफल \(\sqrt{42}\) वर्ग इकाई है।

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय R में, R = {(a, b):a ≤ b} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध र स्वतुल्य व संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। [यहाँ R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। (2)
हल:
स्पष्ट रूप से a ≤ a, ∀ a ∈ R ⇒ (a, a) ∈ R
अंत: R स्वतुल्य है।
संक्रामक के लिए, माना (a, b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R, a, b, c ∈ R
⇒ a < b तथा b < c
⇒ a ≰ c = (a, c) ∉ R
⇒ अतः R संक्रामक है।

सममित के लिए,
माना a = 1, b = 2
जैसा कि 1 ≤ 2 = (1, 2) ∈ R
परन्तु, 241 = (2, 1) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।

प्रश्न 5.
यदि a = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) तथा b = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) एवं A² = kA – 21 हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

किसी एक अवयव माना (a₂₁) के संगत मानों की तुलना करने पर,
4 = 4k
⇒ k = 4/4 = 1
अतः k = 1

प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए : (2)
5x + 2y = 4
7x+ 3y = 5
हल :
दिया गया समीकरण निकाय है
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5

आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{l}
4 \\
5
\end{array}\right]\)

अब आव्यूह A का सारणिक |A|, |A|
= \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{array}\right|\) = 5 × 3 – 7 × 2
= 15 – 14 = 1
∴ |A| = 1 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है तथा A^-1 का अस्तित्व है तथा निकाय संगत है।

यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो
A₁₁ = (-1)^{1 + 1} (3) = 3
A₁₂ = (-1)^{1 + 2} = 7 = – 7
A₂₁ = (-1)^{2 + 1} 2 = – 2
A₂₂ = ^{(-1)2 + 2} 5 = 5

अब A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
3 & -7 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\)

आव्यूह A का सहखण्डज आव्यूह = B’

अतः x = 2, y = – 3

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिन्दुओं पर असतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है जो x के बराबर यो x से कम है। (2)
हल:
दिया फलन
g(x) =x – [x]

(i) x = 0 पर सततता या असततता के लिए, बायीं सीमा
= lim_x→0^– g(x)
= lim_h→0g(0 – h)
= lim_h→0g(- h)
= lim_h→0{(- h) – [- h]}
= – lim_h→0 (h) – lim _h→0[-h]
= 0 – (-1) = 1
[क्योंकि 0 के पहले महत्तम पूर्णांक – 1 है जैसा कि वास्तविक संख्या रेखा पर दिखाया गया है।]

∴ अर्थात् बायीं सीमा = 1 ≠ 0 = दायीं सीमा
∴ अत: lim_x→0 g(x) का अस्तित्व नहीं है।
∴ फलन x = 0 पर सतत नहीं है अर्थात् असतत

(ii) माना x = c ≠ 0, कोई स्वेच्छ वास्तविक पूर्णांक संख्या है,
तब x = c पर सततता या असततता के लिए,
बायीं सीमा = lim_h→0g(x)
= lim_h→0{c – h) – [c – h]}
= lim_h→0(c – h) – lim_h→0to [c – 1]
= c – (c – 1) = c – c + 1 = 1
[क्योंकि c के पहले (c – 1) ही महत्तम पूर्णांक संख्या है।]

∴ lim_x→c^–g(x) = 1

दायीं सीमा = lim_x→c⁺g(x)
= lim_h→0{(c + h)- [c + h]}
= lim_h→0(c + h) – lim_h→0[c + h]
= c – c = 0 [क्योंकि [c] ≤ c]
lim_x→c⁺g(x) = 0

∴ बायीं सीमा lim_x→c⁺g(x) = 1 ≠ 0
= दायीं सीमा lim_x→c⁺g(x)

∴ lim_x→c⁺g(x) का अस्तित्व नहीं है।
अतः फलन x = c पर सतत नहीं है अर्थात् असतत है।
चूँकि c एक स्वेच्छ पूर्णांक है। अतः g(x) सभी पूर्णांकों पर असतत है।

प्रश्न 8.
∫\(\frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}}\)dx का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

प्रश्न 9.
एक पासे को 7 बार उछालने पर तथ्यत: दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
एक पासे को उछालने पर {1, 2, 3, 4, 5, 6}
प्रतिदर्श समष्टि प्राप्त होती है।

तब, 5 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\) = p
5 न आने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) = q
7 बार पासा उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
x के किस मान के लिए :
[1 2 1]\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0 है। (2)
हल:
प्रश्नानुसार,
[1 2 1]\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
⇒ [1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 1 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 0 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 2]\(\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
⇒ [1 + 4 + 1 2 + 0 + 0 0 + 2 + 2] \(\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
⇒ [6 2 4] \(\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
⇒ [6 × 0 + 2 × 2 +4 × x] = 0
⇒ 4 + 4x = 0
⇒ x = -4/4 = -1
∴ x = – 1

प्रश्न 11.
यदि x = a(θ + sin θ) तथा y = a(1 – cos θ) हो, तो में ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

प्रश्न 12.
सारणियों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि- (2)
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^{2} \\
1 & b & b^{2} \\
1 & c & c^{2}
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c — a)
हल:
L.H.S = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^{2} \\
1 & b & b^{2} \\
1 & c & c^{2}
\end{array}\right|\)
संक्रिया R₂ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁ से

R₂ तथा R₃ से क्रमशः (b – a) तथा (c – a) उभयनिष्ठ लेने पर,
= (b – a) (c – a)\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^{2} \\
0 & 1 & b+a \\
0 & 1 & c+a
\end{array}\right|\)

प्रथम स्तम्भ के अनुदिश सारणिक का प्रसरण करने पर,
= (b – a) (c – a) \(\left\{1\left|\begin{array}{ll}
1 & b+a \\
1 & c+a
\end{array}\right|\right\}\)
= (b – a) (c – a) {c + a – b – a}
= (b – a) (c – a) (c – b)
= (a – b) (b – c) (c – a)
= R.H.S. इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.

ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

माना cos x = t
⇒ -sin x dx = dt

जब x = 0, तब t = cos 0 = 1
जब x = \(\frac{\pi}{2}\), तब t = \(\frac{\pi}{2}\) = 0

प्रश्न 14.
निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: (2)
\(\frac{dy}{dx}\) = y tan x; y = 1 यदि x = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{dy}{dx}\) = y tan x
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = tan x dx ….(i)

समीकरण (i) के दोनों पक्षों का समाकलन करने
∫\(\frac{dy}{y}\) = ∫ tan x dx
⇒ logy = – log cos x + C …(ii)

समीकरण (ii) में x = 0 तथा y = 1 रखने पर,
log i = -log cos 0 + c
⇒ 0 = – log 1 + C
⇒ 0 = 0 + C .
⇒ C = 0

C का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
log y = – log cos x
⇒ log y = – log\(\frac{1}{\sec x}\) = log secx
⇒ y = secx …(iii)

समीकरण (iii) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 15.
यदि \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ + 3k̂, \(\vec{b}\) = -î + 2ĵ + k̂ और \(\vec{c}\) = 3î + ĵ इस प्रकार हैं कि \(\vec{a}\) + λ \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) पर लम्ब है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
प्रश्नानुसार, \(\vec{a}\) + λ \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) पर लम्ब है।
∴ (\(\vec{a}\) + λ \(\vec{b}\)). \(\vec{c}\) = 0
{(2î + 2ĵ + 3k̂) + 2.(- î + 2j + k̂)} (3î + ĵ) = 0
{{2 – λ)î + (2 + 2λ)ĵ + (3 + λ) k̂}.(3î + ĵ) = 0
= 3(2 – λ) î.î+ (2 – λ)î.ĵ) + 3(2 + 2λ)(ĵ.î) + (2 + 2λ)ĵ.ĵ+ 3(3 + λ) k̂ .î + (3 + λ)k̂.ĵ = 0
⇒ 3 (2 – λ) i. i + (2 + 2λ)j.j = 0
⇒ 3(2 – λ) + (2 + 2λ) = 0
⇒ 6 – 3λ + 2 + 2λ = 0
⇒ 8 – λ = 0
∴ λ = 8

प्रश्न 16.
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। यदि दोनों, स्वतन्त्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है। (2)
हल:
A द्वारा समस्या के हल होने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ A द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता,
P(Ā) = 1 – P(A)
= 1 – \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

तथा B द्वारा समस्या के हल होने की प्रायकिता
P(B) = \(\frac{1}{3}\)

द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता
P(B̄) = 1 – P(B)
= 1 – \(\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

∴ A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
∴ AB̄ और AB̄ भी स्वतन्त्र हैं।

यहाँ, P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{2}{3}\)
P(Ā) = \(\frac{1}{2}\), P(B̄) = \(\frac{1}{3}\)

∴ उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है, की प्रायिकता
= P(AB̄) + P(ĀB)
= P(A) P(B̄) + P(Ā).P(B)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\)
= \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2+1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

खण्ड – (स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए : (3)
tan^-1(√x) = \(\frac{1}{2}\)cos^-1\(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) x ∈ [0, 1]
हल:
R.H.S. = \(\frac{1}{2}\)cos (1)
माना x = tan²θ = tan θ = √x
θ = tan^-1√x

अथवा

निम्नलिखित समीकरण को सरल कीजिए : (3)
tan^-1\(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)= tan^-1(x); x > 0
हल:
माना, x = tan θ

प्रश्न 18.
फलन x^y + y^x = 1 के लिए \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
माना u= x तथा v = y^x
तब u + v = 1
पुनः u = x^y तथा y = y^x में दोनों फलनों के लघुगणक लेने पर,
log u = y log x तथा log v = x log y
अब दोनों फलनों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अब (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) = 0 …………(iv)

समीकरण (iv) में \(\frac{du}{dx}\) तथा \(\frac{dv}{dx}\) के मान क्रमशः समीकरण (ii) तथा (ii) से रखने पर,

अथवा

मध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a =1 और b = 4 है। (3)
हल:
दिया गया फलन (x) = x² – 4x – 3 एक बहुपद फलन है। बहुपद फलन सतत तथा अवकलनीय होता है। अतः फलन अन्तराल [1, 4] में सतत है तथा (1, 4) में अवकलनीय है।

अब f'(x) = 2x – 4, का अन्तराल (1, 4) में अस्तित्व है।
∴ अन्तराल (1, 4) में एक बिन्दु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि
f'(c) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\) …(i)
f(4)= 4² – 4 × 4 – 3 = 16 – 16 – 3 = – 3
f(1) = 1² – 4 × 1 – 3 = 1 – 4 – 3 = – 6
अब f(4) तथा f(1) के मान समी (i) में रखने पर,

ऐसा है कि f'(c) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
इस प्रकार मध्यमान प्रमेय का सत्यापन हुआ।

प्रश्न 19.
∫ \(\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}\)dx ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
I = ∫ \(\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}\)dx

तब I₁ = ∫\(\frac{2 x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}\)dx
माना x² + 2x + 3 = t
तब (2x + 2)dx = dt

= log |t + \(\sqrt{t^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\)| + C₂
= log|x + 1 + \(\sqrt{(x+1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\)| + C₂
= log|x + 1 + \(\sqrt{x^{2}+2 x+3}\)| + C₂

I₁ तथा I₂ के मान (i) में रखने पर,

अथवा

∫\(\frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+3\right)}\) ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
मानां I = ∫\(\frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+3\right)}\)

अब \(\frac{1}{(t+1)(t+3)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+3}\)
⇒ 1 = A(t + 3) + B(t + 1)
1 = (A + B)t + 3A + B

दोनों पक्षों में t के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
A+ B = 0 तथा 3A+ B = 1

इन समीकरणों को हल करने पर,

प्रश्न 20.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}\) = 3î – 4ĵ – 4k̂, \(\vec{b}\) = 2î – ĵ + k̂ और \(\vec{c}\) = î – 3ĵ – 5k̂ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं। (3)
हल:
मांना मूलबिन्दु 0 है, तब
प्रश्नानुसार,
\(\overrightarrow{O A}\) = \(\vec{a}\) = 3î – 4ĵ – 4k̂
\(\overrightarrow{O B}\) = \(\vec{b}\) = 2î – ĵ + k̂
तथा \(\overrightarrow{O C}\)= \(\vec{c}\) = î – 3ĵ – 5k̂

अब \(\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\vec{b}-\vec{a}\)
= (2î – 3ĵ + k̂)-(3î – 4ĵ – 4k̂)
= 2î – ĵ + k̂-3î + 4ĵ + 4k̂
= (2 – 3)î + (-1 + 4)ĵ+ (1 + 4)k̂
= – î + 3ĵ + 5k̂

î – 3ĵ – 5k̂ – (2î – ĵ + k̂)
= î – 3ĵ – 5k̂- 2î + ĵ – k̂
= (1 – 2)î + (-3 + 1)ĵ + (-5 – 1)k̂
= – î -2ĵ – 6k̂

= 3î – 4ĵ – 4k̂- (î – 3ĵ – 5k̂)
= 3î – 4ĵ – 4k̂ – î + 3ĵ + 5k̂
= (3 – 1)î + (-4 + 3)ĵ + (-4 + 5)k̂
= 2î – ĵ + k̂

अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है। अर्थात् बिन्दु A, B तथा C एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।

अथवा

सदिश (\(\vec{a}+\vec{b}\)) और (\(\vec{a}-\vec{b}\)) में से प्रत्येक के लंबवत् मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂ , \(\vec{b}\) = î + 2ĵ + 3k̂ हैं। (3)
हल:
हम पाते हैं कि \(\vec{a}+\vec{b}\) = 2î +3ĵ + 4k̂ और \(\vec{a}-\vec{b}\) = -ĵ – 2k̂

अब \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-\vec{b}\) दोनों पर लंब सदिश
(\(\vec{a}+\vec{b}\)) × (\(\vec{a}-\vec{b}\)) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2
\end{array}\right|\)
= -2î + 4ĵ – 2k̂ = c (माना)

अब \(|\vec{c}|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2 \sqrt{6}\)
अतः अभीष्ट मात्रक सदिश
= \(\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=-\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{i}+\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{j}-\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k}\)

खण्ड – (द)
निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

ज्ञात कीजिए। (4)
हल:


2x = t रखने पर
2 dx = dt या dx = \(\frac{1}{2}\)dt
जब x = 0 तब t = 0, जब x = \(\frac{π}{2}\), तब t = π

समीकरण (vi) से,
2I₁ = I₁ – \(\frac{π}{2}\)log 2 (I₂ = I₁)
∴I₁ = –\(\frac{π}{2}\)log 2

I₁ का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
I = 2I₁ = 2(-\(\frac{π}{2}\)log2)
= – π log 2
I = – π log 2

अथवा

ज्ञात कीजिए। (4)
हल:

sin x – cos x = t रखने पर,
(cos x + sin x) dx = dt
और (sin x – cos x)² = t²
⇒ sin² x + cos²x – 2 sin x cos x = ť²
⇒ 1 – 2 sin x.cos x = t²
⇒ 1 – sin 2x = t²
⇒ sin 2x = 1 – t²

जब x = 0, तब sin 0 – cos 0 = t
⇒ – 1 = t, या t = – 1

प्रश्न 22.
दर्शाइए कि अवकल समीकरण xcos\(\left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}\) = ycos\(\left(\frac{y}{x}\right)\) + x समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है :

F (x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन है, इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसको हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं:
y = vx ………..(ii)
समीकरण (ii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{dy}{dx}\) = v + x\(\frac{dv}{dx}\) …….(iii)

समीकरण (i) में y एवं \(\frac{dy}{dx}\) का मान प्रतिस्थापित करने पर

यह दिए हुए अवकल समीकरण (1) का व्यापक हल है।

अथवा

अवकल समीकरण (tan^-1y – x)dy = (1 + y²)dy का हल ज्ञात कीजिए | (4)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है :
\(\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\) …(i)

समीकरण (i), \(\frac{dx}{dy}\) + P₁x = Q₁ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है |

अतः I = ∫t e^t dt = t e^t – ∫1.e^t et = t e^t – e^t
= e^t(t – 1)
⇒ I = e^tan-1y(tan^-1y – 1)

समीकरण (i) में I का मान प्रतिस्थापित करने पर
x.e^tan-1y = e^tan-1y(tan^-1y – 1) + C
⇒ x = (tan^-1y – 1) + C e^tan-1y

प्रश्न 23.
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C तीन मशीन ऑपरेटर हैं। मशीन ऑपरेटर A,1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा B, 5% और C, 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर ऑपरेटर Aकुल समय का 50% लगाता है। ऑपरेटर B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है, तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है ? (4)
हल:
माना तीन मशीनों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ क्रमशः E₁, E₂, तथा E₃, हैं।

पहले ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग
= P(E₁) = 50% = \(\frac{50}{100}\) = 0.5

दूसरे ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग
= P(E₂) = 30% = \(\frac{30}{100}\) = 0.3

तीसरे ऑपरेटर द्वारा. कुल समय का उपयोग
P(E₃) = 20% = \(\frac{20}{100}\) = 0.2

माना A खराब उत्पाद की घटना है।
प्रथम ऑपरेटर 1% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01

दूसरा ऑपरेटर 5% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.05

तीसरा ऑपरेटर 7% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.07

यदिएकखराबसामग्री उत्पादितहै,तो A द्वाराउत्पादित किये जाने की प्रायिकता,

अथवा

ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते उत्तरोत्तर बिना प्रतिस्थापना के (या एक साथ) निकाले जाते हैं। बादशाहों की संख्या का माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
माना कि दो पत्ते निकालने में बादशाहों की संख्या को X से व्यक्त करते हैं। X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1 या 2 मान ले सकता है।

अब P(X = 0) = P(कोई बादशाह नहीं)

P(X = 1) = P(एक बादशाह और एक बादशाह नहीं)