RBSE 12th Maths Model Paper Set 7 with Answers in Hindi

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RBSE Class 12 Maths Model Paper Set 7 with Answers in Hindi

समय : 2 घण्टे 45 मिनट
पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :

• परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न
(i) यदि A = {1, 2, 3} हो तो ऐसे सम्बन्ध जिनमें अवयव (1, 2) तथा (1, 3) हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किन्तु संक्रामक नहीं है, की संख्या है : (1)
(अ) 1
(ब) 2
(स) 3
(द) 4
उत्तरः
(अ) 1

(ii) tan^-1\(\left(\tan \frac{2 \pi}{3}\right)\) का मान है (1)
(अ) \(-\frac{\pi}{4}\)
(ब) \(\frac{\pi}{4}\)
(स) \(\frac{4 \pi}{3}\)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(अ) \(-\frac{\pi}{4}\)

(iii) यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB – BA एक : (1)
(अ) विषम सममित आव्यूह है
(ब) सममित आव्यूह है ।
(स) शून्य आव्यूह है
(द) तत्समक आव्यूह है।
उत्तरः
(अ) विषम सममित आव्यूह है

(iv) यदि कोई दो वर्गाकार आव्यूह A, B के लिए AB = A, BA = B, तो A² बराबर है- (1)
(अ) A
(ब) B
(स) adj. (A)
(द) B²
उत्तरः
(अ) A

(v) यदि फलन fजो इस प्रकार परिभाषित है कि

x = 0 पर असतत है तो x = 0 पर सततता के लिए अग्र प्रकार परिभाषित होगा (1)

(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः

(vi) ∫\(\frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}\) बराबर है : (1)
(अ) tan^-1 (e^x) + C
(ब) tan^-1 (e^-x) + C
(स) log (e^x – e^-x) + C
(द) log (e^x + e^-x) + C
उत्तरः
(अ) tan^-1 (e^x) + C

(vii) \(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁ के रूप में अवकल समीकरण का व्यापक हल है : (1)
(अ) ye^∫P₁dy = ∫Qe^∫P₁dy dy + C
(ब) ye^∫P₁dx = ∫(Qe^∫P₁dx dx +C
(स) xe^∫P₁dy = ∫Qe^∫P₁dy dy+C
(द) xe^∫P₁dx = ∫(Qe^∫P₁dy dx +C
उत्तरः
(स) xe^∫P₁dy = ∫Qe^∫P₁dy dy+C

(viii) मान लीजिए \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण 0 है, तो \(\vec{a}+\vec{b}\) एक मात्रक सदिश है यदि : (1)
(अ) θ = \(\frac{\pi}{4}\)
(ब) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
(स) θ = \(\frac{\pi}{2}\)
(द) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
उत्तरः
(द) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)

(ix) ऐसे पासे, जिसके तीन फलकों पर 1, अन्य दो पर 2 और एक फलक पर 5 लिखा गया है, को उछालने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य है : (1)
(अ) 1
(ब) 2
(स) 5
(द) \(\frac{8}{3}\)
उत्तरः
(ब) 2

(x) यदि A तथा B के परिवर्त क्रमश: A’ तथा B’ हों तो (AB)’ बराबर है: (1)
(अ) A’B’
(ब) B’A’
(स) AB’
(द) AB
उत्तरः
(ब) B’A’

(xi) यदि फलन | इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = x^5/3, तो x = 0 पर फलन है : (1)
(अ) असतत
(ब) सतत तथा अवकलनीय
(स) सतत परन्तु अवकलनीय नहीं
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) सतत तथा अवकलनीय

(xii) बन्दुओं 2\(\vec{a}\) + 3\(\vec{b}\) तथा \(\vec{a}\) – 2\(\vec{b}\) को मिलाने वाली रेखा को 3 : 2 के अनुपात में अन्तः विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश है : (1)
(अ) \(\frac{5}{7}\)\(\vec{a}\)
(ब) \(\frac{7}{5}\)\(\vec{a}\)
(स) \(\frac{1}{7}\)\(\vec{a}\)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) \(\frac{7}{5}\)\(\vec{a}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए
(i) यदि f(x) = x³ – \(\frac{1}{x^{3}}\), तो – f(x) = ______________ (1)
उत्तर:
f\(\left(\frac{1}{x}\right)\)

(ii) cos (2 tan^-1\(\frac{4}{5}\)) का मान ______________ है। (1)
उत्तर:
\(\frac{9}{41}\)

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) है, तो Aⁿ, (n ∈ M) ______________ है। (1)
उत्तर:
\(\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 n \\
0 & 1
\end{array}\right]\)

(iv) यदि

और x के सभी मानों के लिए f सतत है, तब a = ______________ है। (1)
उत्तर:
-1 और 2

(v)

का मान ______________ है। (1)
उत्तर:
\(\frac{18}{\log 3}\)

(vi) सदिश î – ĵ का सदिश (î + ĵ) पर प्रक्षेप ______________ है। (1)
उत्तर:
0

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न ।
(i) यदि f(x) = 8x³ तथा g(x) = x^1/3 तो gof तथा fog ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
f(x) = 8x³ तथा g(x) = x^1/3
तब gof(x) = g(f(x)) = g(8x³)
= (8x³)^1/3 = [(2x)³]^1/3 = 2x

अब fog(x) = f(g(x)) = f(x^1/3)
= 8(x^1/3)³ = 8x

(ii)
tan^-1\(\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\) को सरल कीजिए। (1)
हल:

(iii) याद A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 5 \\
6 & 7
\end{array}\right]\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि (A + A’) एक सममित आव्यूह है। (1)
हल :

= A + A’
∴ (A + A’)’ = A + A’
अतः A + A’ सममित आव्यूह है।

(iv) सारणिक \(\left|\begin{array}{rrr}
3 & -1 & -2 \\
0 & 0 & -1 \\
3 & -5 & 0
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
माना |A| = \(\left|\begin{array}{rrr}
3 & -1 & -2 \\
0 & 0 & -1 \\
3 & -5 & 0
\end{array}\right|\)
|A| का द्वितीय पंक्ति के अनुदिश प्रसरण करने पर

= 0 + 0 + 1{3 × (-5) – (-1) × 3}
= 1(-15 + 3) = – 12

(v) x के सापेक्ष e^sec2x + 3 cos^-1 x का अवकलन कीजिए। (1)
हल:
माना y = e^sec2x + 3 cos^-1 x है। यह [-1, 1] के प्रत्येक बिन्दु के लिए परिभाषित है। इसलिए

(vi)

का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल:

(vii) स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए वक्र \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
दिया हुआ समीकरण
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) + = 1 …(i)

समीकरण (i) का x के सापेक्ष अवकलन करने

समीकरण (ii) को पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 0
y’ = 0 …(iii)
समीकरण (iii) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(viii) यदि \(\vec{a}\) = 2î + ĵ + 3k̂ और \(\vec{b}\) = 3î + 5ĵ – 2k̂ तो \(|\vec{a} \times \vec{b}|\) ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
यहाँ
\(\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 5 & -2
\end{array}\right|\)
= î(-2 – 15) – (-4 – 9)ĵ + (10 – 3)k̂
= -17î + 13ĵ + 7k̂

अत:
\(|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(-17)^{2}+(13)^{2}+(7)^{2}}=\sqrt{507}\)

(ix) मान लें A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं और P(A) = \(\frac{1}{2}\) और P(B) = \(\frac{7}{12}\) तथा और P(A – नहीं और B – नहीं) = \(\frac{1}{4}\) है। क्या A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं ? (1)
हल:

P(A ∩ B) ≠ P(A).P(B)
अतः A और B स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

(x) सारणि \(\left|\begin{array}{rr}
1 & -2 \\
4 & 3
\end{array}\right|\) के सभी अवयवों के उपसारणिक व सहखंड ज्ञात कीजिए। (1)
हल:
अवयव a_ij का उपसारणिक M_ij है।
यहाँ a₁₁ = 1 इसलिए M₁₁ = 411 का उपसारणिक = 3
M₁₂ = अवयव a₁₂ का उपसारणिक = 4
M₂₁ = अवयव 4₂₁ का उपसारणिक = -2
M₂₁ = अवयव a₂₂ का उपसारणिक = 1

अब a_ij का सहखंड A_ij है। इसलिए
A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = (-1)² (3) = 3
A₁₂ = (-1)¹⁺² M₁₂ = (-1)³ (4) = – 4
A₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = (-1)³ (-2) = 2
A₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂ = (-1)⁴ (1) = 1

(xi) अवकल समीकरण (y”‘)² + (y”)³ + (y’)⁴ + y⁵ = 0 में समीकरण की कोटि व घात ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 2 है। (1)

(xii) यदि सदिश î – ĵ + k̂, 3î + ĵ + 2k̂ और î + λĵ – 3k̂ समतलीय हैं, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\) = 0
⇒ 1 (-3 – 2λ) + 1 (-9-2) + 1 (3λ – 1) = 0
⇒ -3 – 20 – 11 + 32 – 1 = 0
⇒ λ = 15

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
f(x) = 9x² + 6x – 5 द्वारा प्रदत्त फलन f : R₊ → [-5, ∞) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f^-1(y) = \(\left(\frac{(\sqrt{y+6})-1}{3}\right)\) है। (2)
हल:
माना x₁, x₂ ∈ R, तब
f(x₁) = f(x₂)
⇒ 9x₁² + 6x₁ – 5 = 9x₂² + 6x₂ -5
⇒ 9x₁² + 6x₁ + 1 – 6 = 9x₂² + 6x₂ + 1 – 6
⇒ (3x₁ + 1)² – 6 = (3x₂ + 1)² – 6
3x₁ + 1 = 3x₂ + 1
3x₁ = 3x₂
x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।

पुनः माना y E [-5, 2) कोई स्वेच्छ अवयव है
तब x E R, एक ऐसा अवयव होगा जिसके लिए y= f(x), तब
y = f(x)
⇒ y = 9x² + 6x – 5
⇒ y = 9x² + 6x + 1 – 1 – 5
⇒ y = (3x + 1)² – 6.
= (3x + 1)² = y + 6

अतःf आच्छादक है
अब एकैकी आच्छादक है अतः f व्युत्क्रमणीय है।
(i) से, f^-1(y) = \(\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)\)

प्रश्न 5.
यदि A = \(\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
2
\end{array}\right]\) तथा B = [1 5 7] हो, तो सिद्ध कीजिए : (AB)’ = B’A’. (2)
हल:

प्रश्न 6.
सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 5 \\
6 & 0 & 4 \\
1 & 5 & -7
\end{array}\right|\) के अवयवों के उपसारणिक और सहखंड ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि a₁₁ A₃₁+ a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃ = 0 है। (2)
हल:

इसलिए A₃₃ = (-1)³⁺³ (18) = 18
अब a₁₁ = 2, a₁₂ = -3, a₁₃ = 5;
तब A₃₁ = -12, A₃₂ = 22, A₃₃ = 18
इसलिए a₁₁A₃₁ = a₁₂ A₃₂ = a₁₃ A₃₃ = 18
= 2 (-12) + (-3) (22) + 5 (18)
= – 24 – 66 + 90 = 0

प्रश्न 7.
x के सापेक्ष \(\sqrt{\frac{(x-3)\left(x^{2}+4\right)}{3 x^{2}+4 x+5}}\) का अवकलन कीजिए। (2)
हल:
माना y = \(\sqrt{\frac{(x-3)\left(x^{2}+4\right)}{3 x^{2}+4 x+5}}\)
दोनों पक्षों के लघुगणक लेने पर
log y = \(\frac{1}{2}\)[log (x – 3) + log (x² +4)- log (3x² + 4x + 5)]
दोनों पक्षों का x का सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 8.

का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
हम देखते हैं कि [-1, 0] पर x³ – x ≥ 0 और [0, 1] पर
x³ – x ≤ 0 और [1, 2] पर x³ – x ≥ 0

प्रश्न 9.
एक बोल्ट बनाने के कारखाने में मशीनें (यंत्र) A, B और C कुल उत्पादन का क्रमशः 25%, 35% और 40% बोल्ट बनाती हैं। इन मशीनों के उत्पादन का क्रमशः 5, 4, और 2 प्रतिशत भाग.खराब (त्रुटिपूर्ण) हैं। बोल्टों के कुल उत्पादन में से एक बोल्ट यादृच्छया निकाला जाता है और वह खराब पाया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बोल्ट मशीन B द्वारा बनाया गया है? (2)
हल:
माना कि घटनाएँ B₁, B₂, B₃, निम्न प्रकार है:
B₁, : बोल्ट मशीन A द्वारा बनाया गया है
B₂ : बोल्ट मशीन B द्वारा बनाया गया है
B₃, : बोल्ट मशीन C द्वारा बनाया गया है
स्पष्ट है कि घटनाएँ B₁, B₂, B₃, परस्पर अपवर्जी और परिपूर्ण है। मान लिया कि घटना E निम्न प्रकार है: E बोल्ट खराब है।

घटना E, घटनाओं B₁, या B₂, या B₃, के साथ घटित होती है। दिया है:
P(B₁) = 25% = 0.25, P (B₂) = 0.35 और P(B₃) = 0.40
पुनः P(E|B₁) = बोल्ट के खराब होने की प्रायिकता जब कि दिया हो कि वह मशीन B द्वारा निर्मित है = 5% = 0.05
इसी प्रकार P(E|B₂) = 0.04, P(E|B₃) = 0.02 बेज़-प्रमेय द्वारा

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
1 & 2
\end{array}\right]\) हो, तो (A + 2B)’ ज्ञात कीजिए। (2)
हल:

प्रश्न 11.
फलन f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6, जहाँ x ∈ |10, 40| के लिए मध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए। (2)
हल:
दिया गया फलन f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6
एक बहुपद फलन है जो कि अन्तराल [0, 4] में सतत होगा।
पुनःf'(x) = 3x² – 12x + 11 का x ∈ (0, 4) के लिए अस्तित्व है।
∴ f(x) अन्तराल (0, 4) में अवकलनीय है।

अतः मध्यमान प्रमेय के दोनों प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होते
पुनःf(0) = 0³ – 6 × 0+ 11 × 0 – 6 = -6
तथा (4) = 4³ – 6 × 4³ + 11 × 4 – 6
= 64 – 96+ 44 – 6 = 6

∴ अन्तराल (0, 4) में एक बिन्दु का अस्तित्व इस प्रकार है कि

= 3:464 = 0.845 स्पष्टत: c के दोनों मान अन्तराल (0, 4) के अवयव हैं। अत: c E (0, 4) के लिए
f(c) = \(\frac{f(4)-f(0)}{4-0}\)
अतः मध्यमान प्रमेय का सत्यापन हुआ।

प्रश्न 12.
सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (2)
हल:
दिए गए बिन्दु (3, 1) तथा (9, 3) हैं। माना बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) को मिलाने वाली रेखा पर कोई बिन्दु (x, y) है। तब बिन्दु (3, 1), (9, 3) तथा (x, y) सरेख होंगे जिसके फलस्वरूप इन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा। अतः
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
3 & 1 & 1 \\
9 & 3 & 1 \\
x & y & 1
\end{array}\right|\) = 0
सारणिक में संक्रियाओं R₂ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁ का प्रयोग करने पर,
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 1 \\
6 & 2 & 0 \\
x-3 & y-1 & 0
\end{array}\right|\) = 0
सारणिक का तृतीय स्तम्भ (C3) के अनुदिश प्रसरण करने पर,

⇒ 1{6 × (y – 1) – (x – 3) × 2} = 0
⇒ 6y – 6 – 2x + 6 = 0
⇒ 6y – 2x = 0
⇒ 3y -x = 0
⇒ x – 3y = 0
⇒ x = 3y
जो अभीष्ट रेखा का समीकरण है।

प्रश्न 13.
मान ज्ञात कीजिए: ∫e^2x sin x dx. (2)
हल:

(e^2x को प्रथम फलन तथा sin x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
= e^2x∫sin x dx – ∫{\(\frac{d}{dx}\)e^2x ∫sin x dx} dx
= e^2x(- cos x) – ∫2e^2x (- cos x) dx
= -e^2x cos x + 2 ∫e^2x cos x dx
I = -e^2x cos x + 2I₁ …(i)

(e^2x को प्रथम फलन तथा cos x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
⇒ I₁ = e^2x ∫ cos x dx – ∫{\(\frac{d}{dx}\)e^2x ∫cos x dx} dx
⇒ I₁ = e^2x sin x – ∫2e^2x sin x dx + C₁

I₁ का मान समीकरण (i) में रखने पर,
I = – e^2x cos x + 2[e^2x sin x – 2 ∫e^2x sin x dx + C₁
⇒ I = –\(\frac{1}{5}\) e^2x cos x + 2e^2x sin x – 4 ∫e^2x sin x dx + 2C₁
⇒ I = -e^2x cos x + 2e^2x sin x – 41 + 2C₁
⇒ I + 4I = \(\frac{1}{5}\)e^2x cos x + 2e^2x sin x + 2C₁
⇒ 5I = -e^2x cos x + 2e^2x sin x + 2C₁
⇒ I = –\(\frac{1}{5}\)e^2x cos x + \(\frac{2}{5}\)e^2x sin x + \(\frac{2}{5}\)C₁
⇒ I = –\(\frac{1}{5}\)e^2x cos x + \(\frac{2}{5}\)e^2x sin x + C [∵ C = \(\frac{2}{5}\)C₁]
I = \(\frac{e^{2 x}}{5}\)(2 sin x – cos x) + C

प्रश्न 14.
दिखाइए कि फलन y = A cosx – B sin x, अवकल समीकरण \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0 का हल है। (2)
हल:
दिया गया फलन y = A cos x – B sin x …(i)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = – A sin x – B cos x …(ii)

पुनः समीकरण (ii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = – A cos x – B(- sin x)
= – A cos x + B sin x
= – (A cos x – B sin x)
= -y [समीकरण (i) से]
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0

प्रश्न 15.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C(1, 5, 5) हैं। (2)
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब O के सापेक्ष AABC

शीर्ष A का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O A}\) = î + ĵ + 2k̂

शीर्ष B का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O B}\) = 2î + 3ĵ + 5k̂

शीर्ष C का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O C}\) = î + 5ĵ + 5k̂

अब \(\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\)
= (2î + 3ĵ + 5k̂) – î + ĵ + 2k̂)
= (2 – 1) î + (3 – 1) ĵ+ (5 – 2)k̂
= î + 2ĵ + 3k̂

\(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}\)
= (î + 5ĵ + 5k̂) – (î + ĵ + 2k̂)
= (1-1)î + (5 – 1) ĵ + (5 – 2)k̂
= 0 + 4ĵ + 3k̂

प्रश्न 16.
एक व्यक्ति के बारे में ज्ञात है कि वह 4 में से 3 बार सत्य बोलता है। वह एक पासे को उछालता है और बतलाता है कि उस पर आने वाली संख्या 6 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में 6 है। (2)
हल:
माना E, ‘व्यक्ति द्वारा पासे को उछालकर यह बताने की कि उस पर आने वाली संख्या 6 है’ की घटना है। माना S₁, पासे पर संख्या 6 आने की घटना और S₂, पासे पर संख्या 6 नहीं आने की घटना हैं। तब
P(S₁) = संख्या 6 आने की घटना की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
P(S₂) = संख्या 6 नहीं आने की घटना की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\)
P(E|S₁) = व्यक्ति द्वारा यह बताने पर कि पासे कि संख्या 6 आई है जबकि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में 6 है, की प्रायिकता

= व्यक्ति द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता
= P(E|S₂) = व्यक्ति द्वारा यह बताने पर कि पासे पर संख्या 6 आई है जबकि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में 6 नहीं है, की प्रायिकता = व्यक्ति द्वारा सत्य नहीं बोलने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
अब बेज़-प्रमेय द्वारा

P(S₂|E) = व्यक्ति द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि संख्या 6 प्रकट हुई है, जब वास्तव में संख्या 6 है

अतः अभीष्ट प्रायिकता \(\frac{3}{8}\) है।

खण्ड – (स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए : cot^-1\(\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]=\), x ∈ (0, \(\frac{\pi}{4}\)) (3)
अथवा
सिद्ध कीजिए : sin^-1\(\left(\frac{8}{17}\right)\) +sin ^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) = tan^-1\(\left(\frac{77}{36}\right)\) (3)
हल:

प्रश्न 18.
मध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f”(c) = 0 के लिए C ∈ (1, 3) को ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
यदि y = sin^-1x है, तो दर्शाइए कि : (1 – x²)\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – x\(\frac{d y}{d x}\) = 0
हल:
दिया गया फलन (x) = x³ – 5x² – 3x, x ∈ [1, 3], एक बहुपद फलन है। चूँकि बहुपद फलन सतत होता है,
अतः फलन अन्तराल [1, 3] में सतत है। पुनः बहुपद फलन अवकलनीय भी . होता है। अतः फलन (1, 3) में अवकलनीय है।

अब f'(x) = 3x² – 10x – 3, का x ∈ (1, 3) में अस्तित्व है।

अन्तराल (1, 3) में एक बिन्दु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि
f'(c) = \(\)
अब यहाँ a = 1 तथा b = 3 तब
f(a) = f(1) = 1³ – 5 × 1² – 3 × 1
= 1 – 5 – 3 = -7
f(b) = f(3) = 3³ – 5 × 3² – 3
= 27 – 45 – 9 = -27
अब f(a) तथा (b) के मान समी (i) में रखने पर,
f'(c) = \(\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{-27-(-7)}{3-1}\)
⇒ 3c² – 10 c – 3 = \(\frac{-27+7}{2}=\frac{-20}{2}\) = -10
⇒ 3c² – 10c – 3 + 10 = 0.
⇒ 3c² – 10c + 7 = 0
⇒ 3c² – (7 + 3)c + 7 = 0
⇒ 3c² – 7c – 3c + 7 = 0
⇒ c(3c – 7) – (3c – 7) = 0
⇒ (3c – 7) (c – 1) = 0
3c – 7 = 0 ⇒ c – 1 = 0
3c = 7 ⇒ c = 1
⇒ c = \(\frac{7}{3}\) ⇒ c = 1
1 ∉ (1, 3)
∴ c = \(\frac{7}{3}\) ∈ (1, 3)

पुनः प्रश्नानुसार,
f'(c) = 0 ⇒ 3c² – 10c – 3 = 0

प्रश्न 19.
∫(x² +1) log x का मान ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
∫x tan^-1x dx का मान ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
माना I = ∫(x² + 1) log x dx
(log x को प्रथम फलन तथा (x² + 1) को
द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)

प्रश्न 20.
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है :
(2i+3j+64),(31-6j+24), (6i+27-3k)
यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत् हैं। (3)
अथवा
यदि एक मात्रक सदिश ai के साथ में तथा k के साथ एक न्यूनकोण 8 बनाता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से 4 के घटक भी ज्ञात कीजिए। (3)
हल:
माना

अतः दिए गए सदिश मात्रक सदिश हैं। पुनः

अतः \(\vec{c}\) तथा \(\vec{a}\) परस्पर लम्ब हैं।
इसलिए \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) एक-दूसरे पर परस्पर लम्बवत् हैं।

खण्ड – (द)
निबंधात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
हल:

प्रश्न 22.
दर्शाइए कि अवकल समीकरण 2ye^{\(\frac{x}{y}\)} dx + (y – 2xe^{\(\frac{x}{y}\)})dy = 0 समघातीय है और यदि, x = 0 जब y = 1 दिया हुआ हो तो इस समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + 2ytany = sin x; y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{3}\) के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

अतः F (x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन
इसलिए, दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम x = vy प्रतिस्थापन करते हैं।
x = vy का y के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d x}{d y}\) = v + y\(\frac{d v}{d y}\)
समीकरण (i) में x एवं \(\frac{d x}{d y}\) का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

\(\frac{d x}{d y}\) को \(\frac{x}{y}\) से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं
2e^{\(\frac{x}{y}\)} + log |y | = C . …(ii)
समीकरण (ii) में, x = 0 एवं y = 1 प्रतिस्थापित करने पर
2e^{\(\frac{x}{y}\)} + log | 1 | = C ⇒ C = 2

C का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
2e^{\(\frac{x}{y}\)} + log | y | = 2

यह दिए हुए अवकल समीकरण का एक विशिष्ट हल है।

प्रश्न 23.
किसी फैक्ट्री में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से: (4)
(i) एक भी नहीं ।
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम-से-कम एक, 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएंगे।
अथवा
एक अनभिनत पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
हल:
150 दिनों का उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता p = 0.05 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज न होने की प्रायिकता
q = 1 – 0.05 = 0.95
(i) P(पाँचों में से कोई भी बल्ब 10 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज नहीं होगा) = (0.95)⁵ = 0.7738 = 0.77 (लगभग)।
(ii) P(एक से अधिक बल्ब फ्यूज नहीं होगा) = P(O) + P(1) = (0.95)⁵ + ⁵C₁ (0.95)⁴.(0.05)
= (0.95)⁴ [0.95 + 5 × 0.05]
= (0.95)⁴ [0.95 + 0.25]
= (0.95)⁴ [0.95 + 0-25]
= (0.95)⁴ × 1-2 = 0.98 (लगभग)।

(iii) P(एक से अधिक बल्ब फ्यूज होंगे)
= P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)] – [P(0) + P(1)]
= 1 – [P(0) + P(1)][(ii) से]
= 1 – (0.95)⁴ × 1-2
= 1 – 0.98 = 0.02.

(iv) P(कम-से-कम एक बल्ब फ्यूज होता है)
= P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= 1 – P(0)
= 1 – (0.95)⁵
= 1 – 0.77 = 0.23