RBSE 12th Maths Model Paper Set 3 with Answers in Hindi

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RBSE Class 12 Maths Model Paper Set 3 with Answers in Hindi

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न
(i) समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है :
(अ) 10
(ब) 16
(स) 20
(द) 8
उत्तरः
(ब) 16

(ii) sin [\(\frac{\pi}{3}\) – sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\))] का मान है:
(अ) \(\frac{1}{2}\)
(ब) \(\frac{1}{3}\)
(स) \(\frac{1}{4}\)
(द) 1.
उत्तरः
(द) 1.

(iii) यदि AB एक शून्य आव्यूह है तो
(अ) यह आवश्यक नहीं है कि या तो A शून्य आव्यूह है या B शून्य आव्यूह है.
(ब) A शून्य आव्यूह है या B शून्य आव्यूह है
(स) A शून्य आव्यूह है तथा B शून्य आव्यूह है
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) यह आवश्यक नहीं है कि या तो A शून्य आव्यूह है या B शून्य आव्यूह है.

(iv) यदि \(\left|\begin{array}{ccc}
1+a & 1 & 1 \\
1 & 1+b & 1 \\
1 & 1 & 1+c
\end{array}\right|\) = 0 तो a^-1 + b^-1 + c^-1 का मान है
(अ) 1
(ब) abc
(स) – 1
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(स) – 1

(v) यदि फलन f जो इस प्रकार परिभाषित है कि

x = 1 पर असतत है तो x = 1 पर सततता के लिए यह परिभाषित होगा
(अ)

(ब)

(स)

(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ)

(vi) ∫\(\frac{\cos 2 x}{(\sin x+\cos x)^{2}}\) dx बराबर है :
(अ) \(\frac{-1}{\sin x+\cos x}\) + C
(ब) log |sin x + cos x| + C
(स) log | sin x – cos x | + C
(द) \(\frac{1}{(\sin x+\cos x)^{2}}\) + C
उत्तरः
(ब) log |sin x + cos x| + C

(vii) अवकल समीकरण (1 – y²)\(\) + yx = ay {- 1 < y < 1} का समाकलन गुणक है: (1)
(अ) \(\frac{1}{y^{2}-1}\)
(ब) \(\frac{1}{\sqrt{y^{2}-1}}\)
(स) \(\frac{1}{1-y^{2}}\)
(द) \(\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\)
उत्तरः
(द) \(\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\)

(viii) यदि शून्येत्तर सदिश \(\vec{a}\) का परिमाण ‘a’ है और λ एक शून्येत्तर अदिश है तो λ \(\vec{a}\) सदिश है, यदि:
(अ) λ = 1
(ब) λ = – 1
(स) a = | λ |
(द) a = \(\frac{1}{|\lambda|}\)
उत्तरः
(द) a = \(\frac{1}{|\lambda|}\)

(ix) A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{4}{5}\) है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है:
(अ) \(\frac{4}{5}\)
(ब) \(\frac{1}{2}\)
(स) \(\frac{1}{5}\)
(द) \(\frac{2}{5}\)
उत्तरः
(अ) \(\frac{4}{5}\)

(x) यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & i \\
i & 0
\end{array}\right]\), जहाँ i² = – 1 तो A² है
(अ) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
(ब) \(\left[\begin{array}{rr}
0 & -1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
(स) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)

(xi) यदि फलन f इस प्रकार परिभाषित है कि

(अ) सतत है
(ब) अवकलनीय है
(स) सतत नहीं है
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(स) सतत नहीं है

(xii) यदि A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) तथा C(1, 5, 5), ∆ ABC के शीर्ष हों, तो इसका क्षेत्रफल है: (1)
(अ) √61 वर्ग इकाई
(ब) 61√2 वर्ग इकाई .
(स) \(\frac{1}{2}\)√61 वर्ग इकाई
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(स) \(\frac{1}{2}\)√61 वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए
(i) यदि f(x) = 8x³ तथा g(x) = x^1/3 तो fog = ______________ (1)
उत्तरः
8x

(ii) tan^-1\(\left(\frac{a-b}{1+a b}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{b-c}{1+b c}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{c-a}{1+c a}\right)\) का मा्न ______________ है। (1)
उत्तरः
0

(iii) यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तथा A² = I, तब (A – I)³ + (A + I)³ – 7A = ______________ (1)
उत्तरः
A

(iv) यदि फलन इस प्रकार परिभाषित है कि

है, तो a तथा b के मान ______________ हैं। (1)
उत्तरः
6, – 9

(v)

का मान ______________ हैं। (1)
उत्तरः
\(\frac{\pi}{4}\)

(vi) यदि \(\vec{a}\) = 3î + λĵ – k̂ सदिश b\(\vec{a}\) = 2î + ĵ + µk पर लम्ब हो तथा |\(\vec{a}\)| = | \(\vec{b}\) | तब λ व µ के मान …………………………. है। (1)
उत्तरः
\(-\frac{31}{12}, \frac{41}{12}\)

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न
(i) सिद्ध कीजिए कि यदि f: A → B तथा g : B → C एकैकी हैं, तो gof: A →C भी एकैकी है। (1)
हल:
gof (x₁) = gof (x₂)
⇒ gf(x₁)) = g(f(x₂))
⇒ f (x₁)) = f (x₂), क्योंकि g एकेकी है
⇒ x₁ = x₂ क्योंकि f एकेकी है
अतः gof भी एकेकी है

(ii) दर्शाइए कि : sin^-1\(\frac{3}{5}\) – sin^-1\(\frac{8}{17}\) = cos^-1\(\frac{84}{85}\) (1)
हल:
माना sin^-1\(\frac{3}{5}\) = x और sin^-1\(\frac{8}{17}\) = y
∴ sin x = \(\frac{3}{5}\) तथा sin y = \(\frac{8}{17}\)

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 3 \\
-1 & 0 & 2
\end{array}\right]\) हैं, तो 2A – B ज्ञात कीजिए। (1)
हल:

(iv) प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि \(\left|\begin{array}{ccc}
x+y & y+z & z+x \\
z & x & y \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|\) = 0
+x y = 0
हल:
R₁ → R₁ + R₂ का प्रयोग करने पर

∵ R₁ और R₃ के अवयव समान है।
इसलिए ∆ = 0

(v) यदि सभी 0 < x < π के लिए f(x) = (sin x)^{sin x} है, तो f'(x) ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
यहाँ फलन y = (sin x)^{sin x} सभी धन वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। लघुगणक लेने पर
log y = log (sin x)^sinx = sin x log (sin x)
अब \(\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d}{d x}\) (sin x log (sin x))
= cos x log (sin x) + sin x. sin x. \(\frac{1}{\sin x} \frac{d}{d x}\)(sin x)
= cos x log (sin x) + cos x
= (1 + log (sin x)) cos x
अब \(\frac{d y}{d x}\) = y ((1 + log (sin x)) cos x)
= (1 + log (sin x)) (sin x)^{sin x} cos x

(vi) ∫\(\frac{\sin 2 x \cos 2 x}{\sqrt{9-\cos ^{4}(2 x)}}\) dx ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac{\sin 2 x \cos 2 x}{\sqrt{9-\cos ^{4}(2 x)}}\) dx
अब cos² (2x) = t रखने पर
⇒ 4 sin 2x cos 2x dx = – dt

(vii) बिंदु (1, 1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण x dy = (2x² + 1) dx (x ≠ 0) है।
हल:
दिए हुए अवकल समीकरण को
xdy = (2x² + 1)
⇒ dy = \(\left(2 x+\frac{1}{x}\right)\) dx ……… (i)
समीकरण (i) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
∫ dy = ∫\(\left(2 x+\frac{1}{x}\right)\)dx
⇒ y = x² + log |x| + C … (ii)
समीकरण (ii) दिए हुए अवकल समीकरण के हल वक्रों के कुल को निरूपित करता है परंतु हम इस कुल के एक ऐसे विशिष्ट सदस्य का समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जो बिंदु (1, 1) से गुजरता हो। समीकरण (ii) में x = 1, y = 1 प्रतिस्थापित करने पर C = 0
C का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण
y = x² + log |x|

(viii) x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश 2î + 3ĵ और xî + yĵ समान हों।
हल:
दो सदिश समान होते हैं यदि उनके घटक समान हों।
2î + 3ĵ = xî + yĵ
तुलना करने पर, 2 = x तथा 3 = y
∴ x = 2 तथा y = 3

(ix) P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए, यदि 2P(A) = P(B) = \(\frac{5}{13}\) और P(A/B) = \(\frac{2}{5}\) (1)
हल:
दिया है:

(x)
\(\left|\begin{array}{lll}
3 & 2 & 3 \\
2 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 3
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
शून्य (0)

(xi) ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए, जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केंद्र मूल बिंदु है। (1)
हल:
दीर्घवृत्तों के कुल का समीकरण
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) ….. (i)
समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{2 x}{a^{2}}+\frac{2 y}{b^{2}} \frac{d y}{d x}\) = 0
⇒ \(\frac{y}{x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{-b^{2}}{a^{2}}\) ……… (ii)
समीकरण (ii) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:

समीकरण (iii) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(xii) सदिश \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = – 2î + 4ĵ + 5k̂ और \(\vec{c}\) = î – 6ĵ – 7k̂ का योगफल ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
∴ \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) = (î – 2ĵ + k̂) + (- 2î + 4ĵ + 5k̂) + (î – 6ĵ – 7k̂)
= (1 – 2 + 1)î + (- 2 + 4 – 6)ĵ + (1 + 5 – 7)k̂
= 0î – 4ĵ – k̂ = – 4ĵ – k̂ यही अभीष्ट योगफल है।

खण्ड-(ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = 4x + 3 तथा f: R → R
माना x₁, x₂ ∈ R (डोमेन), तब
f(x₁) = f(x₂)
⇒ 4x₁ + 3 = 4x₂ + 3
⇒ 4x₁ = 4x₂
⇒ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।
पुनः माना y ₁ R (सहडोमेन) का कोई स्वेच्छ अवयव है, तब समुच्चय R (डोमेन) में एक अवयव x, ऐसा होगा जिसके लिए
f(x) = y
अब y = f(x)
⇒ y = 4x +3
⇒ y – 3 = 4x

∴ फलन आच्छादक है।
∴ फलन एकैकी आच्छादक है अतःf व्युत्क्रमणीय है।
अब के प्रतिलोम f^-1 के लिए
fof^-1(x) = x
⇒ f(f^-1(x)) = x
⇒ 4(f^-1(x)) + 3 = x
⇒ 4(f^{– 1}(x)) = x – 3
⇒ f^-1 = \(\frac{x-3}{4}\)

प्रश्न 5.
यदि [x – 5 – 1] \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
4 \\
1
\end{array}\right]\) = [0] है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। [1]
हल:
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए: \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1+p & 1+p+q \\
2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\
3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q
\end{array}\right|\) = 1 (2)
हल:

अब प्रथम स्तम्भ के अनुदिश सारणिक का प्रसरण करने पर,
= \(\left\{1\left|\begin{array}{cc}
1 & 2+p \\
3 & 7+3 p
\end{array}\right|-0+0\right\}\)
= {1 × (7 + 3p) – 3 × (2 + p)}
= {7 + 3p – 6 – 3p} = 1

प्रश्न 7.
sin^-1 \(\left\{\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\right\}\) का x सापेक्ष अवकलन कीजिए | (2)
हल:

प्रश्न 8.

का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

प्रश्न 9.
पासों के एक जोड़े को तीन बार उछालने पर द्विकों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना X द्विकों की संख्या निरूपित करता है। (1,1) , (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), और (6,6) संभव द्विक हैं।
स्पष्ट है कि X का मान 0, 1, 2, या 3 है।
एक द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\)
एक द्विक प्राप्त न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
अब P(X = 0) = P(एक भी द्विक नहीं)
= \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{125}{216}\)

P(X = 1) = P(एक द्विक और दो द्विक नहीं)
= \(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\)
= \(3\left(\frac{1}{6} \times \frac{5^{2}}{6^{2}}\right)=\frac{75}{216}\)

P(X = 2) = P (दो द्विक और एक द्विक नहीं)
= \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}+\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}\)
= \(3\left(\frac{1}{6^{2}} \times \frac{5}{6}\right)=\frac{15}{216}\)

P(X = 3) = P (तीन द्विक)
= \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{216}\)
अतः X का अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नलिखित है:

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
3 & -2 & 1 \\
4 & 2 & 1
\end{array}\right]\) है, तो दर्शाइए कि: A³ – 23A – 40I = 0 (2)
हल:
A² = A.A

प्रश्न 11.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि

द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है। (2)
हल:
दिया गया फलन

x = 2 पर फलन की सततता के लिए, बायीं सीमा

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए: \(\left|\begin{array}{ccc}
1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\
2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\
2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}
\end{array}\right|\) = (1 + a² + b²)³ (3)
हल:


= (1 + a² + b²)² {1 – a² – b² + 2a² – 2b²}
= (1 + a² + b²)² {1 + a² + b²}
= (1 + a² + b²)³

प्रश्न 13.
∫tan^-1x dx का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण

समीकरण (i) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
∫ dy = ∫ (sec²\(\frac{x}{2}\) – 1) dx
= ∫ sec² \(\frac{x}{2}\) dx – ∫dx
y = 2 tan \(\frac{x}{2}\) – x + C …(ii)
समीकरण (ii) दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

प्रश्न 15.
सदिश î + 3ĵ + 7k̂ का सदिश 7î – ĵ + 8k̂ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:
î + 3ĵ + 7k̂ का सदिश 7î – ĵ + 8k̂ पर प्रक्षेप

प्रश्न 16.
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यदृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश में एक गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है ? (2)
हल:
(i) कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। माना एक लाल गेंद निकाली जाती है फिर कलश में रख दी जाती है।
∴ लाल रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) …..(i)
अब दो लाल गेंदें कलश में रख दी जाती हैं।
कलश में 7 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
∴ दूसरी बार एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{7}{12}\) ….(ii)
(ii) माना पहले काली गेंद निकाली जाती है और फिर कलश में रख दी जाती है।
∴ लाल रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) …(iii)
इसके पश्चात् कलश में 2 लाल गेंदें रख दी जाती हैं।
अब कलश में 5 लाल और 7 काली गेंदें हैं। दूसरी बार में एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{12}\) …..(iv)
समीकरण (i), (ii), (iii), (iv) का प्रयोग करते हुए, दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{12}+\frac{1}{2} \times \frac{5}{12}\)
= \(\frac{7}{24}+\frac{5}{24}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)

खण्ड-(स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए: \(\frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4}\) sin^-1 \(\frac{1}{3}=\frac{9}{4}\) sin^-1\(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
अथवा
फलन tan^-1 \(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\), x ≠ 0 को सरलतम रूप में लिखिए। (3)
हल:

प्रश्न 18.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x ∈ [-4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए। (3)
अथवा
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0.
हल:
दिया गया फलन f(x) = x² + 2x – 8, x ∈ [-4, 2] एक बहुपद फलन है।
बहुपद फलन सतत होता है। अतः फलन f(x) अन्तराल [-4, 2] में सतत है।
पुनः f'(x) = 2x + 2 का अन्तराल (- 4, 2) में अस्तित्व है।
अतः f(x) अन्तराल (- 4, 2) में अवकलनीय है।
f(2) = 2² + 2 × 2 – 8 = 4 + 4 – 8 = 0
तथा f(- 4) = (-4)² + 2 × (-4) – 8
= 16 – 8 – 8 = 0
∴ f(2) = f(-4) = 0
अतः रोले के प्रमेय के प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होते हैं। तब अन्तराल (-4, 2) में एक बिन्दु का अस्तित्व इस प्रकार है कि f'(c) = 0.
∴ f'(c) = 0 ⇒ 2c + 2 = 0 ⇒ 2c = – 2
⇒ c = – 1 ∈ (-4, 2)
अत: c = – 1 ∈ (-4, 2) इस प्रकार है कि f'(c) = 0.
इस प्रकार रोले के प्रमेय का सत्यापन हुआ।

प्रश्न 19.
∫x sin^-1x dx का मान ज्ञात कीजिए।
अथवा
∫\(\frac{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+3\right)\left(x^{2}+4\right)}\)dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫x. sin^-1 x dx
(sin^-1 x को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)

प्रश्न 20.
सदिशों î – 2ĵ + 3k̂ और 3î – 2ĵ + k̂ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिणाम समान हैं और इनके बीच का कोण
60° है तथा इनका अदिश गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है।
हल:

खण्ड-(द)
निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
हल:

प्रश्न 22.
दर्शाइए कि दिया अवकल समीकरण समघातीय है, तथा इसका हल कीजिए: xdy – ydx = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) dx
अथवा
अवकल समीकरण [x sin²\(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y] dx + xdy = 0; y = \(\frac{\pi}{4}\) यदि x = 1 दिये हुए प्रतिबन्ध की सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण

या f(λx, λy) = λ⁰ f(x, y)
अतः f(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
अब y = vx ….(ii)
तब \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\) …. (iii)
समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से,

जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 23.
52 ताशों की गड्डी में से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों में से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं। खो गये पत्ते के ईंट के होने की प्रायिकता क्या है ?
अथवा
एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30% सदस्यों ने विरोध किया। एक सदस्य को यदृच्छया चुना गया और यदि उस सदस्य ने प्रस्ताव किया, तो x = 1 लिया गया, जबकि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो, तो x = 1 लिया गया। E(X) तथा Var(X) ज्ञात कीजिए।
हल:
माना घटनाएँ,
E₁ = खोया हुआ पत्ता ईंट का है।
E₂ = खोया हुआ पत्ता ईंट का नहीं है।
यहाँ 52 ताशों की गड्डी में 13 पत्ते ईंट के हैं।
∴ P(E₁) = \(\frac{{ }^{13} C_{1}}{{ }^{52} C_{1}}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
और यहाँ 39 पत्ते हैं जिसमें ईंट के पत्ते नहीं हैं।
∴ P(E₂) = \(\frac{39}{52}=\frac{3}{4}\)
(i) जब एक ईंट का पत्ता खो गया हो तब 51 पत्तों में से 12 पत्ते ईंट के रह जायेंगे।
∴ \(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = \(\frac{{ }^{12} C_{2}}{{ }^{51} C_{2}}=\frac{12 \times 11}{51 \times 50}\)
यहाँ A खो गये पत्तों को प्रदर्शित करता है।

(ii) जब ईंट के पत्ते खोए नहीं हैं, तब यहाँ 13 ईंट के पत्ते हैं। दो ईंट के पत्ते खींचने की प्रायिकता,