RBSE 12th Maths Model Paper Set 5 with Answers in Hindi

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RBSE Class 12 Maths Model Paper Set 5 with Answers in Hindi

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न

(i) यदि f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\), तो (fof^-1) (x) का मान है:
(अ) x
(ब) – x
(स) x – 1
(द) इनमे से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) x

(ii) tan^-1 √3 – cot^-1 (-√3) का मान है :
(अ) π
(ब) – \(\frac{\pi}{2}\)
(स) 0
(द) 2√3
उत्तरः
(ब) – \(\frac{\pi}{2}\)

(iii) यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A² = A, तो (I + A)³ – 7A बराबर है: (1)
(अ) A
(ब) I – A
(स) I
(द) 3A
उत्तरः
(स) I

(iv) यदि ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
x & y & z \\
p & q & r \\
a & b & c
\end{array}\right|\) तो \(\left|\begin{array}{ccc}
x & 2 y & z \\
2 p & 4 q & 2 r \\
a & 2 b & c
\end{array}\right|\) का मान होगा :
(अ) 4∆
(ब) 3∆
(स) I
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) 4∆

(v) यदि फलन fजो इस प्रकार परिभाषित है कि

पर असतत है तो x = 2 पर सततता के लिए यह परिभाषित होगा:

(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः

(vi) समाकलन

का मान है: (1)
(अ) 6
(ब),0
(स) 3
(द) 4
उत्तरः
(अ) 6

(vii) निम्नलिखित में कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है ?
(अ) (4x + 6y + 5) dy – (3y + 2x + 4) dx = 0
(ब) (xy) dx – (x³ + y³) dy = 0
(स) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0
(द) y² dx + (x² – xy – y²) dy = 0
उत्तरः
(द) y² dx + (x² – xy – y²) dy = 0

(viii) î . (ĵ + k̂) + ĵ: (î + k̂) + k̂ . (î × ĵ) का मान है:
(अ) 0
(ब) – 1
(स) 1
(द) 3
उत्तरः
(स) 1

(ix) मान लीजिए ताश की एक गड्डी में से यदृच्छया दो पत्ते निकाले जाते हैं। मान लीजिए x इक्कों की संख्या प्रकट करता है। तब E(X) का मान है:
(अ) \(\frac{37}{221}\)
(ब) \(\frac{5}{13}\)
(स) \(\frac{1}{13}\)
(द) \(\frac{2}{13}\)
उत्तरः
(द) \(\frac{2}{13}\)

(x) यदि A =\(\left[\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-1 & 7
\end{array}\right]\), I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) तथा A² = 8A + kI तो k का मान है:
(अ) 7
(ब) – 7
(स) ±7
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) – 7

(xi) यदि फलन इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = |x – 3|, तो x = 0 पर फलन है:
(अ) असतत
(ब) सतत तथा अवकलनीय
(स) सतत परन्तु अवकलनीय नहीं।
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(स) सतत परन्तु अवकलनीय नहीं।

(xii) बिन्दु A(3, -4, -4), B(1, – 3, – 5) तथा C(2, – 1, 1) हैं :
(अ) समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष
(ब) समकोण त्रिभुज के शीर्ष
(स) समबाहु त्रिभुज के शीर्ष
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) समकोण त्रिभुज के शीर्ष

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए :
(i) यदि f : R – {0} → R – {0} इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = \(\frac{3}{x}\), तो f^-1 बराबर ________________ है। (1)
उत्तरः
f

(ii) cot^-1 7 + cot^-1 8 + cot^-1 18 बराबर ________________ है। (1)
उत्तरः
cot^-13

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\) तो B² – A² बराबर ________________ है। (1)
उत्तरः
B

(iv) यदि (x) = (x + 1), तब \(\frac{d}{d x}\) (fof )(x) = ________________ है। (1)
उत्तरः
1

(v) ∫\(\int \frac{d x}{x^{2}+16}\) का प्रतिअवकलज \(\frac{1}{4}\)tan^–x+c ________________ है। . (1)
उत्तरः
\(\frac{1}{4}\)tan^-1x + c

(vi) वे राशियाँ जिन्हें पूर्णतया निरूपित करने के लिए परिमाण तथा दिशा की आवश्यकता होती है __________________ राशियों कहलाती है।
उत्तरः
सदिश

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न

(i) मान लीजिए किf, g तथा h, R से R तक दिए फलन हैं।
सिद्ध कीजिए कि (f + g)oh = foh + goh
हल:
दिए गए फलन f, g, h, R → R हैं।
∴ (f + g)oh (x) = (f+g) (h(x))
= f(h(x)) + g(h(x))
= (foh)(x) + (goh)(x)
अतः (f + g)oh = foh + goh

(ii) यदि \(\frac{a}{b}\)tan x > -1 तो tan^-1 \(\left[\frac{a \cos x-b \sin x}{b \cos x+a \sin x}\right]\) को सरल कीजिए
हल:

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) हो, तो सिद्ध कीजिए: AA’ = 1 (1)
हल:

(iv) यदि A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\) हो, तो |A | ज्ञात कीजिए।
हल:

= 1(1 × (- 9) – 4 × (-3)) – 1(2 × (-9) – 5 × (-3)) – 2(2 × 4 – 5 × 1)
1( – 9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2(8 – 5).
= 1 × 3 – 1 × (- 3) – 2 × 3
=3 + 3 – 6 = 6 – 6 = 0

(v) x के सापेक्ष \(\sqrt{3 x+2}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2}+4}}\) का अवकलन कीजिए :
हल:
माना y = \(\sqrt{3 x+2}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2}+4}}\)
= \((3 x+2)^{\frac{1}{2}}+\left(2 x^{2}+4\right)^{-\frac{1}{2}}\)
यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं x > –\(\frac{2}{3}\) के लिए परिभाषित है। इसलिए

यह सभी वास्तविक संख्याओं x > –\(\frac{2}{3}\) के लिए परिभाषित है।

(vi)

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

(vii) अवकल समी \(\frac{d y}{d x}\) = \(\sqrt{4-y^{2}}\) (- 2 < y < 2) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\sqrt{4-y^{2}}\)
⇒ \(\frac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}\) = dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}\) = ∫dx
⇒ sun^-1\(\frac{y}{2}\) = x + C
⇒ \(\frac{y}{2}\) = sin(x + C)
⇒ y = 2 sin(x + C) ….. (ii)
समीकरण (ii) दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

(viii) दिए हुए सदिशों \(\vec{a}\) = 2î – ĵ + 2k̂ और \(\vec{b}\) = – î + ĵ – k के लिए सदिश \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

(ix) एक पाठशाला में 1000 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 430 लड़कियाँ हैं। यह ज्ञात है कि 430 में से 10% लड़कियाँ कक्षा XII में पढ़ती हैं। क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा XII में पढ़ता है यदि यह ज्ञात है कि चुना गया विद्यार्थी लड़की है?
हल:
माना E घटना ‘यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी कक्षा XII में पढ़ता है’ और F घटना ‘यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी लड़की है’, को व्यक्त करते हैं। हमें P (E|F) ज्ञात करना है।
अब P(F) = \(\frac{430}{1000}\) = 0.43
और P(E ∩ F) = \(\frac{43}{1000}\) = 0.043
तब P(E|F) = \(\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}\) = 0.1

(x) Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\) के अवयवों a₁₁ तथा a₂₁ के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए।1
हल:
उपसारणिक और सहखंड की परिभाषा द्वारा हम पाते हैं
a₁₁ का उपसारणिक = M₁₁ = \(\left|\begin{array}{ll}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\)
= a₂₂ a₃₃ – a₂₃ a₃₂

a₁₁ का सहखंड = A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁
= a₂₂ a₃₃ – a₁₃ a₃₂

a₂₁ का उपसारणिक = M₂₁ = \(\left|\begin{array}{ll}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\)
= a₁₂ a₃₃ – a₁₃ a₃₂

a₂₁ का सहखंड = A₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁= (-1)
(a₁₂ a₃₃ – a₁₃ a₃₂) = – a₁₂ a₃₃ + a₁₃ a₃₂

(xi) सिद्ध कीजिए कि दिया गया फलन संगत समीकरण का हल है। (1)
y – cos y = x : y(sin y + cos y + x)y’ = y
हल:
दिया गया फलन
y – cos y = x … (i)
समीकरण (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ + (sin y)y’ = 1
⇒ (1 + sin y)y’ = 1 …(ii)
समीकरण (ii) के दोनों पक्षों को y से गुणा करने पर,
(y + y sin y)y’ = y …(iii)
⇒ (y sin y + cos y + x)y’ = y
[समीकरण (i) से y = cos y+x, समीकरण (iii) के बायें पक्ष में रखने पर]
अतः दिया गया फलन y – cos y = x, अवकल समीकरण (y sin y + cos y + x)y’ = y का हल है।

(xii) यदि a एक मात्रक सदिश है और \((\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})\) = 8, तो |\(\vec{x}\)| ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
क्योंकि \(\vec{a}\) एक मात्रक सदिश है, इसलिए
|\(\vec{a}\)| = 1
दिया है, \((\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})\)= 8
अथवा \(\vec{x} \cdot \vec{x}+\vec{x} \cdot \vec{a}-\vec{a} \cdot \vec{x}-\vec{a} \cdot \vec{a}\) = 8
अथवा |\(\vec{x}\)|² – 1 = 8 अर्थात् |\(\vec{x}\)|² = 9
अतः |\(\vec{a}\)| = 3
(क्योंकि सदिश का परिमाण सदैव शून्येतर होता है)

खण्ड-(ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि f: R → {x ∈ R : – 1 < x < 1} जहाँ f(x) = \(\frac{x}{1+|x|}\), x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी है।
हल:

⇒ x₁(1 + x₂) = x₂(1 + x₁)
⇒ x₁ + x₁x₂ = x₂ + x₁₂
⇒ x₁ = x₂
जब x < 0 = |x| = – x
तब f(x) = \(\frac{x}{1-x}\)
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\frac{x_{1}}{1-x_{1}}=\frac{x_{2}}{1-x_{2}}\)
⇒ x₁(1 – x₂) = x₂(1 – x₁)
⇒ x₁ – x₁x₂ = x₂ – x₂₁
⇒ x₁ = x₂
∴ f एकैकी है।

प्रश्न 5.
\(\left[\begin{array}{ll}
2 & -6 \\
1 & -2
\end{array}\right]\) का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हों तो सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
x+2 & x+3 & x+2 a \\
x+3 & x+4 & x+2 b \\
x+4 & x+5 & x+2 c
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

R₂ के सभी अवयव शून्य हैं।
अतः सारणिक का माना शून्य है।

प्रश्न 7.
यदि sin y = x sin (a + y), तो सिद्ध कीजिए कि : \(\frac{d y}{d x}=\frac{\sin ^{2}(a+y)}{\sin a}\) (2)
हल:
दिया है, sin y = x sin (a + y)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यदृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है। (2)
हल:
माना छात्रावास में छात्राओं के हिन्दी और अंग्रेजी के अखबार पढ़ने की घटनाओं को क्रमशः H तथा E से निरूपित करते हैं।
P(H) = 60 = \(\frac{60}{100}\) = 0.6.
P(E) = 40% = \(\frac{40}{100}\) = 0.4
तथा P(H ∩ E) = 20% = \(\frac{20}{100}\) = 0.2
छात्रा के कम-से-कम एक अखबार पढ़ने की प्रायिकता = P(H ∪ E)
अब P(H) = 0.6, P(E) = 0.4,
P(H ∩ E) = 0.2
∴ P(H ∪ E) = P(H) + P(E) – P(H ∩ E)
= 0.6 + 0.4 – 0.2
= 1 – 0.2 = 0.8
अतः छात्रा के न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता
= 1 – P(H ∪ E)
= 1 – 0.8 = 0.2 = 20%
स्पष्ट है कि 20% विद्यार्थी अखबार नहीं पढ़ते हैं।
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{20}{100}=\frac{2}{5}\)

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 4 \\
-1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\), तो सत्यापित कीजिए कि : (A + B)’ = A’ + B’. (2)
हल:

प्रश्न 11.
k के किन मानों के लिए

x = π पर सतत् हैं?
हल:
दिया गया फलन

x = π पर फलन की सततता के लिए,

प्रश्न 12.
दिखाइए कि बिन्दु A(a, b + c), Beb, c + a) और C(c, a + b) सरेख हैं। (2)
हल:
(a, b + c), (b, c + a), (c, a + b) क्रमशः A, B तथा C के निर्देशांक हैं।
यहाँ x₁ = a, x₂ = b, x₃ = c,
y₁ = b + c, y₂ = c + a, y₃ = a + b
तीनों बिन्दु सरेख होंगे यदि ∆ ABC का क्षेत्रफल शून्य है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल

(क्योंकि C तथा C, सर्वसम हैं।) अतः दिए गए बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 13.
∫\(\sqrt{1+3 x-x^{2}}\)dx का मान ज्ञात कीजिए (2)
हल:

प्रश्न 14.
अवकल समीकर \(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1 x
⇒ dy = sin^-1 x dx
⇒ dy = 1.sin^-1 x dx …… (i)
समीकरण (i) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫dy = ∫ sin^{– 1} x dx
(1 को द्वितीय फलन तथा sin^{– 1}x को प्रथम फलन लेने पर)

समीकरण (ii) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 15.
सदिश \(\overrightarrow{P Q}\) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6)
हल:
बिन्दु P तथा Q को मिलाने वाला सदिश = \(\overrightarrow{P Q}\)

प्रश्न 16.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से एक के बाद एक तीन पत्ते बिना प्रतिस्थापित किए निकाले गए। पहले दो पत्तों का बादशाह और तीसरे का इक्का होने की क्या प्रायिकता है? (2)
हल:
माना K घटना ‘निकाला गया पत्ता बादशाह है’ को और A घटना ‘निकाला गया पत्ता इक्का है’ को व्यक्त करते हैं। स्पष्टतया हमें P (KKA) ज्ञात करना है।
अब P(K) = \(\frac{4}{52}\)
साथ ही P(K|K) यह ज्ञात होने पर कि ‘पहले निकाला गया पत्ता बादशाह है’ पर दूसरे पत्ते का बादशाह होने की प्रायिकता को दर्शाता है। अब गड्डी में (52 – 1) = 51 पत्ते हैं जिनमें तीन बादशाह है।
इसलिए P(K|K) = \(\frac{3}{51}\)
अंत: P(AKK) तीसरे निकाले गए पत्ते का इक्का होने की सप्रतिबंध प्रायिकता है जब कि हमें ज्ञात है कि दो बादशाह पहले ही निकाले जा चुके हैं। अब गड्डी में 50 पत्ते रह गए हैं
इसलिए P(A|KK) = \(\frac{4}{50}\)
प्रायिकता के गुणन नियम द्वारा P(KKA)= P(K) P(K|K) P(A|KK)
= \(\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50}=\frac{2}{5525}\)

खण्ड-(स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए: tan^-1\(\frac{1}{5}\) + tan^-1\(\frac{1}{7}\) = + tan^-1\(\frac{1}{3}\) + tan^-1\(\frac{1}{8}\) [= \(\frac{\pi}{4}\) (3)
अथवा.
सिद्ध कीजिए : cos^-1\(\frac{12}{13}\) + sin^-1\(\frac{3}{5}\) = sin^-1\(\frac{56}{65}\)
हल:

प्रश्न 18.
जाँच कीजिए कि f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत है?
अथवा
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर सतत् है।
हल:
दिया हुआ फलन f(x) = x² – sin x + 5 x = π पर सततता के लिए,

प्रश्न 19.
∫x(log x) ²dx का मान ज्ञात कीजिए।
अथवा
∫\(\frac{2}{(1-x)\left(1+x^{2}\right)}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫x (log x)² dx
[(log x)² को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर]

(log x को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)

प्रश्न 20.
यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष क्रमशः (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) हैं, तो ∠ABC का पान ज्ञात कीजिए। [∠ABC, सदिशों \(\overrightarrow{B A}\) एवं \(\overrightarrow{B C}\) के बीच का कोण है।] (3)
अथवा
xv-सल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मूलबिन्दु O है, तब O के सापेक्ष शीर्ष बिन्दु A का स्थिति सदिश
= \(\overrightarrow{O A}\) = î + 2ĵ + 3k̂
शीर्ष बिन्दु B का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O B}\) = – î
शीर्ष बिन्दु C का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O C}\) = ĵ + 2k̂
अब \(\overrightarrow{B A}\) = \(\overrightarrow{O A}\) – \(\overrightarrow{O B}\)

खण्ड-(द)
निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 22:
दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु (x,.y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \(\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}\) है, x² – y² = cx द्वारा प्रदत्त है।
अथवा द्वितीय चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते
हल:
हम जानते हैं कि एक वक्र के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता के बराबर होती है।
इसलिए \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}\)
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 y}{x}}\)
स्पष्टतः समीकरणं (i) समघातीय अवकल समीकरण है।
इसको हल करने के लिए हम y = vx प्रतिस्थापित करते हैं।
y = vx का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 23.
मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को x से व्यक्त किया गया है। X का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
अथवा
एक कक्षा में 15 छात्र हैं, जिनकी आयु 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 और 20 वर्ष है। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की सम्भावना.समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया। यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। X का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए ।
हल:
जब दो पासे फेंके जाते हैं, तब परिणामों की संख्या = 6 × 6 = 36.
P(x = 2) = P{(1, 1)} = \(\frac{1}{36}\)
PAK = 3) = P{(1, 2), (2, 1)} = \(\frac{2}{36}\)
P(x = 4) = P{(1, 3), (2, 2), (3, 1)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 5) = P{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 6) = P{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 7) = P{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} = \(\frac{6}{36}\)
P(X = 8) = P{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 9) = P{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 10) = P{(4, 6), (5, 5), (6, 4)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 11) = P{(5, 6), (6, 5)} = \(\frac{2}{36}\)
p(X = 12) = P{(6, 6)} = \(\frac{1}{36}\)

अतः प्रायिकता बंटन निम्नवत् है :