RBSE 12th Maths Model Paper Set 2 with Answers in Hindi

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RBSE Class 12 Maths Model Paper Set 2 with Answers in Hindi

समय : 2 घण्टे 45 मिनट
पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :

• परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न
(i) मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में, R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4; 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए : (1)
(अ) R स्वतुल्य तथा सममित है किन्तु संक्रामक नहीं है।
(ब) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
(स) R सममित तथा संक्रामक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(द) R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
उत्तरः
(ब) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।

(ii) यदि sin-ix = y हो, तो : (1)
(अ) 0 ≤ y ≤ π
(ब) \(-\frac{\pi}{2}\) ≤ y ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(स) 0 < y < π
(द) \(-\frac{\pi}{2}\) ≤ y ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
उत्तरः
(ब) \(-\frac{\pi}{2}\) ≤ y ≤ \(\frac{\pi}{2}\)

(iii) यदि A’= A, जहाँ A’, आव्यूह A का परिवर्त है, तो आव्यूह A है| (1)
(अ) शून्य आव्यूह
(ब) सममित आव्यूह
(स) विषम सममित आव्यूह
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) सममित आव्यूह

(iv) माना A = \(\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{array}\right]\) तब आव्यूह A के लिए सत्य कथन है. (1)
(अ) A एक शून्य आव्यूह है ।
(ब) A = (- 1)I, जहाँ I इकाई आव्यूह है
(स) A^-1 का अस्तित्व नहीं है
(द) A² = O (शुन्य आव्यूह)
उत्तरः
(द) A² = O (शुन्य आव्यूह)

(v) यदि फलन fजो इस प्रकार परिभाषित है कि – (1)

x = π/2 पर सतत है तो a तथा b के मान हैं
(अ) 4, \(\frac{1}{2}\)
(ब) \(\frac{1}{2}\), 4
(स) –\(\frac{1}{2}\) -4
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) \(\frac{1}{2}\), 4

(vi) यदि f(a + b – x) = f(x) तो ∫^b _a x f(x) dx बराबर है : (1)

उत्तरः

(vii) अवकल समीकरण \(\frac{y d x-x d y}{y}\) = 0 का व्यापक हल है : (1)
(अ) xy = C
(ब) x = Cy²
(स) y = Cx
(द) y = Cx²
उत्तरः
(स) y = Cx

(viii) यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो सरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य नहीं है : (1)
(अ) \(\vec{b}\) = λ\(\vec{a}\), किसी अदिश के लिए
(ब) \(\vec{a}\) = ± \(\vec{b}\)
(स) \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) क्रमागत घटक समानुपाती हैं
(द) दोनों सदिशों \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) की दिशा समान हैं, परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।
उत्तरः
(द) दोनों सदिशों \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) की दिशा समान हैं, परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।

(ix) यदि P(A/B) > P(A), तब निम्न में से कौन सही है : (1)
(अ) P(B/A) < P(B)
(ब) P(A/B) < (A).P(B) (स) P(B/A) > P(B)
(द) P(B/A) = P(B)
उत्तरः
(स) P(B/A) > P(B)

(x) cos θ \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\) + sin θ \(\left[\begin{array}{rr}
\sin \theta & -\cos \theta \\
\cos \theta & \sin \theta
\end{array}\right]\) का हल है : (1)
(अ) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
(ब) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
(स) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
(द) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right]\)
उत्तरः
(अ) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

(xi) यदि फलन / इस प्रकार परिभाषित है कि

तो फलन के असततता का बिन्दु है : (1)
(अ) x = 1
(ब) x = -1
(स) x = 2
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) x = 1

(xii) यदि \(\vec{a}\) = 2î – ĵ + 2k̂ तथा \(\vec{a}\) = -î + ĵ – k̂ हो तो \(\vec{a}+\vec{b}\) के अनुदिश मात्रक सदिश है : (1)
(अ) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(î + ĵ)
(ब) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(î + k̂)
(स) \(\frac{1}{2}\)î + ĵ + k̂)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(î + k̂)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए :
(i) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर द्विआधारी संक्रिया * इस प्रकार परिभाषित है कि a*b = \(\frac{5 a b}{13}\) ∀ a, b ∈ R तो संक्रिया * के लिए तत्समक अवयव ______________________ है। (1)
उत्तरः
\(\frac{13}{5}\)

(ii) यदि sin^-1x + sin^-1y = \(\frac{π}{2}\) तो x\(\sqrt{1-y^{2}}\) + y\(\sqrt{1-x^{2}}\) का मान ______________________ है। (1)
उत्तरः
1

(iii) यदि [2 1 3]\(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right]\) = A, तब A का क्रम ______________________ है। (1)
उत्तरः
1 × 1

(iv) [-√3, 0] में फलन f(x) = x³ – 3x पर रोल प्रमेय के लिए c का मान ______________________ है। (1)
उत्तरः
-1

(v)

का मान ______________________है। (1)
उत्तरः
\(\frac{8}{3}\)

(vi) यदि एक अशून्य सदिश है तो (\(\vec{a}\).î)î + (\(\vec{a}\).ĵ)ĵ + (\(\vec{a}\).k̂)k̂ ______________________. (1)
उत्तरः
\(\vec{a}\)

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न
(i) मान लीजिए कि f:{2, 3, 4, 5} + {3, 4, 5, 9} और g : {3, 4, 5, 9} -7 17, 11, 15} दो फलन इस प्रकार हैं कि f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = f(5) = 5 और g (3) = g (4) = 7 तथा g(5) = g (9) = 11, तो gof ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
चूँकि gof (2) = g ((2)) = g (3) = 7,
gof (3) = g ((3)) = g (4) = 7,
gof (4) = g ((4)) = g (5) = 11
और gof(5) = g (5) = 11.

(ii) tan^-1(tan\(\frac{7 \pi}{6}\)) का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:

(ii) A = \(\left[\begin{array}{ccc}
\sqrt{3} & 1 & -1 \\
2 & 3 & 0
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & \sqrt{5} & 1 \\
-2 & 3 & \frac{1}{2}
\end{array}\right]\) है, तो A+ B ज्ञात कीजिए। (1)
हल:

(iv) सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
102 & 18 & 36 \\
1 & 3 & 4 \\
17 & 3 & 6
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
ध्यान दीजिए कि

[∵ R₁ तथा R₃ समान है]

(v) e^{cos x} के सापेक्ष sin²x का अवकलन कीजिए। (1)
हल:
माना u(x) = sin²x तथाv(x) = e^{cos x} है।
यहाँ हमें \(\frac{d u}{d v}=\frac{d u / d x}{d v / d x}\) ज्ञात करना है।
\(\frac{d u}{d v}\) = 2 sin x cos x
\(\frac{d v}{d x}\) = e^{cos x} (-sin x) = -(sin x)e^{cos x}
अतः \(\frac{d u}{d v}=\frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x e^{\cos x}}=\frac{2 \cos x}{e^{\cos x}}\)

(vi) ∫\(\frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}}\) dx का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:

(vii) अवकल समीक \(\frac{d y}{d x}\) = -4xy² का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, यदि y = 1 जब x = 0 हो। (1)
हल:
यदि y ≠ 0, दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
\(\frac{d y}{y^{2}}\) = – 4xdx . … (i)
समीकरण (i) के दोनों पक्षों का समाकलन करने

समीकरण (ii) में y = 1 और x = 0 प्रतिस्थापित करने पर C = -1
C का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर दिए हुए अवकल समीकरण का प्राप्त विशिष्ट
हल = \(\frac{1}{2 x^{2}+1}\)

(viii) सदिश \(\vec{a}\) = î + ĵ + 2k̂ के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
सदिश \(\vec{a}\) के अनुदिश मात्रक सदिश

जो \(\vec{a}\) के अनुदिश अभीष्ट मात्रक सदिश है।

(ix) एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक पूर्णांक लिखकर रखे गए और उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया। इस बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया। यदि यह ज्ञात हो कि निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तो इस संख्या के सम होने की क्या प्रायिकता है? (1)
हल:
माना A घटना ‘निकाले गए कार्ड पर सम संख्या है’ और B घटना ‘निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 से बड़ी है’ को निरूपित करते हैं। हमें P(A|B) ज्ञात करना है।
परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, . __6, 7, 8, 9, 10}
तब A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
और A ∩ B = {4, 6, 8, 10}
अब P(A) = \(\frac{5}{10}\), P(B) = \(\frac{7}{10}\) और P(A ∩ B) = \(\frac{4}{10}\)
अतः P(A|B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7}\)

(x) सिद्ध कीजिए कि \(\left|\begin{array}{ccc}
a & a+b & a+b+c \\
2 a & 3 a+2 b & 4 a+3 b+2 c \\
3 a & 6 a+3 b & 10 a+6 b+3 c
\end{array}\right|\) = a³. (1)
हल:

(xi) सत्यापित कीजिए कि फलन y = a cos x + b sin x, जिसमें a, b ∈ R, अवकल समीकरण \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0 का हल है। (1)
हल:
दिया हुआ फलन है,
y = a cos x + b sin x dy
\(\frac{d y}{d x}\) = – a sin x + b cos x dx
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) =- a cos x – b sin x
बायाँ पक्ष
= \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y
= (- a cos x – b sin x) + (a cos x + b sin x) = 0 = दायाँ पक्ष ।
अतः दिया हुआ फलन, दिए हुए अवकल समीकरण का एक हल है।

(xii) सदिश 5î – ĵ + 2k̂ के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है। (1)
हल:
माना \(\vec{a}\) = 5î – ĵ + 2k̂
तब |\(\vec{a}\)| = |5î – ĵ + 2k̂|
= \(\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{30}\)
सदिश \(\vec{a}\) के अनुदिश मात्रक सदिश

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय {0, 1, 2, 3, 4, 5} में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए

सिद्ध कीजिए कि शून्य (0) इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव a ≠ 0 व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि 6 – a; a का प्रतिलोम है। (2)
हल:
यहाँ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} या

(i) माना तत्समक अवयव e है, तब
a*e = e*a = a
यदि e = 0, तब
a*e = a + 0 = a
e*a = 0 + a = a
∴ a*e = e*a = a
∴ 0 तत्संमक अवयव है।

(ii) माना a का प्रतिलोम b है, तब
a*b = b*a = e
अब a*(6 – a) = a + (6 – a) – 6
= a + 6 – a – 6 = 0
तथा (6 – a)*a = (6 – a) + a – 6 = 0
∴ a*(6 – a) = (6 – a)*a = 0
अतः A के प्रत्येक अवयव a का प्रतिलोम 6 – a है

प्रश्न 5.
यदि 3\(\left[\begin{array}{cc}
x & y \\
z & w
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
x & 6 \\
-1 & 2 w
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
4 & x+y \\
z+w & 3
\end{array}\right]\) है, तो x, y, z तथा w के मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

⇒ x = 2
2y = 6 + 2 ⇒ 2y = 8,
w = 3,तो 2z = W – 1
⇒ 2z = 3 – 1 = 2
∴ z = 1
∴ अतः x = 2, y = 4, z = 1, w = 3.

प्रश्न 6.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
माना ∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{array}\right|\)
संक्रिया C₁ → C₁ + C₂ + C₃ से,

= 2(x + y) {x × (-x) – (x – y) × (-y)}
= 2(x + y) {-x² + xy – y²}
= – 2(x + y) (x² – xy + y²)
= – 2(x³ + y³).

प्रश्न 7.
sin^-1 3x का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए। (2)
हल:
माना y = sin^-1 3x
3x = 1 रखने पर,
y = sin^-1t
तथा t = 3x

प्रश्न 8.

का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

प्रश्न 9.
एक पासे को तीन बार उछाला जाता है, तो कम-से-कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
एक पासे पर सम संख्या 2, 4, 6 तीन तरीकों से आ सकती है।
एक पासे के उछालने पर प्रतिदर्श परिणाम
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

∵ सम संख्या आने की प्रायिकता =\(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
∴ एक सम संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)

∴ तीनों पासों पर सम संख्या आने की प्रायिकता
\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
अतः तीनों पासों को उछालने पर कम-से-कम
एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 5A + 7I = 0. (2)
हल:

अत: A² – 5A + 71 = 0

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है। (2)
हल:
दिया गया फलन
f(x) = |cos x| माना x = c ∈ R कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है,
तब

∴ फलन x = c पर सतत है।
∴ c एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है। अतः फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
∴ फलन (x) = |cos x| सतत है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : \(\left|\begin{array}{lll}
x & x^{2} & y z \\
y & y^{2} & z x \\
z & z^{2} & x y
\end{array}\right|\) = (x – y) (y – z) (z – x) × (xy + yz + zx). (2)
हल:
माना ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
x & x^{2} & y z \\
y & y^{2} & z x \\
z & z^{2} & x y
\end{array}\right|\)
संक्रियाओं R₁ → R₁ – R₂ तथा R₂ → R₂ – R₃ से,

R, तथा R, से क्रमशः (x – y) तथा (y – z) उभयनिष्ठ लेने पर,
= (x – y) (y – 2)\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x+y & -z \\
1 & y+z & -x \\
z & z^{2} & x y
\end{array}\right|\)
संक्रिया R₂ → R₂ – R₁ से,
= (x -y) (y – z) \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x+y & -z \\
0 & z-x & z-x \\
z & z^{2} & x y
\end{array}\right|\)

R₂ से (z – x) उभयनिष्ठ लेने पर,
= (x -y) (y – 2) (z –x) \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x+y & -z \\
0 & 1 & 1 \\
z & z^{2} & x y
\end{array}\right|\)

प्रथम स्तम्भ C₁ के अनुदिश प्रसरण करने पर, = (x -y) (y – 2) (z – x) × \(\left\{1\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
z^{2} & x y
\end{array}\right|+z\left|\begin{array}{cc}
x+y & -z \\
1 & 1
\end{array}\right|\right\}\)
= (x -y) (y – z) (z –x) × {xy – z² + z(x + y + z)}
= (x – y) (y – z) (z – x) × (xy – z² + xz + yz + z²)
= (x – y) (y – z) (z – x) × (xy + yz + zx) = R.H.S.

प्रश्न 13.

का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण xy \(\frac{dy}{dx}\) = (x + 2) (y + 2) के लिए बिन्दु (1, -1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण

⇒ -1 – 2 log|-1+2 | = 1 + 2 log 1 + C
⇒ – 1 — 2 log 1 = 1 + 2 × 0 + C
⇒ -1 – 0 = 1 + C.
⇒ C = – 1 – 1 = – 2
⇒ C = -2

C का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
y – 2 log (y + 2) = x + 2 log x – 2
⇒ y-x + 2 = 2 log x + 2 log (y + 2)
⇒ y-x + 2 = log x² + log (y + 2)²
⇒ y-x + 2 = log {x² (y + 2)²}
जो वक्र का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 15.
सदिश î + 2ĵ + 3k̂ का दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
माना सदिश \(\vec{r}\) = î + 2ĵ + 3k̂
यदि a, b, c सदिश \(\vec{r}\) के दिक्-अनुपात हों तथा l, m तथा n दिक्-कोसाइन हों, तो a = 1, b = 2, c = 3

अतः दिए गए सदिश के दिक्-कोसाइन \(\frac{\pm 1}{\sqrt{14}}, \frac{\pm 2}{\sqrt{14}}\) तथा \(\frac{\pm 3}{\sqrt{14}}\)

प्रश्न 16.
एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है और अनुमान लगाने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है। मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है ? यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है ? (2)
हल:
माना घटनाएँ, E₁: विद्यार्थी उत्तर जानता है।
तथा E₂ : विद्यार्थी अनुमान लगाता है।
अब P(E₁) = \(\frac{3}{4}\), P(E₅) = \(\frac{1}{4}\)
माना सही उत्तर देने की घटना A है।
P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 1, P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{1}{4}\)
∴ अभीष्ट प्रायिकता

खण्ड – (स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
यदि tan ^-1\(\frac{x-1}{x-2}\) + tan^-1\(\frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4}\), तो x का मान ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
tan sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) + cot^-1\(\left(\frac{3}{2}\right)\) का मान ज्ञात कीजिए। (3)
हल:

प्रश्न 18.
यदि y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x) है, तो दर्शाइए कि x²y₂ + xy₁ +y = 0. (3)
अथवा
यदि x = a(cos θ + θ sin θ) तथा y = a(sin θ – θ cos θ) हो, तो \(\frac{dx}{dy}\) ज्ञात कीजिए। (3)
हल:

प्रश्न 19.
मान ज्ञात कीजिए : ∫x\(\sqrt{x+x^{2}}\)dx. (3)
अथवा
मान ज्ञात कीजिए: ∫\(\frac{x}{(1+\sin x)}\) dx. (3)
हल:

प्रश्न 20.
दर्शाइए कि सदिश 2î – ĵ + k̂, î – 3ĵ – 5k̂ और 3î – 4ĵ – 4K̂ एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं। (3)
अथवा
\(\vec{a}+\vec{b}\) तथा \(\vec{a}-\vec{b}\) की लम्ब दिशा में भावक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ \(\vec{a}\) = 3î + 2ĵ + 2k̂ तथा \(\vec{b}\) = î + 2ĵ – 2k̂. (3)
हल:
माना त्रिभुज के शीर्ष A, B तथा C हैं और मूल- बिन्दु 0 है। तब 0 के सापेक्ष शीर्ष बिन्दु.A का स्थिति सदिश
\(\overrightarrow{O A}\) = 2î – ĵ + k̂

शीर्ष बिन्दु B का स्थिति सदिश
\(\overrightarrow{O B}\) = î – 3ĵ – 5k̂

शीर्ष बिन्दु C का स्थिति सदिश
\(\overrightarrow{O B}\) = 3î – 4ĵ – 4k̂

अब \(\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\)
= (î – 3ĵ – 5k̂) – (2î – ĵ + k̂)
= (1 – 2)î + (-3 + 1)ĵ + (-5 – 1)k̂

= AB = -î – 2ĵ – 6k̂
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}\)
= (3î – 4ĵ – 4k̂) – (î – 3ĵ – 5k̂)
= (3 – 1)î + (-4 + 3)ĵ + (-4 + 5)k̂
⇒ \(\overrightarrow{B C}\) = 2î – ĵ + k̂

\(\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}\)
= (2î – 3ĵ + k̂) – (3î – 4ĵ – 4k̂)
= (2 – 3)î + (-1 + 4)ĵ + (1 + 4)k̂
⇒ \(\overrightarrow{C A}\) = -î + 3ĵ + 5k̂

पुनः \((\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{C A})\)
= (2î – ĵ + k̂) . (-î + 3ĵ + 5k̂)
= 2 × (-1)+ (-1) × 3 + 1 × 5
= -2 – 3 + 5= 0

अतः BC ⊥ CA
∴ ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है। अतः दिए गए शीर्ष एक समकोण त्रिभुज की रचना करते हैं।

खण्ड – (द)
निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
हल:

प्रश्न 22.
बिन्दु (0, 1) से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, उस बिंदु के x निर्देशांक (भुज) तथा : निर्देशांक और निर्देशांक (कोटि) के गुणफल के योग के बराबर है। (4)
अथवा
अवकल समीकरण x²dy + (xy + y²)dx = 0, y = 1 यदि x = 1 दिये गये प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
हम जानते हैं कि वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता \(\frac{dy}{dx}\) के बराबर होती है।
\(\frac{dy}{dx}\) = x + xy
अथवा \(\frac{dy}{dx}\) – xy = x …. (i)
समीकरण (i), \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ P = – x एवं Q = x है|
I.F. = e^∫-xdx = e^{\(\frac{-x^{2}}{2}\)}
अतः दिए हुए समीकरण का हल है :

समीकरण (ii) में I का मान प्रतिस्थापित करने पर
y.e^{\(\frac{-x^{2}}{2}\)} = -e^{\(\frac{-x^{2}}{2}\)} + C
अथवा y = – 1 + Ce^{\(\frac{x^{2}}{2}\)} ……(iii)

समीकरण (iii) वक्रों के कुल का समीकरण है परंतु हम इस कुल के ऐसे सदस्य का समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जो बिंदु (0, 1) से गुजरता हो। समीकरण (iii) में x = 0 एवं y = 1 प्रतिस्थापित करने पर
1 = – 1 + C . e° अथवा C = 2

समीकरण (iii) में C का मान प्रतिस्थापित करने
y = – 1 + 2e^{\(\frac{x^{2}}{2}\)}
यह वक्र का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 23.
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 हैं। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है ? (4)
अथवा
प्रथम छ:धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यदृच्छया चुनी गई। मान लिया जाए कि X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है, तो E(X) ज्ञात कीजिए। (4)
हल:
माना E₁ = स्कूटर चालक का बीमा होना
E₂ = कार चालक का बीमा होना
E₃ = ट्रक चालक का बीमा होना

∴ बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
∴ कुल चालकों की संख्या
= 2000 + 4000 + 6000 = 12000

स्कूटर चालकों के बीमा होने की प्रायिकता
= P(E₁) = \(\frac{2000}{12000}=\frac{1}{6}\)
कार चालकों के बीमा होने की प्रायिकता
= P(E₂) = \(\frac{4000}{12000}=\frac{1}{3}\)
ट्रक चालकों के बीमा होने की प्रायिकता
= P(E₃) = \(\frac{6000}{12000}=\frac{1}{2}\)

स्कूटर चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता
= P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01

(जहाँ दुर्घटनाओं की घटना A से प्रदर्शित है।) कार चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता
= P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.03

ट्रक चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता
= P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.15
बीमाकृत चालकों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है; उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता,