• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Skip to primary sidebar
  • Skip to footer
  • RBSE Model Papers
    • RBSE Class 12th Board Model Papers 2022
    • RBSE Class 10th Board Model Papers 2022
    • RBSE Class 8th Board Model Papers 2022
    • RBSE Class 5th Board Model Papers 2022
  • RBSE Books
  • RBSE Solutions for Class 10
    • RBSE Solutions for Class 10 Maths
    • RBSE Solutions for Class 10 Science
    • RBSE Solutions for Class 10 Social Science
    • RBSE Solutions for Class 10 English First Flight & Footprints without Feet
    • RBSE Solutions for Class 10 Hindi
    • RBSE Solutions for Class 10 Sanskrit
    • RBSE Solutions for Class 10 Rajasthan Adhyayan
    • RBSE Solutions for Class 10 Physical Education
  • RBSE Solutions for Class 9
    • RBSE Solutions for Class 9 Maths
    • RBSE Solutions for Class 9 Science
    • RBSE Solutions for Class 9 Social Science
    • RBSE Solutions for Class 9 English
    • RBSE Solutions for Class 9 Hindi
    • RBSE Solutions for Class 9 Sanskrit
    • RBSE Solutions for Class 9 Rajasthan Adhyayan
    • RBSE Solutions for Class 9 Physical Education
    • RBSE Solutions for Class 9 Information Technology
  • RBSE Solutions for Class 8
    • RBSE Solutions for Class 8 Maths
    • RBSE Solutions for Class 8 Science
    • RBSE Solutions for Class 8 Social Science
    • RBSE Solutions for Class 8 English
    • RBSE Solutions for Class 8 Hindi
    • RBSE Solutions for Class 8 Sanskrit
    • RBSE Solutions

RBSE Solutions

Rajasthan Board Textbook Solutions for Class 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 and 12

  • RBSE Solutions for Class 7
    • RBSE Solutions for Class 7 Maths
    • RBSE Solutions for Class 7 Science
    • RBSE Solutions for Class 7 Social Science
    • RBSE Solutions for Class 7 English
    • RBSE Solutions for Class 7 Hindi
    • RBSE Solutions for Class 7 Sanskrit
  • RBSE Solutions for Class 6
    • RBSE Solutions for Class 6 Maths
    • RBSE Solutions for Class 6 Science
    • RBSE Solutions for Class 6 Social Science
    • RBSE Solutions for Class 6 English
    • RBSE Solutions for Class 6 Hindi
    • RBSE Solutions for Class 6 Sanskrit
  • RBSE Solutions for Class 5
    • RBSE Solutions for Class 5 Maths
    • RBSE Solutions for Class 5 Environmental Studies
    • RBSE Solutions for Class 5 English
    • RBSE Solutions for Class 5 Hindi
  • RBSE Solutions Class 12
    • RBSE Solutions for Class 12 Maths
    • RBSE Solutions for Class 12 Physics
    • RBSE Solutions for Class 12 Chemistry
    • RBSE Solutions for Class 12 Biology
    • RBSE Solutions for Class 12 English
    • RBSE Solutions for Class 12 Hindi
    • RBSE Solutions for Class 12 Sanskrit
  • RBSE Class 11

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

April 4, 2022 by Prasanna Leave a Comment

Students must start practicing the questions from RBSE 12th Maths Model Papers Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi Medium provided here.

RBSE Class 12 Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

समय : 2 घण्टे 45 मिनट
पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :

  • परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
  • सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
  • प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
  • जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
  • प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न
(i) यदि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए : (1)
(अ) (2, 4) ∈ R
(ब) (3, 8) ∈ R
(स) (6, 8) ∈ R
(द) (8, 7) ∈ R
उत्तरः
(स) (6, 8) ∈ R

(ii) tan-1√3 – sec-1(-2) का मान बराबर है: (1)
(अ) π
(ब) \(\frac{-π}{3}\)
(स) \(\frac{π}{3}\)
(द) \(\frac{2π}{3}\)
उत्तरः
(ब) \(\frac{-π}{3}\)

(iii) A = [aij]m×n, एक वर्ग आव्यूह है, यदि : (1)
(अ) m < n (ब) m > n:
(स) m = na
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(स) m = na

(iv) यदि A एक 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है, तो |KA| का मान होगा : (1)
(अ) k|A|
(ब) K2|A|
(स) K3|A|
(द) 3k|A|
उत्तरः
(स) K3|A|

(v) यदि x – y = π, तो का मान होगा : (1)
(अ) 0
(ब) 1
(स) – 1
(द) 2
उत्तरः
(ब) 1

(vi) ∫\(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\) बराबर है : (1)
(अ) \(\frac{1}{2}\)x1/3 + 2x1/2 + C
(ब) \(\frac{2}{3}\)x1/3 + 2x2 + C
(स) \(\frac{2}{3}\)x3/2 + 2x1/2 + C
(द) \(\frac{3}{2}\)x1/3 + 2x1/2 + C
उत्तरः
(स) \(\frac{2}{3}\)x3/2 + 2x1/2 + C

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

(vii) अवकल समीकरण 2x21\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}\) + y = 0 की कोटि है : (1)
(अ) 2
(ब) 1
(स) 0
(द) परिभाषित नहीं.
उत्तरः
(अ) 2

(viii) यदि सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) इस प्रकार हैं कि |\(\vec{a}\)| = 3 और |\(\vec{b}\)| = \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) ,तब \(\vec{a} \times \vec{b}\) एक मात्रक सदिश है यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है: (1)
(अ) \(\frac{π}{6}\)
(ब) \(\frac{π}{4}\)
(स) \(\frac{π}{3}\)
(द) \(\frac{π}{2}\)
उत्तरः
(ब) \(\frac{π}{4}\)

(ix) दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतन्त्र घटनाएँ कहते हैं, यदि: (1)
(अ) A और B परस्पर अपवर्जी है
(ब) P(A’B’) = [1 – P(A)][1 – P(B)]
(स) P(A) = P(B)
(द) P(A) + P(B) = 1
उत्तरः
(ब) P(A’B’) = [1 – P(A)][1 – P(B)]

(x) आव्यूह A तथा B एक दूसरे के व्युत्क्रम होंगे, केवल यदि : (1)
(अ) AB = BA
(ब) AB = BA = 0
(स) AB = 0, BA = 1
(द) AB = BA = 1
उत्तरः
(द) AB = BA = 1

(xi) यदि y = x2 + 3x + 2 हो, तो का मान होगा: (1)
(अ) 2x + 3
(ब) x + 3
(स) 2
(द) 3
उत्तरः
(स) 2

(xii) î.(ĵ × k̂) + ĵ .(î × k̂) + k̂.(î × ĵ) का मान है: (1)
(अ) 0
(ब) – 1
(स) 1
(द) 3
उत्तरः
(स) 1

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए :
(i) यदि f(x) = |x| तथा g(x) = |(5x – 2) हो, तो gof (x) = ___________ है। (1)
उत्तरः
151x|- 2|

(ii) cos-1 (cos\(\frac{7 \pi}{6}\)) का मान ___________ है। (1)
उत्तरः
5π/6

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\) हो, तो A + B = ___________ है। (1)
उत्तरः
\(\left[\begin{array}{ll}
3 & 7 \\
1 & 7
\end{array}\right]\)

(iv) \(\frac{dy}{dx}\) [tan(2x + 3)] = ___________ है। (1)
उत्तरः
2 sec2 (2x + 3)

(v)
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 1
उत्तरः
log\(\frac{3}{2}\)

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

(vi) सदिश \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + 3k̂ और \(\vec{b}\) = 3î – 2ĵ + k̂ के बीच का कोण θ = ___________ है। (1)
उत्तरः
cos-1\(\frac{5}{7}\)

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न :
(i) यदि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}A से B तक एक फलन हैं, सिद्ध कीजिए कि एकैकी है। (1)
हल:
f: A → B इस प्रकार है
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 2
f= {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
⇒ f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6 अर्थात् A के प्रत्येक अवयव का प्रतिबिम्ब अलगअलग है।
अतः फलन एकैकी है।

(ii) यदि sin(sin-1\(\frac{1}{5}\) + cos-1x) = 1, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 3

(iii) समीकरण \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\) से x, y तथा का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
तुलना से, y = 4, z = 3 और x = 1

(iv) दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
5 & 3 & 8 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए। 1
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 4
= 2(9 – 16) – 0(15 – 8) + 1(10 – 3)
= 2(-7)- 0 + 7
= – 14 + 7 = – 7

(v) esin-1x का x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
\(\frac{dy}{dx}\)esin-1x = esin-1x.\(\frac{dy}{dx}\)sin-1x
= esin-1x.\(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{e^{\sin ^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

(vi) ∫\(\frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+4}}\)dx का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 5

(vii) अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^{2}}\)(-2 < y < 2) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^{2}}\)
या \(\frac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}\)= dx

समीकरण (i) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}\) = ∫dx
⇒ sin-1\(\frac{y}{2}\) = x + C
⇒ \(\frac{y}{2}\) = sin (x + C)
⇒ y = 2 sin (x + C) …(ii)
समीकरण (ii) दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

(viii) दर्शाइए कि सदिश 2î – 3ĵ + 4k̂ और -4î + 6ĵ – 8k̂ सरेख हैं। (1)
हल :
माना \(\vec{a}\) = 2î – 3ĵ + 4k̂
तथा \(\vec{b}\) = -4î + 6ĵ – 8k̂
= -2(2î – 3ĵ + 4k̂)
∴ \(\vec{b}\) = – 20 या \(\vec{a}\) = –\(\frac{1}{2}\)\(\vec{b}\)
सदिश \(\vec{b}\) को सदिश \(\vec{a}\) के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। अत: सदिश a तथा है सरेख हैं।
अत: \(\vec{b}\) = λ\(\vec{a}\), यहाँ λ = -2, \(\vec{a}\) = –\(\frac{1}{2}\)\(\vec{b}\), तब λ = –\(\frac{1}{2}\)

(ix) यदि P(A) = \(\frac{3}{5}\), P(B) = \(\frac{1}{5}\) और A एवं B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं। तो (P ∩ B) ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया है : P(A) = \(\frac{3}{5}\). P(B) = \(\frac{1}{5}\)
यदि A और B दो स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= \(\frac{3}{5} \times \frac{1}{5}=\frac{3}{25}\)

(x) यदि शीर्ष (2, – 6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 35
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
2 & -6 & 1 \\
5 & 4 & 1 \\
k & 4 & 1
\end{array}\right|\) = 35
R → R2 – R1, तथा R3 → R3 – R1 का प्रयोग करने पर,
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 6

(xi) वक्रों के कुल y = a sin(x + b), जिसमें a, b स्वेच्छ अचर हैं, को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया है, y = a sin (x + b) . … (i)
समीकरण (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष उत्तरोत्तर अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}\) = a cos (x + b) …. (ii)
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = – a sin (x + b) … (iii)

समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से a तथा b को विलुप्त करने पर
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0… (iv)

समीकरण (iv) स्वेच्छ अचरों a तथा b से मुक्त है, इसलिए यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

(xii) उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ a = 3î + ĵ + 4k̂ और b = î – ĵ + k̂ द्वारा दी गई हैं। (1)
हल:
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
\(\) = 5î + ĵ – 4k̂
इसलिए \(\)
अतः क्षेत्रफल \(\sqrt{42}\) वर्ग इकाई है।

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय R में, R = {(a, b):a ≤ b} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध र स्वतुल्य व संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है। [यहाँ R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। (2)
हल:
स्पष्ट रूप से a ≤ a, ∀ a ∈ R ⇒ (a, a) ∈ R
अंत: R स्वतुल्य है।
संक्रामक के लिए, माना (a, b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R, a, b, c ∈ R
⇒ a < b तथा b < c
⇒ a ≰ c = (a, c) ∉ R
⇒ अतः R संक्रामक है।

सममित के लिए,
माना a = 1, b = 2
जैसा कि 1 ≤ 2 = (1, 2) ∈ R
परन्तु, 241 = (2, 1) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।

प्रश्न 5.
यदि a = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) तथा b = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) एवं A2 = kA – 21 हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 7
किसी एक अवयव माना (a21) के संगत मानों की तुलना करने पर,
4 = 4k
⇒ k = 4/4 = 1
अतः k = 1

प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए : (2)
5x + 2y = 4
7x+ 3y = 5
हल :
दिया गया समीकरण निकाय है
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5

आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{l}
4 \\
5
\end{array}\right]\)

अब आव्यूह A का सारणिक |A|, |A|
= \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{array}\right|\) = 5 × 3 – 7 × 2
= 15 – 14 = 1
∴ |A| = 1 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है तथा A-1 का अस्तित्व है तथा निकाय संगत है।

यदि A में aij का सहगुणनखण्ड Aij हो तो
A11 = (-1)1 + 1 (3) = 3
A12 = (-1)1 + 2 = 7 = – 7
A21 = (-1)2 + 1 2 = – 2
A22 = (-1)2 + 2 5 = 5

अब A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
3 & -7 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\)

आव्यूह A का सहखण्डज आव्यूह = B’
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 8
अतः x = 2, y = – 3

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिन्दुओं पर असतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है जो x के बराबर यो x से कम है। (2)
हल:
दिया फलन
g(x) =x – [x]

(i) x = 0 पर सततता या असततता के लिए, बायीं सीमा
= limx→0– g(x)
= limh→0g(0 – h)
= limh→0g(- h)
= limh→0{(- h) – [- h]}
= – limh→0 (h) – lim h→0[-h]
= 0 – (-1) = 1
[क्योंकि 0 के पहले महत्तम पूर्णांक – 1 है जैसा कि वास्तविक संख्या रेखा पर दिखाया गया है।]
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 9
∴ अर्थात् बायीं सीमा = 1 ≠ 0 = दायीं सीमा
∴ अत: limx→0 g(x) का अस्तित्व नहीं है।
∴ फलन x = 0 पर सतत नहीं है अर्थात् असतत

(ii) माना x = c ≠ 0, कोई स्वेच्छ वास्तविक पूर्णांक संख्या है,
तब x = c पर सततता या असततता के लिए,
बायीं सीमा = limh→0g(x)
= limh→0{c – h) – [c – h]}
= limh→0(c – h) – limh→0to [c – 1]
= c – (c – 1) = c – c + 1 = 1
[क्योंकि c के पहले (c – 1) ही महत्तम पूर्णांक संख्या है।]

∴ limx→c–g(x) = 1

दायीं सीमा = limx→c+g(x)
= limh→0{(c + h)- [c + h]}
= limh→0(c + h) – limh→0[c + h]
= c – c = 0 [क्योंकि [c] ≤ c]
limx→c+g(x) = 0

∴ बायीं सीमा limx→c+g(x) = 1 ≠ 0
= दायीं सीमा limx→c+g(x)

∴ limx→c+g(x) का अस्तित्व नहीं है।
अतः फलन x = c पर सतत नहीं है अर्थात् असतत है।
चूँकि c एक स्वेच्छ पूर्णांक है। अतः g(x) सभी पूर्णांकों पर असतत है।

प्रश्न 8.
∫\(\frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}}\)dx का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 10

प्रश्न 9.
एक पासे को 7 बार उछालने पर तथ्यत: दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
एक पासे को उछालने पर {1, 2, 3, 4, 5, 6}
प्रतिदर्श समष्टि प्राप्त होती है।

तब, 5 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\) = p
5 न आने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\) = q
7 बार पासा उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 11

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

प्रश्न 10.
x के किस मान के लिए :
[1 2 1]\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0 है। (2)
हल:
प्रश्नानुसार,
[1 2 1]\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
⇒ [1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 1 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 0 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 2]\(\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
⇒ [1 + 4 + 1 2 + 0 + 0 0 + 2 + 2] \(\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
⇒ [6 2 4] \(\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
⇒ [6 × 0 + 2 × 2 +4 × x] = 0
⇒ 4 + 4x = 0
⇒ x = -4/4 = -1
∴ x = – 1

प्रश्न 11.
यदि x = a(θ + sin θ) तथा y = a(1 – cos θ) हो, तो में ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 12

प्रश्न 12.
सारणियों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि- (2)
\(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^{2} \\
1 & b & b^{2} \\
1 & c & c^{2}
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c — a)
हल:
L.H.S = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^{2} \\
1 & b & b^{2} \\
1 & c & c^{2}
\end{array}\right|\)
संक्रिया R2 → R2 – R1 तथा R3 → R3 – R1 से
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 13
R2 तथा R3 से क्रमशः (b – a) तथा (c – a) उभयनिष्ठ लेने पर,
= (b – a) (c – a)\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^{2} \\
0 & 1 & b+a \\
0 & 1 & c+a
\end{array}\right|\)

प्रथम स्तम्भ के अनुदिश सारणिक का प्रसरण करने पर,
= (b – a) (c – a) \(\left\{1\left|\begin{array}{ll}
1 & b+a \\
1 & c+a
\end{array}\right|\right\}\)
= (b – a) (c – a) {c + a – b – a}
= (b – a) (c – a) (c – b)
= (a – b) (b – c) (c – a)
= R.H.S. इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 14
ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 15
माना cos x = t
⇒ -sin x dx = dt

जब x = 0, तब t = cos 0 = 1
जब x = \(\frac{\pi}{2}\), तब t = \(\frac{\pi}{2}\) = 0
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 16

प्रश्न 14.
निम्नलिखित अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: (2)
\(\frac{dy}{dx}\) = y tan x; y = 1 यदि x = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{dy}{dx}\) = y tan x
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = tan x dx ….(i)

समीकरण (i) के दोनों पक्षों का समाकलन करने
∫\(\frac{dy}{y}\) = ∫ tan x dx
⇒ logy = – log cos x + C …(ii)

समीकरण (ii) में x = 0 तथा y = 1 रखने पर,
log i = -log cos 0 + c
⇒ 0 = – log 1 + C
⇒ 0 = 0 + C .
⇒ C = 0

C का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
log y = – log cos x
⇒ log y = – log\(\frac{1}{\sec x}\) = log secx
⇒ y = secx …(iii)

समीकरण (iii) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

प्रश्न 15.
यदि \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ + 3k̂, \(\vec{b}\) = -î + 2ĵ + k̂ और \(\vec{c}\) = 3î + ĵ इस प्रकार हैं कि \(\vec{a}\) + λ \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) पर लम्ब है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
प्रश्नानुसार, \(\vec{a}\) + λ \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) पर लम्ब है।
∴ (\(\vec{a}\) + λ \(\vec{b}\)). \(\vec{c}\) = 0
{(2î + 2ĵ + 3k̂) + 2.(- î + 2j + k̂)} (3î + ĵ) = 0
{{2 – λ)î + (2 + 2λ)ĵ + (3 + λ) k̂}.(3î + ĵ) = 0
= 3(2 – λ) î.î+ (2 – λ)î.ĵ) + 3(2 + 2λ)(ĵ.î) + (2 + 2λ)ĵ.ĵ+ 3(3 + λ) k̂ .î + (3 + λ)k̂.ĵ = 0
⇒ 3 (2 – λ) i. i + (2 + 2λ)j.j = 0
⇒ 3(2 – λ) + (2 + 2λ) = 0
⇒ 6 – 3λ + 2 + 2λ = 0
⇒ 8 – λ = 0
∴ λ = 8

प्रश्न 16.
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। यदि दोनों, स्वतन्त्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है। (2)
हल:
A द्वारा समस्या के हल होने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ A द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता,
P(Ā) = 1 – P(A)
= 1 – \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

तथा B द्वारा समस्या के हल होने की प्रायकिता
P(B) = \(\frac{1}{3}\)

द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता
P(B̄) = 1 – P(B)
= 1 – \(\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

∴ A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
∴ AB̄ और AB̄ भी स्वतन्त्र हैं।

यहाँ, P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{2}{3}\)
P(Ā) = \(\frac{1}{2}\), P(B̄) = \(\frac{1}{3}\)

∴ उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है, की प्रायिकता
= P(AB̄) + P(ĀB)
= P(A) P(B̄) + P(Ā).P(B)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\)
= \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2+1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

खण्ड – (स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए : (3)
tan-1(√x) = \(\frac{1}{2}\)cos-1\(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) x ∈ [0, 1]
हल:
R.H.S. = \(\frac{1}{2}\)cos (1)
माना x = tan2θ = tan θ = √x
θ = tan-1√x
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 17

अथवा

निम्नलिखित समीकरण को सरल कीजिए : (3)
tan-1\(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)= tan-1(x); x > 0
हल:
माना, x = tan θ
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 18

प्रश्न 18.
फलन xy + yx = 1 के लिए \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
माना u= x तथा v = yx
तब u + v = 1
पुनः u = xy तथा y = yx में दोनों फलनों के लघुगणक लेने पर,
log u = y log x तथा log v = x log y
अब दोनों फलनों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 19
अब (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) = 0 …………(iv)

समीकरण (iv) में \(\frac{du}{dx}\) तथा \(\frac{dv}{dx}\) के मान क्रमशः समीकरण (ii) तथा (ii) से रखने पर,
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 20
अथवा

मध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x2 – 4x – 3, जहाँ a =1 और b = 4 है। (3)
हल:
दिया गया फलन (x) = x2 – 4x – 3 एक बहुपद फलन है। बहुपद फलन सतत तथा अवकलनीय होता है। अतः फलन अन्तराल [1, 4] में सतत है तथा (1, 4) में अवकलनीय है।

अब f'(x) = 2x – 4, का अन्तराल (1, 4) में अस्तित्व है।
∴ अन्तराल (1, 4) में एक बिन्दु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि
f'(c) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\) …(i)
f(4)= 42 – 4 × 4 – 3 = 16 – 16 – 3 = – 3
f(1) = 12 – 4 × 1 – 3 = 1 – 4 – 3 = – 6
अब f(4) तथा f(1) के मान समी (i) में रखने पर,
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 21
ऐसा है कि f'(c) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
इस प्रकार मध्यमान प्रमेय का सत्यापन हुआ।

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

प्रश्न 19.
∫ \(\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}\)dx ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
I = ∫ \(\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}\)dx
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 22
तब I1 = ∫\(\frac{2 x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}\)dx
माना x2 + 2x + 3 = t
तब (2x + 2)dx = dt
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 23
= log |t + \(\sqrt{t^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\)| + C2
= log|x + 1 + \(\sqrt{(x+1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\)| + C2
= log|x + 1 + \(\sqrt{x^{2}+2 x+3}\)| + C2

I1 तथा I2 के मान (i) में रखने पर,
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 24

अथवा

∫\(\frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+3\right)}\) ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
मानां I = ∫\(\frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+3\right)}\)
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 25
अब \(\frac{1}{(t+1)(t+3)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+3}\)
⇒ 1 = A(t + 3) + B(t + 1)
1 = (A + B)t + 3A + B

दोनों पक्षों में t के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
A+ B = 0 तथा 3A+ B = 1

इन समीकरणों को हल करने पर,
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 26

प्रश्न 20.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a}\) = 3î – 4ĵ – 4k̂, \(\vec{b}\) = 2î – ĵ + k̂ और \(\vec{c}\) = î – 3ĵ – 5k̂ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं। (3)
हल:
मांना मूलबिन्दु 0 है, तब
प्रश्नानुसार,
\(\overrightarrow{O A}\) = \(\vec{a}\) = 3î – 4ĵ – 4k̂
\(\overrightarrow{O B}\) = \(\vec{b}\) = 2î – ĵ + k̂
तथा \(\overrightarrow{O C}\)= \(\vec{c}\) = î – 3ĵ – 5k̂
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 27
अब \(\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\vec{b}-\vec{a}\)
= (2î – 3ĵ + k̂)-(3î – 4ĵ – 4k̂)
= 2î – ĵ + k̂-3î + 4ĵ + 4k̂
= (2 – 3)î + (-1 + 4)ĵ+ (1 + 4)k̂
= – î + 3ĵ + 5k̂
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 28
î – 3ĵ – 5k̂ – (2î – ĵ + k̂)
= î – 3ĵ – 5k̂- 2î + ĵ – k̂
= (1 – 2)î + (-3 + 1)ĵ + (-5 – 1)k̂
= – î -2ĵ – 6k̂
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 29
= 3î – 4ĵ – 4k̂- (î – 3ĵ – 5k̂)
= 3î – 4ĵ – 4k̂ – î + 3ĵ + 5k̂
= (3 – 1)î + (-4 + 3)ĵ + (-4 + 5)k̂
= 2î – ĵ + k̂
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 30
अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है। अर्थात् बिन्दु A, B तथा C एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।

अथवा

सदिश (\(\vec{a}+\vec{b}\)) और (\(\vec{a}-\vec{b}\)) में से प्रत्येक के लंबवत् मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂ , \(\vec{b}\) = î + 2ĵ + 3k̂ हैं। (3)
हल:
हम पाते हैं कि \(\vec{a}+\vec{b}\) = 2î +3ĵ + 4k̂ और \(\vec{a}-\vec{b}\) = -ĵ – 2k̂

अब \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-\vec{b}\) दोनों पर लंब सदिश
(\(\vec{a}+\vec{b}\)) × (\(\vec{a}-\vec{b}\)) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -2
\end{array}\right|\)
= -2î + 4ĵ – 2k̂ = c (माना)

अब \(|\vec{c}|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2 \sqrt{6}\)
अतः अभीष्ट मात्रक सदिश
= \(\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=-\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{i}+\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{j}-\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k}\)

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

खण्ड – (द)
निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 31
ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 32
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 33
2x = t रखने पर
2 dx = dt या dx = \(\frac{1}{2}\)dt
जब x = 0 तब t = 0, जब x = \(\frac{π}{2}\), तब t = π
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 34
समीकरण (vi) से,
2I1 = I1 – \(\frac{π}{2}\)log 2 (I2 = I1)
∴I1 = –\(\frac{π}{2}\)log 2

I1 का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
I = 2I1 = 2(-\(\frac{π}{2}\)log2)
= – π log 2
I = – π log 2

अथवा

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 35
ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 36
sin x – cos x = t रखने पर,
(cos x + sin x) dx = dt
और (sin x – cos x)2 = t2
⇒ sin2 x + cos2x – 2 sin x cos x = ť2
⇒ 1 – 2 sin x.cos x = t2
⇒ 1 – sin 2x = t2
⇒ sin 2x = 1 – t2

जब x = 0, तब sin 0 – cos 0 = t
⇒ – 1 = t, या t = – 1
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 37

प्रश्न 22.
दर्शाइए कि अवकल समीकरण xcos\(\left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}\) = ycos\(\left(\frac{y}{x}\right)\) + x समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है :
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 38

F (x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन है, इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसको हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं:
y = vx ………..(ii)
समीकरण (ii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{dy}{dx}\) = v + x\(\frac{dv}{dx}\) …….(iii)

समीकरण (i) में y एवं \(\frac{dy}{dx}\) का मान प्रतिस्थापित करने पर
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 39
यह दिए हुए अवकल समीकरण (1) का व्यापक हल है।

अथवा

अवकल समीकरण (tan-1y – x)dy = (1 + y2)dy का हल ज्ञात कीजिए | (4)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है :
\(\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\) …(i)

समीकरण (i), \(\frac{dx}{dy}\) + P1x = Q1 के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है |
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 40
अतः I = ∫t et dt = t et – ∫1.et et = t et – et
= et(t – 1)
⇒ I = etan-1y(tan-1y – 1)

समीकरण (i) में I का मान प्रतिस्थापित करने पर
x.etan-1y = etan-1y(tan-1y – 1) + C
⇒ x = (tan-1y – 1) + C etan-1y

RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

प्रश्न 23.
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C तीन मशीन ऑपरेटर हैं। मशीन ऑपरेटर A,1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा B, 5% और C, 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर ऑपरेटर Aकुल समय का 50% लगाता है। ऑपरेटर B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है, तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है ? (4)
हल:
माना तीन मशीनों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ क्रमशः E1, E2, तथा E3, हैं।

पहले ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग
= P(E1) = 50% = \(\frac{50}{100}\) = 0.5

दूसरे ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग
= P(E2) = 30% = \(\frac{30}{100}\) = 0.3

तीसरे ऑपरेटर द्वारा. कुल समय का उपयोग
P(E3) = 20% = \(\frac{20}{100}\) = 0.2

माना A खराब उत्पाद की घटना है।
प्रथम ऑपरेटर 1% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01

दूसरा ऑपरेटर 5% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.05

तीसरा ऑपरेटर 7% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.07

यदिएकखराबसामग्री उत्पादितहै,तो A द्वाराउत्पादित किये जाने की प्रायिकता,
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 41

अथवा

ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते उत्तरोत्तर बिना प्रतिस्थापना के (या एक साथ) निकाले जाते हैं। बादशाहों की संख्या का माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
माना कि दो पत्ते निकालने में बादशाहों की संख्या को X से व्यक्त करते हैं। X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1 या 2 मान ले सकता है।

अब P(X = 0) = P(कोई बादशाह नहीं)
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 42
P(X = 1) = P(एक बादशाह और एक बादशाह नहीं)
RBSE 12th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi 43

Share this:

  • Click to share on WhatsApp (Opens in new window)
  • Click to share on Twitter (Opens in new window)
  • Click to share on Facebook (Opens in new window)

Related

Filed Under: Model Papers

Reader Interactions

Leave a Reply Cancel reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Primary Sidebar

Recent Posts

  • RBSE Solutions for Class 6 Maths Chapter 6 Decimal Numbers Additional Questions
  • RBSE Solutions for Class 11 Psychology in Hindi Medium & English Medium
  • RBSE Solutions for Class 11 Geography in Hindi Medium & English Medium
  • RBSE Solutions for Class 3 Hindi
  • RBSE Solutions for Class 3 English Let’s Learn English
  • RBSE Solutions for Class 3 EVS पर्यावरण अध्ययन अपना परिवेश in Hindi Medium & English Medium
  • RBSE Solutions for Class 3 Maths in Hindi Medium & English Medium
  • RBSE Solutions for Class 3 in Hindi Medium & English Medium
  • RBSE Solutions for Class 4 Hindi
  • RBSE Solutions for Class 4 English Let’s Learn English
  • RBSE Solutions for Class 4 EVS पर्यावरण अध्ययन अपना परिवेश in Hindi Medium & English Medium

Footer

RBSE Solutions for Class 12
RBSE Solutions for Class 11
RBSE Solutions for Class 10
RBSE Solutions for Class 9
RBSE Solutions for Class 8
RBSE Solutions for Class 7
RBSE Solutions for Class 6
RBSE Solutions for Class 5
RBSE Solutions for Class 12 Maths
RBSE Solutions for Class 11 Maths
RBSE Solutions for Class 10 Maths
RBSE Solutions for Class 9 Maths
RBSE Solutions for Class 8 Maths
RBSE Solutions for Class 7 Maths
RBSE Solutions for Class 6 Maths
RBSE Solutions for Class 5 Maths
RBSE Class 11 Political Science Notes
RBSE Class 11 Geography Notes
RBSE Class 11 History Notes

Copyright © 2023 RBSE Solutions

 

Loading Comments...