RBSE 12th Maths Model Paper Set 1 with Answers in Hindi

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RBSE Class 12 Maths Board Model Paper Set 1 with Answers in Hindi

समय : 2 घण्टे 45 मिनट
पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :

• परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न
(i) मान लीजिए कि f: R→ R, f(x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए:
(अ) f एकैकी आच्छादक है
(ब) f बहु-एक आच्छादक है
(स) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है
(द) fन तो एकैकी है और न आच्छादक है।
उत्तरः
(द) fन तो एकैकी है और न आच्छादक है।

(ii) यदि sin^-1 (1 – x) – 2 sin^-1x = \(\frac{\pi}{2}\) तो x का मान बराबर है:
(अ) 0, \(\frac{1}{2}\)
(ब) 1, \(\frac{1}{2}\)
(स) 0
(द) \(\frac{1}{2}\)
उत्तरः
(स) 0

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & a \\
0 & 1
\end{array}\right]\), तब 4″ (जब n ∈ N) बराबर है:
(अ) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & n a \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
(ब) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & n^{2} a \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
(स) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & n a \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
(द) \(\left[\begin{array}{cc}
n & n a \\
0 & n
\end{array}\right]\)
उत्तरः
(अ) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & n a \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

(iv) यदि ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\) और a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो ∆ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
(अ) a₁₁A₃₁ + a₁₂A₃₂ + a₁₃A₃₃
(ब) a₁₁A₁₁ + a₁₂A₂₁ + a₁₃A₃₁
(स) a₂₁A₁₁ + a₂₂A₁₂ + a₂₃A₁₃
(द) a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + a₃₁A₃₁
उत्तरः
(द) a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + a₃₁A₃₁

(v) यदि फलन इस प्रकार परिभाषित है कि

तो फलन के असततता का बिन्दु है:
(अ) x = – 3
(ब) x = 3
(स) x = 0
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) x = 3

(vi) ∫\(\frac{d x}{x^{2}+2 x+2}\) बराबर है:
(अ) x tan^{– 1} (x + 1) + C
(ब) tan^{– 1} (x + 1) + C
(स) (x + 1) sin^{– 1} x + C.
(द) tan^{– 1} x + C
उत्तरः
(ब) tan^{– 1} (x + 1) + C

(vii) तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(अ) 3
(ब) 2
(स) 1
(द) 0
उत्तरः
(द) 0

(viii) यदि \(\vec{a}\) = î – 7ĵ + 7k̂, \(\vec{a}\) = 3î – 2ĵ + 2k̂ तो \(|\vec{a} \times \vec{b}|\) का मान है:
(अ) 2√19
(ब) 19
(स) 19√2
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(स) 19√2

(ix) यदि एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता \(\frac{1}{5}\)है, तब 5 छात्रों में से 4 छात्रों के तैराक होने की प्रायिकता है:
(अ) ⁵C₄\(\left(\frac{4}{5}\right)^{4} \cdot \frac{1}{5}\)
(ब) \(\left(\frac{4}{5}\right)^{4} \cdot \frac{1}{5}\)
(स) ⁵C₁\(\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{4}\)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) ⁵C₄\(\left(\frac{4}{5}\right)^{4} \cdot \frac{1}{5}\)

(x) यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]\) इस प्रकार है कि A² = I तो :
(अ) 1 + α² + βy = 0
(ब) 1 – α² + βy = 0
(स) 1 – α² – βy = 0
(द) 1 + α² – βy = 0.
उत्तरः
(स) 1 – α² – βy = 0

(xi) यदि फलन इस प्रकार परिभाषित है कि

तो फलन के असततता के बिन्दु
(अ) x = 1, x = 3
(ब) x = – 1, x = – 3
(स) x = 1, x = – 3.
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) x = 1, x = 3

(xii) \((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})\) का मान है :
(अ) \(2(\vec{a}+\vec{b})\)
(ब) \(2(\vec{a}-\vec{b})\)
(स) \(2(\vec{a} \times \vec{b})\)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(स) \(2(\vec{a} \times \vec{b})\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए
(i) यदि f : R → R, f(x) = sin x तथा g : R → R, g(x) = x हो, तो gof(x) = _______________ होगा।
उत्तरः
sin²x

(ii) sin [tan^-1(1) + cos^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)] का मान _______________ होगा।
उत्तरः
1

(iii) यदि A + B = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right]\) और A – 2B = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\) हो, तो A = _______________ होगा।
उत्तरः
\(\left[\begin{array}{ll}
1 / 3 & 1 / 3 \\
2 / 3 & 1 / 3
\end{array}\right]\)

(iv) [-√3, 0] में फलन f(x) = x³ – 3x पर रोल प्रमेय के लिए c का मान _______________ है। 1
उत्तरः
– 1

(v)

का मान _______________ होगा।
उत्तरः
1 + log\(\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\)

(vi) यदि \(\vec{a}\) = 4î – ĵ + k̂ तथा \(\vec{a}\) = 2î – 2ĵ + k̂ तथा सदिश के समान्तर इकाई सदिश _______________ होगा। 1
उत्तरः
\(\frac{1}{7}\)(6î – 3ĵ + 2k̂)

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न :
(i) यदि. f: R → R, f (x) = x² – 5x + 7 हो, तोf-1 (1) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f^-1 (1) = x
f(x) = 1
⇒ x² – 5x + 7 = 1
⇒ x² – 5x + 6 = 0
⇒ x² – 3x – 2x + 6 = 0
⇒ x (x – 3)- 2(x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (x – 2) = 0
∴ x = 2, 3
अतः f^-1(1) = {2, 3}.

(ii) सरल कीजिए : 2 tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2 cosecx).
हल:
दिया है,
2 tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2 cosec x)
= tan^-1\(\left(\frac{2 \cos x}{1-\cos ^{2} x}\right)\) = tan^-1(2 cosec x)
∴ \(\frac{2 \cos x}{1-\cos ^{2} x}\) = 2 cosec x
\(\frac{2 \cos x}{\sin ^{2} x}\) = 2 cosec x
⇒ cos x = sin²x × cosec x
cos x = sin x
⇒ tan x = 1
⇒ tan x = tan \(\)
अत: x = \(\frac{\pi}{4}\)

(iii) प्रदत्त समीकरण को x, y, z तथा t के लिए हल कीजिए, यदि :
\(2\left[\begin{array}{ll}
x & z \\
y & t
\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
0 & 2
\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{ll}
3 & 5 \\
4 & 6
\end{array}\right]\)
हल:

संगत अवयवों की तुलना करने पर,
2x + 3 = 9, 2z – 3 = 15, 2y = 12, 2t + 6 = 18
⇒ 2x = 9 – 3, 2z = 15 + 3, y = \(\frac{12}{2}\), 2t = 18 – 6
⇒ 2x = 6, 2z = 18, y = 6, 2t = 12
∴ x = 3, z = 9, y = 6, t = 6

(iv) सारणिकों का प्रयोग करके A(1, 3) और B(0,0) को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए और k का मान ज्ञात कीजिए यदि एक बिन्दु D(k,0) इस प्रकार है कि ∆ ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है|
हल:
माना AB पर कोई बिन्दु P (x, y) है, तब ∆ABP का क्षेत्रफल = 0
अर्थात् \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
x & y & 1
\end{array}\right|\) = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\)(y – 3x) = 0 या y = 3x.
जो अभीष्ट रेखा AB का समीकरण है।
किन्तु ∆ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई दिया है अतः
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
k & 0 & 1
\end{array}\right|\) = ± 3
= \(\frac{1}{2}\) [1 (0 – 0) – 3(0 – k) + 1 (0 – 0)] = 3
⇒ \(\frac{3 k}{2}\) = 3
अतः k = 2

(v) log cos x का के e^x सापेक्ष अवकलन कीजिए।
हल:
माना y = log cos x
तथा u = e^x

(vi) ∫\(\int \frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∫\(\int \frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
माना sin^-1x = t
तब \(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) dx = dt
∴ ∫\(\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\) dx = ∫t dt = \(\frac{t^{2}}{2}\) + C
= \(\frac{\left(\sin ^{-1} x\right)^{2}}{2}\) + C

(vii) अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}\) का व्यापक हल्ल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण

यदि अभीष्ट व्यापक हल है।

(viii) यदि सदिश \(\vec{a}\) = 5î + yĵ + 4k̂ तथा \(\vec{b}\) = xî + 3ĵ + k̂ समान हों, तो x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दो सदिश समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके संगत घटक समान हों।
अतः \(\vec{a}\) = \(\vec{b}\) तब उनके संगत घटकों को बराबर करने पर,
5 = x, y = 3 तथा z = 4
अर्थात् x = 5, y = 3 तथा z = 4

(ix) यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 और P(E ∩ F) = 0.2, तो P(E/F) और P(F/E) ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया है:
P(E) = 0.6, P(F) = 0.3, P(E ∩ F) = 0.2
तब P(E/F) = \(\frac{P(E \cap F)}{P(F)}\) = \(\frac{0 \cdot 2}{0 \cdot 3}\) = \(\frac{2}{3}\)
और P(F/E) = \(\frac{P(E \cap F)}{P(E)}\) = \(=\frac{0 \cdot 2}{0 \cdot 6}\) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(x) दर्शाइए कि: \(\left|\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a+2 x & b+2 y & c+2 z \\
\boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & z
\end{array}\right|\) = 0
हल:
हम जानते हैं कि

(xi) अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि, 1 + y² ≠ 0, इसलिए चरों को पृथक करते हुए दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
\(\frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}}\)
⇒ \(\int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}}\)
⇒ tan^-1y = tan^-1 x + C
यही व्यापक हल है।

(xii) सदिश 7î + 3ĵ + k̂ का सदिश 8î – ĵ + 7k̂ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:
अभीष्ट प्रक्षेप

खण्ड-(स)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि f (x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f: R → R, न तो एकैकी है और न ही आच्छादक
हल:
यहाँ f : R → R तथा f(x) = | x |, तब
f(1) = | 1 | = 1 तथा f(- 1) = | – 1| = 1
यहाँ 1 ≠ – 1 ⇒ f(1) = f(- 1) = 1
अर्थात् डोमेन के दो अवयवों 1 तथा – 1 का प्रतिबिम्ब एक ही अवयव 1 है
∴ f एकैकी नहीं है।
f(o) = 0
पुनः f(1) = (1) = 1,
f(-1) = |- 1 | = 1
f(2) = | 2 | = 2,
f(-2) = |- 2 | = 2
f(3) = | 3 | = 3,
f(-3) = | – 3 | = 3
f(4) = | 4 | = 4,
f(-4) = | – 4 | = 4
चूँकि f के सहडोमेन में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं परन्तु इसकी कोई भी ऋणात्मक संख्या के डोमेन के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः फलन नि तो एकैकी है और न ही आच्छादक ।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
X तथा Y ज्ञात कीजिए, यदि X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
0 & 9
\end{array}\right]\) तथा X – Y = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 6 \\
0 & -1
\end{array}\right]\) है। (2)
हल:
यहाँ, (X +Y) + (X – Y)

प्रश्न 6.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right]\), तो दिखाइए |2A| = 4|A| (2)
हल:

= 4(1 × 2 – 4 × 2)
= 4(2 – 8)
= 4 × (-6) = – 24 …(ii)
∴ (i) तथा (ii) से,
|2A| = 4|A|

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि फलन

द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन नहीं है ?
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{x}{(x+1)(x+2)}\) का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
हल:
आंशिक भिन्नों का प्रयोग करने पर, __ x
माना \(\frac{x}{(x+1)(x+2)}\) = \(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\)
या x = A(x + 2) + B(x + 1)
या x = (A + B)x + 2A + B
दोनों पक्षों में x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
A+ B = 1, 2A + B = 0
इन समीकरणों को हल करने पर,
A = -1 तथा B = 2.
∴ \(\frac{x}{(x+1)(x+2)}\) = \(\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x+2}\)
∴ \(\int \frac{x}{(x+1)(x+2)}\) dx
= \(-\int \frac{d x}{x+1}+\int \frac{2}{x+2}\) dx
= – log | x + 1 |+ 2 log |x + 2 |+ C
= – log |x + 1 | + log | x + 2 |² + C
= log \(\frac{(x+2)^{2}}{|x+1|}\) + C
(∵ (x + 2)² > 0)

प्रश्न 9.
एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है?
हल:
माना b लड़के को व g लड़की को निरूपित करता है। परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {(b, b), (g, b), (b, g), (g, g)}
माना E तथा F क्रमशः निम्नलिखित घटनाओं को दर्शाते हैं:
E : ‘दोनों बच्चे लड़के हैं’
F : ‘बच्चों में से कम से कम एक लड़का है’
तब E = {(b, b)} और F = {(b, b), (g, b), (b, g)}
अब E ∩ F = {(b, b)}
अतः P(F) = \(\frac{3}{4}\) और P (E ∩ F ) = \(\frac{1}{4}\)
इसलिए अभीष्ट प्रायिकता
P(E|F) = \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}\) = \(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}\) = \(\frac{1}{3}\)

प्रश्न 10.
प्रारम्भिक संक्रियाओं के प्रयोग द्वारा आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{array}\right]\) का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
प्रारम्भिक पंक्ति संक्रियाओं के प्रयोग करने के लिए हम A = IA लिखते हैं, अर्थात्

प्रश्न 11.
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ± 1, तो सिद्ध कीजिए कि: \(\frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{2}(a+y)}{\sin a}\) (2)
हल:

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (3, 8), (-4, 2) और (5, 1) हैं।
हल:
त्रिभुज का क्षेत्रफल
∆ = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
3 & 8 & 1 \\
-4 & 2 & 1 \\
5 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\)[3 (2 – 1) – 8 (- 4 – 5) + 1 (- 4 – 10)]
= \(\frac{1}{2}\) (3 + 72 – 14) = \(\frac{61}{2}\) वर्ग इकाई

प्रश्न 13.
योगफल की सीमा के रूप में

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
परिभाषा के अनुसार

गुणोत्तर श्रेणी के n पदों के योगफल के सूत्र का उपयोग करते हुए जहाँ a = 1, r = \(e^{\frac{2}{n}}\)

प्रश्न 14.
ऐसे परवलयों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिंदु पर है तथा जिनका अक्ष धनात्मक x-अक्ष की दिशा में है। (2)
हल:
माना कि अभीष्ट परवलयों के कुल को P से निर्दिष्ट किया जाता है और उस कुल के किसी सदस्य की नाभि (a, 0) पर है जिसमें a एक धनात्मक स्वेच्छ अचर है । इसलिए कुल P का समीकरण है:
y² = 4ax ……. (i)

समीकरण (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2y\(\frac{d y}{d x}\) = 4a ….. (ii)
समीकरण (ii) से 4a का मान समीकरण (i) में रखने पर
y² = \(\left(2 y \frac{d y}{d x}\right)(x)\)
अथवा y² – 2xy\(\frac{d y}{d x}\) = 0 …… (iii)
समीकरण (iii) दिए हुए परवलयों के कुल का अवकल समीकरण है।

प्रश्न 15.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष बिंदु A(1, 1, 1), B(1, 2, 3) और C(2, 3, 1) हैं। (2)
हल:
यहाँ \(\overline{\mathrm{AB}}\) = ĵ + 2k̂ और \(\overline{\mathrm{AC}}\) = î + 2ĵ
दिए हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)\(|\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|\)
अब
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = \(\left|\begin{array}{lll}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right|\) = – 4î + 2ĵ – k̂
∴ \(|\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|\) = \(\sqrt{16+4+1}\) = √21
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\)√21 वर्ग इकाई है।

प्रश्न 16.
एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए, जहाँ “4 से बड़ी संख्या” को एक सफलता माना गया है। (2)
हल:
जब पासे फेंके जाते हैं, तो प्रतिदर्श समष्टि के परिणामों की कुल संख्या = 6 × 6 = 36.
एक पासे पर 4 से अधिक संख्या = 5, 6
∴ पासे पर 4 से अधिक संख्या आने की प्रायिकता
= \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
पासे पर 4 से अधिक संख्या न आने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
अब P(0) = P(पासे पर दोनों बार 5, 6 नहीं आता)
= \(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)
P(1) = P(पासे पर एक बार 5 या 6 आना)
= \(2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)
P(2) = P(पासे पर दोनों बार 5 या 6 आना)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-

खण्ड-(स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि : sin^-1\(\frac{12}{13}\) + cos^-1\(\frac{4}{5}\) + tan^-1\(\frac{63}{16}\) = π
अथवा
सरल कीजिए : tan^-1\(\left\{2 \sin \left(2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}\).
हल:

माना sin^-1\(\frac{12}{13}\) = x, cos^-1\(\frac{4}{5}\) = y, tan^-1\(\frac{63}{16}\) = z
⇒ sin x = \(\frac{12}{13}\), cos y = \(\frac{4}{5}\), tan z = \(\frac{63}{16}\)
∴ cos x = \(\frac{5}{13}\), sin y = \(\frac{3}{5}\)
अब tan x = \(\frac{12}{5}\) और tan y = \(\frac{3}{4}\)
अब tan (x + y) = \(\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}\)
= \(\frac{\frac{12}{5}+\frac{3}{4}}{1-\frac{12}{5} \times \frac{3}{4}}\) = – \(\frac{63}{16}\)
⇒ tan (x + y) = – tan z
अर्थात् tan (x + y) = tan (- z) .
⇒ tan (x + y) = tan (π – z)
इसलिए x + y = – z or x + y = π – z
क्योंकि x, y तथा z धनात्मक हैं,
इसलिए x + y ≠ – z
⇒ x + y + z = π
अत: sin^-1 = \(\frac{12}{13}\) + cos^-1 \(\frac{4}{5}\) + tan^-1\(\frac{63}{16}\) = π

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = |x – 1|; x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है। (3)
अथवा
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन (x) = [x] 0 < x < 3, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल:

प्रश्न 19.
∫\(\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)}\) dx का मान ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
∫\(\sqrt{x^{2}+4 x+5}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना \(\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}\)
या x = A(x² + 1) + (Bx + C)(x – 1)
या x = A(x² + 1) + (Bx² + Cx – Bx – C)
या x = (A + B)x² + (C – B)x + A – C
दोनों पक्षों में x, x² के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
A + B = 0, C – B = 1, A – C = 0
इन समीकरणों को हल करने पर,

प्रश्न 20.
यदि बिंदुओं A, B, C और D, के स्थिति सदिश क्रमशः î + ĵ + k̂, 2î + 5ĵ, 3î + 2ĵ – 3k̂ और î – 6ĵ – k̂ हैं, तो सरल रेखाओं AB तथा CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। निगमन कीजिए कि AB और CD सरेख हैं| (3)
अथवा
मान लीजिए \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) और \(\vec{c}\) तीन सदिश इस प्रकार हैं कि |\(\vec{a}\)| = 3, | \(\vec{b}\)| = 4, |\(\vec{c}\)| = 5 और इनमें से प्रत्येक, अन्य दो सदिशों के योगफल पर लंबवत् हैं तो, |\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)| ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि θ, AB और CD, के बीच का कोण है तो θ, \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) के बीच का भी कोण है। अब \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = B का स्थिति सदिश – A का स्थिति सदिश.
= (2î + 5ĵ) – (î + ĵ + k̂) = î + 4ĵ – k̂

क्योंकि 0 ≤ θ ≤ π, इसलिए θ = π है। यह दर्शाता है कि AB तथा CD एक दूसरे के सरेख हैं।

खण्ड-(द)
निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

हल:
माना

प्रश्न 22.
बिन्दु \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 (4)
अथवा
निम्न अवकल समीकरण के लिए दिये हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y cot x = sin 2x ; y = 2 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\).
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0
⇒\(\frac{\sin x}{\cos x}\) dx – \(\frac{\sin y}{\cos y}\) dy = 0
⇒ tan x dx + tan y dy = 0
समाकलन करने पर,
∫tan x dx + ∫ tan y dy = 0
⇒ log sec x + log sec y = log C
⇒ log (sec x sèc y) = log C
⇒ sec x.sec y = C …(i)
वक्र (0, π/4) से जाता है। अतः समीकरण (i) में x = 0, y = π/4 रखने पर,
sec 0 × sec \(\frac{\pi}{4}\) = C
⇒ 1 × √2 = C
∴ C = √2
C का मान समीकरण (i) में
sec x sec y = √2
⇒ \(\frac{1}{\cos y}\) × sec x = 2
⇒ cos y = \(\frac{\sec x}{\sqrt{2}}\)
जो अभीष्ट वक्र का समीकरण है।

प्रश्न 23.
एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{100}\) है|
इसकी क्या प्रायिकता है कि वह (i) न्यूनतम एक बार, (ii) तथ्यतः एक बार, (iii) न्यूनतम दो बार, इनाम जीत लेगा।
अथवा
मान लें किसी यादृच्छिक चुने गए विद्यालयी दिवस में पढ़ाई के घंटों को x से दर्शाया जाता है। x के मान x लेने की प्रायिकता निम्नलिखित तरह से है, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है:

(i) k का मान ज्ञात कीजिए
(ii) इस बात की क्या प्रायिकता है कि आप न्यूनतम दो घंटे पढ़ते हैं? तथ्यतः दो घंटे पढ़ते हैं? अधिकतम दो घंटे पढ़ते हैं?
हल:
प्रत्येक टिकट जीतने की प्रायिकता = \(\frac{1}{100}\) प्रत्येक टिकट हारने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{1}{100}\) = \(\frac{99}{100}\)

(i) न्यूनतम एक बार जीतने की प्रायिकता
= 1 – \(\left(\frac{99}{100}\right)^{50}\) =1 – (0.99)⁵⁰

(ii) तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायिकता
= ⁵⁰C₁ \(\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\left(\frac{1}{100}\right)^{1}\) = \(\frac{1}{2}\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\)

(iii) न्यूनतम दो बार जीतने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) + … + P(50)
= [P(0) + P(1) + … + P(50)] – [P(0) + P(1)]
= 1 – [P(0) + P(1)]