RBSE 12th Maths Model Paper Set 4 with Answers in Hindi

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RBSE Class 12 Maths Model Paper Set 4 with Answers in Hindi

समय : 2 घण्टे 45 मिनट
पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :

• परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न
(i) यदि A = {1, 2, 3} हो तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या है : (1)
(अ) 1
(ब) 2
(स) 3
(द) 4
उत्तरः
(ब) 2

(ii) cos^-1 (cos \(\frac{7 \pi}{6}\)) का मान बराबर है: (1)
(अ) \(\frac{7 \pi}{6}\)
(ब) \(\frac{5 \pi}{6}\)
(स) \(\frac{\pi}{3}\)
(द) \(\frac{\pi}{6}\)
उत्तरः
(ब) \(\frac{5 \pi}{6}\)

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) तो A + A’ = I, यदि a का मान है : (1)
(अ) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
(ब) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
(स) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

(v) यदि फलन (जो इस प्रकार परिभाषित है कि

पर असतत है तो x = a पर सततता के लिए फलन परिभाषित होगा (1)

(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः

(vi) यदि

तब f'(x) है : (1)
(अ) cot x + x sin x
(ब) x sin x
(स) x cos x
(द) sin x + x cos x
उत्तरः
(ब) x sin x

(vii) अवकल समीकरण e^xdy + (ye^x + 2x) dx = 0 का व्यापक हल है : (1)
(अ) xe^x + x² = C
(ब) xe^y + y² = C
(स) ye^x + x² = C
(द) ye^x + x² = C
उत्तरः
(स) ye^x + x² = C

(viii) यदि दो सदिशों a तथा b के बीच का कोण 0 है, तो \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\) जब θ है: (1)
(अ) 0
(ब) \(\frac{π}{4}\)
(स) \(\frac{π}{2}\)
(द) π
उत्तरः
(ब) \(\frac{π}{4}\)

(ix) यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A) + P(B) – P(A और B) = P(A), तब : (1)
(अ) P(B/A) = 1
(ब) P(A/B) = 1
(स) P(B/A) = 0.
(द) P(A/B) = 0
उत्तरः
(ब) P(A/B) = 1

(x) यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\), तथा I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) तो A² – 5A + 7I का मान है : (1)
(अ) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
(ब) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
(स) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right]\)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)

(xi) यदि फलन (इस प्रकार परिभाषित है कि

तो x = 0 पर फलन- (1)
(अ) असतत है
(ब) सतत है परन्तु अवकलनीय नहीं
(स) अवकलनीय है
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) सतत है परन्तु अवकलनीय नहीं

(xii) सदिश \(\vec{a}\) = î + 2ĵ + 3k̂ के दिक्-कोसाइन हैं : (1)
(अ) \(\frac{\pm 1}{\sqrt{7}}, \frac{\pm 2}{\sqrt{7}}, \frac{\pm 3}{\sqrt{7}}\)
(ब) \(\frac{\pm 1}{\sqrt{14}}, \frac{\pm 2}{\sqrt{14}}, \frac{\pm 3}{\sqrt{14}}\)
(स) ±1, ± 2, ± 3
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) \(\frac{\pm 1}{\sqrt{14}}, \frac{\pm 2}{\sqrt{14}}, \frac{\pm 3}{\sqrt{14}}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए :
(i) यदि फलन f : [2, ∞) → [1, ∞) इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = 3x(x – 2) तो f^-1(x) बराबर ___________ है। (1)
उत्तर:
1 + \(\sqrt{1 \log _{3} x}\)

(ii) tan^-1(x + 1) + tan^-1(x – 1) = tan^-1\(\frac{8}{31}\) तो x का मान ___________ है। (1)
उत्तर:
\(\frac{1}{4}\)

(iii) यदि \(\left[\begin{array}{rr}
2+y & 7 \\
9 & x-y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 7 \\
9 & 4
\end{array}\right]\) तो x.y = ___________ है। (1)
उत्तर:
-3

(iv) यदि y = cos(√3x), तब \(\frac{dy}{dx}\) = ___________ है। (1)
उत्तर:
\(\frac{-3 \sin \sqrt{3 x}}{2 \sqrt{3 x}}\)

(v) (3√x + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) का प्रति अवकलन ___________ है। (1)
उत्तर:
2(x^3/2 + x^1/2) + C

(vi) सदिशों a = 2î – ĵ + k̂ तथा b = 3î +4ĵ – k̂ पर लम्ब मात्रक सदिश ___________ है। (1)
उत्तर:
\(\frac{1}{\sqrt{155}}\)(-3î + 5ĵ + 11k̂)

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न :
(i) यदि f : R→R तथा g : R→ R फलन क्रमशः f(x) = cos x तथा g(x) = 3x² द्वारा परिभाषित हैं तो gof और fog ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए gof ≠ fog. (1)
हल:
यहाँ gof (x) = g ((x)) = g (cos x) = 3 (cos x)² = 3 cos2x.
इसी प्रकार fog(x) = f(g(x)) = f (3x²) = cos (3x²) हैं।
अत: gof ≠ fog.

(ii) sin^-1(sin\(\frac{3 \pi}{5}\)) का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
हम जानते हैं कि sin^-1(sin x) =x

(iii) यदि P = \(\left[\begin{array}{cc}
10 & -2 \\
-5 & 1
\end{array}\right]\) है, तो P-ज्ञात कीजिए, यदि इसका अस्तित्व है। (1)
हल:
हम जानते हैं कि P = IP

(R₂ → R₂ + 5R₁ द्वारा)
यहाँ बाएँ पक्ष के आव्यूह की द्वितीय पंक्ति के सभी अवयव शून्य हो जाते हैं, अत: P^-1 का अस्तित्व नहीं है।

(iv) \(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & b c \\
1 & b & c a \\
1 & c & a b
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
R₂ → R₂ – R₁, और R₃ → R₃ – R₁ का प्रयोग करने पर
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & b c \\
1 & b & c a \\
1 & c & a b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & b c \\
0 & b-a & c(a-b) \\
0 & c-a & b(a-c)
\end{array}\right|\)
R₂ और R₃ से क्रमशः (b – a) और (c – a) उभयनिष्ठ लेने पर
= (b – a)(c – a)\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & b c \\
0 & 1 & -c \\
0 & 1 & -b
\end{array}\right|\)
पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसरण करने पर
= (b – a) (c-a) [1(-b + c)]
= (a – b) (b – c) (c – a)

(v) यदि e^y(x + 1) = 1 तो दर्शाइए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) है। (1)
हल:
e^y(x + 1) = 1
⇒ (x+ 1)e^y = 1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

(vi)

का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
मान

तब f(-x) = sin⁷(-x)
= [sin (-x)]⁷ = [- sinx]⁷
⇒ f(-x) = – sin’ x =-f(x)
अर्थात् sin⁷x विषम फलन है।

(vii) अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}\), (y ≠ 2) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया है
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}\) (y ≠ 2) … (i)
समीकरण (i) में चरों को पृथक् करने पर
(2 – y)dy = (x + 1) dx … (ii)

समीकरण (ii) के दोनों पक्षों का समाकलन करने
∫(2 – y)dy = ∫(x + 1)dx
⇒ 2y – \(\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}\) + x + C₁
⇒ x² + y² + 2x – 4y + 2C₁ = 0
⇒ x² + y² + 2x – 4y + C = 0 …(iii)
जहाँ C = 2C₁
समीकरण (iii) अवकल समीकरण (i) का व्यापक हल है।

(viii) एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) है और अन्तिम बिन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
माना सदिश के प्रारम्भिक बिन्दु तथा अंतिम बिन्दु क्रमशः A तथा B हैं।
तब A के निर्देशांक (2, 1)
तथा B के निर्देशांक (-5, 7)
अब सूत्र AB
= (x₂ – x₁) î + (y₂ – y₁)ĵ + (z₂ – z₁)k̂
AB = (-5-2)î + (7 – 1)ĵ
= -7î + 6 ĵ
∴ AB के अदिश घटक – 7 तथा 6 हैं।
तथा AB के सदिश घटक – 7î तथा 6ĵ हैं।

(ix) P(A|B) ज्ञात कीजिए, यदि P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0:32 है। (1)
हल:
P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32
P(A/B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{0.32}{0.5}=\frac{32}{50}=\frac{16}{25}\)

(x) सिद्ध कीजिए \(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & a & a \\
b & c+a & b \\
c & c & a+b
\end{array}\right|\) = 4 abc
हल:

= 2c (ab + b² – bc) – 2b (bc – c² – ac)
= 2abc.+ 2cb² – 2bc² – 2b²c + 2bc² + 2abc
= 4abc

(xi) वक्रों के कुल y = mx को निरूपित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिए जबकि m एक स्वेच्छ अचर है। (1)
हल:
दिया है y = mx … (i)
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = m
m का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर
y = \(\frac{dy}{dx}\) . x ⇒ x\(\frac{dy}{dx}\) – y = 0
यह प्राचल समीकरण m से मुक्त है और इसलिए यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(xii) दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, – 2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
माना मूलबिन्दु O है। तब O के सापेक्ष बिन्दुओं P तथा Q के स्थिति सदिश क्रमशः \(\overrightarrow{O P}\) तथा \(\overrightarrow{O Q}\) हैं।
अब \(\overrightarrow{O P}\) = 2î + 3ĵ + 4k̂
तथा \(\overrightarrow{O Q}\) = 4î + ĵ – 2k̂
अब \(\overrightarrow{P Q}\) का मध्य-बिन्दु R हो, तब

अतः अभीष्ट मध्य-बिन्दु 3î + 2ĵ + k̂ है।

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि A = N × N है तथा A में (a, b)*(c, d) = (a + c, b + d) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। सिद्ध कीजिए कि * क्रम-विनिमेय तथा साहचर्य है। A में * का तत्समक अवयव, यदि कोई है, तो ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
(i) यदि (a, b) E A और (c, d) ∈ A
तब a, b, c, d ∈ N. (a, b)*(c, d) = (a + c, b + d) ∈ A
[∵ (a + c) ∈ N, (b + d) ∈ N]
(a, b)*(c, d) = (a + c, b + d)
= (c + a, d + b) [∵ a + c = c + a तथा b + d = d + b]
= (c, d)*(a, b), (क्रम-विनिमेय)

पुनः [(a, b)*(c, a)]*(e,f).
= (a + c, b + d)*(e,f)
= [(a + c)+ e, (b + d) + f]
= [a + (c + d), b + (d +f)]
= (a, b)*(c + e, d + f)
= (a, b)*[(c, d)*(e,f)] (साहचर्य)

(ii) (a, b)*(0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) परन्तु (0, 0) & A, क्योंकि 0 ≠ N
अतः समुच्चय A में द्विआधारी संक्रिया * के लिए कोई तत्समक अवयव नहीं है। (2)

प्रश्न 5.
X का मान ज्ञात कीजिए, यदि Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 4
\end{array}\right]\) तथा 2x + y = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-3 & 2
\end{array}\right]\) है । (2)
हल:

प्रश्न 6.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y \\
1 & x+y & y \\
1 & x & x+y
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y \\
1 & x+y & y \\
1 & x & x+y
\end{array}\right|\)
संक्रियाओं R₂ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁ से,
= \(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & y \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & x
\end{array}\right|\)
प्रथम स्तम्भ के अनुदिश प्रसरण करने पर,
= 1\(\left|\begin{array}{ll}
y & 0 \\
0 & x
\end{array}\right|\) = 1(y × x – 0 × 0) = xy

प्रश्न 7.
यदि x³ + 3x²y² + y³ = 50, तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
x³ + 3x²y² + y³ = 50

प्रश्न 8.

का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

प्रश्न 9.
किसी व्यक्ति ने एक निर्माण कार्य का ठेका लिया है। हड़ताल होने की प्रायिकता 0.65 है। हड़ताल न होने की तथा हड़ताल होने की स्थितियों में निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.80 तथा 0.32 हैं। निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
माना ‘निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने’ की घटना को A और ‘हड़ताल होने’ की घटना को B द्वारा निरूपित किया जाता है। हमें P(A) ज्ञात करना है। हमें ज्ञात है कि
P(B) = 0.65,
P (हड़ताल नहीं) = P(B’) = 1 – P(B) = 1 – 0.65 = 0.35
P(A|B)= 0.32, P(A | B’) = 0.80

क्योंकि घटनाएँ B और B’ समष्टि समुच्चय के विभाजन हैं इसलिए संपूर्ण प्रायिकता प्रमेय द्वारा
= P(B) . P(A | B) + P(B’) P(A | B’)
= 0.65 × 0.32 + 0.35 × 0.8
= 0.208 + 0.28 = 0.488
अतः निर्माण कार्य समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकता 0.488 है।

प्रश्न 10.
यदि F(x) = \(\left[\begin{array}{ccc}
\cos x & -\sin x & 0 \\
\sin x & \cos x & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\) है, तो सिद्ध कीजिए कि F(x) F(y) = F(x + y). (2)
हल:

⇒ F(x) F(y) = F(x + y).

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि f(x) = cos x² द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है। (2)
हल:
दिया गया फलन
f(x) = cos x²
माना x = c ∈ R

फलन x = c पर सतत है।
∴ c एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है।
∴ फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
अतः फलन cos x² सतत है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : \(\left|\begin{array}{ccc}
a^{2}+1 & a b & a c \\
a b & b^{2}+1 & b c \\
c a & c b & c^{2}+1
\end{array}\right|\) = 1 + a² + b² + c². (2)
हल:

संक्रियाओं R₁ → aR₁, R₂ + bR₁ तथा R₃ → cR₃ के प्रयोग करने के पश्चात् सारणिक को abc से भाग देने पर,
= \(\frac{a b c}{a b c}\left|\begin{array}{ccc}
a^{2}+1 & a^{2} & a^{2} \\
b^{2} & b^{2}+1 & b^{2} \\
c^{2} & c^{2} & c^{2}+1
\end{array}\right|\)

संक्रिया R₁ → R₁ + R₂ + R₃ से,

प्रथम पंक्ति R₁ से (1 + a² + b² + c²) उभयनिष्ठ लेने पर,
= (1 + a² + b² + c²)
संक्रियाओं C₂ → C₂ – C₁ तथा C₃ → C₃ – C₁ से,
= (1 + a² + b² + c²)\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
b^{2} & 1 & 0 \\
c^{2} & 0 & 1
\end{array}\right|\)
प्रथम पंक्ति (R₁) के अनुदिश प्रसरण करने पर,
= (1 + a² + b² + c²) \(\left\{1\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right|\right\}\)
= (1 + a² + b² + c²) {1(1 × 1 – 0)}
= (1 + a² + b² + c²).1
= 1 + a² + b² + c²

प्रश्न 13.
∫(x + 3)\(\sqrt{3-4 x-x^{2}}\) dx का मान ज्ञात कीजिए –  (2)
हल:
माना I = ∫(x + 3)\(\sqrt{3-4 x-x^{2}}\) dx
तथा (x + 3) = A\(\frac{d}{dx}\) (3 – 4x – x²) + B
= x + 3 = A(-2x – 4)+ B
3 = (-2Ax) + (-4A + B)
-2A = 1
A = –\(\frac{1}{2}\)
= -4A + B = 3

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण e^x tany dx + (1 – e^x) sec²y dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दिया अवकल समीकरण
e^x tany dx + (1 – e^x)y secy dy = 0…(i)

समीकरण (i) को (1 – e^x) tany से भाग देने पर,
\(\left(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\right)\)dx + \(\frac{\sec ^{2} y}{\tan y}\)dy = 0 …(ii)

समीकरण (ii) का समाकलन करने पर,
= ∫\(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\) dx + ∫\(\frac{\sec ^{2} y}{\tan y}\)dy = 0
– log | 1 – e^x| + log | tan y | = log C [∵ 1 – e^x = u ⇒ e^x dx = – du]
∴ ∫\(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\) dx = -∫\(\frac{d u}{u}\)
= – log | u | = – log | 1 – e^x|
तथा tan y = V.
sec² y dy = dV
∫\(\frac{\sec ^{2} y}{\tan y}\)dy = ∫\(\frac{d V}{u}\)
⇒ log | V| = log | tan y|
⇒ log | tan y| = log C + log |1 – e^x|
⇒ log | tan y| = log C(1 – e)
⇒ tan y = C(1 – e^x) …(iii)

समीकरण (iii) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 15.
दर्शाइए कि बिंदु A (-2î + 3ĵ + 5k̂) , B(î + 2ĵ + 3k̂) और C(7î – k̂) संरेख है। (2)
हल:
हम प्राप्त करते हैं:
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = (1 + 2) î + (2 – 3)ĵ + (3 – 5)k̂
= 3î – ĵ – 2k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) = (7-1) î + (0 – 2) ĵ + (-1-3)k̂
= 6î – 2ĵ – 4k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = (7+ 2)î + (0 – 3)ĵ + (-1 – 5)k̂
= 9î – 3ĵ – 6k̂

\(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{14}\), \(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|\) = 2\(\sqrt{14}\) और \(|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\) = 3\(\sqrt{14}\)
इसलिए \(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|\)
अतः बिंदु A, B और C सरेख हैं।

प्रश्न 16.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों थैलों में से एक को यदृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है ? (2)
हल:
माना पहले थैले के चुनने की घटना को E से और दूसरे थैले को चुनने की घटना को E₂ से व्यक्त करते हैं। लाल गेंद निकालने की घटना को A से दर्शाते हैं।
एक थैले को चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)

अर्थात् P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
पहले थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं।
∴ इनमें से लाल गेंदें चुनने की प्रायिकता
= \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
⇒ P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{1}{2}\)

दूसरे थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं।
∴ इनमें से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)
अब, लाल गेंद पहले थैले से निकाले जाने की प्रायिकता

खण्ड – (स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
tan^-12x + tan^-13x = \(\frac{\pi}{4}\) को सरल कीजिए। (3)
अथवा
दर्शाइए कि : sin^-1(2.r/1–2) = 2 cos^-1x, Sxx1
हल:
दिया है, tan^-12x + tan^-1 3x =
⇒ tan^-1\(\left(\frac{2 x+3 x}{1-2 x \times 3 x}\right)=\frac{\pi}{4}\)
⇒ tan^-1\(\left(\frac{5 x}{1-6 x^{2}}\right)=\frac{\pi}{4}\)
⇒ 6x² + 5x – 1 = 0
⇒ (6x + 1) (x + 1) = 0
x = \(\frac{1}{6}\) = x = – 1
क्योंकि x = – 1, प्रदत्त समीकरण को संन्तुष्ट नहीं करता है।
अतः दी गई समीकरण का हल x = \(\frac{1}{6}\) है।

प्रश्न 18.
यदि y = Ae^mx + Be^nx है तो दर्शाइए कि : \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – (m+n)\(\frac{d y}{d x}\) + mny = 0
अथवा
यदि y = (tan^-1 x) है तो दर्शाइए कि : (x² + 1)².y₂ + 2x(x² + 1)y₁ = 2 है। (3)
हल:
y = Ae^mx + Be^nx का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, .
\(\frac{d y}{d x}\) = mAe^mx + nBe^nx
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = m²Ae^mx + n²Be^nx

अब बायाँ पक्ष = \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – (m+n)\(\frac{d y}{d x}\) + mny
dx = m²Ae^mx + n²Be^nx – (m + n) (mAe^mx + nBe^nx) + mn(Ae^mx + Be^nx)
= m² Ae^mx + n²Be^nx – m² Ae^mx – mnBe^nx – mnAe^mx – nBe^nx + mnAe^mx + mnBe^nx = 0 = दायाँ पक्ष
∴ \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – (m + n)\(\frac{d y}{d x}\) + mny = 0

प्रश्न 19.
∫(x +1)\(\sqrt{2 x^{2}+3}\) dx का मान ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
∫\(\frac{1}{\left(x^{4}-1\right)}\)dx का मान ज्ञात कीजिए। (3)
हल:

प्रश्न 20.
दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों a और b के लिए \(|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}\) पर लम्ब है। (3)
अथवा
बिन्दुओं A(1, 2, — 3) एवं B(-1, – 2, 1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

खण्ड -(द)
निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
हल:

प्रश्न 22.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + ycotx = 2x + x² cot x (x ≠ 0) का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = \(\frac{π}{2}\) (4)
अथवा
अवकल समीकरण log \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = 3x + 4y का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0. (2)
हल:
दिये अवकल समीकरण की मानक अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से तुलना करने पर,
P = cot x और Q = 2x + x² cot.x
I.F.= e^{∫cot x dx} = e^{log sin x} = sin x

अतः अवकल समीकरण का हल है:
y. sin x = ∫(2x + x cotx) sin x dx + C
= ∫2x sin x dx + ∫x2 cos x dx + C + ∫x cosx dx + C
= sin x\(\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right)\) – ∫cos x\(\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right)\)dx + x ∫cos x dx + C
= x² sin.x – ∫x² cos x dr + ∫x²cos x dx + C
अतःy sin x = x² sin x + C … (i)
समीकरण (i) में y = 0 एवं x = \(\) प्रतिस्थापित करने पर
0 = \(\frac{\pi}{2}\) sin \(\left(\frac{\pi}{2}\right)\) + C
C = \(\frac{-\pi^{2}}{4}\)

समीकरण (i) में C का मान प्रतिस्थापित करने पर
y sin x = x² sin x – \(\frac{-\pi^{2}}{4}\)
= x – \(\frac{-\pi^{2}}{4}\) (sin x ≠ 0)
यह दिए हुए अवकल समीकरण का विशिष्ट हल

प्रश्न 23.
मान लें कि पासों के एक जोड़े को उछाला जाता है और यादृच्छिक चर X, पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग लिया जाता है। X का माध्य या प्रत्याशा ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा
एक अनभिनत पासे को फैंकने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य तथा प्रसरण ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि 36 मौलिक घटनाओं से निर्मित हुआ है, जिन्हें क्रमित युग्म (x₁, y₁) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ
x₁ = 1, 2, 3, 4, 5, 6
और y₁ = 1, 2, 3, 4, 5, 6
यादृच्छिक चर X के मान अर्थात् पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 या 12 हो सकता है

अबP(X = 2) = P({(1, 1)}) = \(\frac{1}{36}\)

P(X = 3) = P({(1, 2), (2, .1)}) = \(\frac{2}{36}\)
P(X = 4) = P({(1, 3), (2, 2), (3, 1)}) = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 5) = P({(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}) = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 6) = P({(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}) = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 7) = P({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) = \(\frac{6}{36}\)
P(X = 8) = P({(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}) = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 9) = P({(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}) = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 10) = P({(4, 6), (5, 5), (6, 4)}) = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 11) = P({(5, 6), (6, 5)}) = \(\frac{2}{36}\)
P(X = 12)= P({6, 6)}) = \(\frac{1}{36}\)

X का प्रायिकता बंटन है:

अतः दो पासों के फेंकने पर प्रकट संख्याओं के योग का माध्य 7 है।