RBSE Class 12 E-Mathematics Self Evaluation Test Papers in Hindi

RBSE Class 12 E-Mathematics Self Evaluation Test Papers in Hindi

समय : 2 घण्टे 45 मिनट
पूर्णांक : 80

परीक्षार्थियों के लिए सामान्य निर्देश :

• परीक्षार्थी सर्वप्रथम अपने प्रश्न-पत्र पर नामांक अनिवार्यतः लिखें।
• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दी गई उत्तर-पुस्तिका में ही लिखें।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड हैं, उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।

RBSE Class 12 E-Mathematics Self Evaluation Test Paper 1 in Hindi

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न (i) समुच्चय (a, b) में द्विसंक्रियाओं की संख्या होगी : (12 × 1 = 12)
(अ) 10
(ब) 16
(स) 20.
(द) 8

(ii) sin(tan^-1x), |x| < 1 का मान होगा :
(अ) \(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
(ब) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
(स) \(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\)
(द) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)

(iii) यदि A, B समान क्रम की सममित आव्यूह हैं तो AB – BA होगीः
(अ) विषम सममित आव्यूह
(ब) सममित आव्यूह
(स) शून्य आव्यूह
(द) इकाई आव्यूह

(iv) यदि \(\left|\begin{array}{lll}
2 & 3 & 2 \\
x & x & x \\
4 & 9 & 1
\end{array}\right|\) + 3 = 0 हो, तो x का मान होगा :
(अ) 3
(ब) 0
(स) – 1
(द) 1

(v) यदि

पर सतत् है, तब m का मान होगा :
(अ) 3
(ब) 6
(स) -3
(द) – 6

(vi) ∫\(\frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}\) का मान है :
(अ) tan^-1(e^x) + c
(ब) tan^-1(e^-x) +c
(स) log(e^x – e^-x) + c.
(द) log(e^x + e^-x) + c.

(vi) अवकल समीकरण \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + x\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) = 2x² log\(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)\) को कोटि तथा घात होगी :
(अ) 2, 1
(ब) 1, 2
(स) 0, 2
(द) 2, अपरिभाषित

(viii) यदि \(\vec{a}\) व \(\vec{b}\) के बीच θ कोण है, तो \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ≥ 0 केवल तभी सत्य होगा जब :
(अ) 0 < θ < \(\frac{π}{2}\)
(ब) 0 ≤ θ ≤ \(\frac{π}{2}\)
(स) 0 < θ < π
(द) 0 ≤ θ ≤ π

(ix) यदि A व B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A) ≠ 0 तथा P(B/A) = 1, तब :
(अ) A ⊂ B
(ब) B ⊂ A
(स) B = Φ
(द) A = Φ

(x) यदि आव्यूह A सममित तथा विषम सममित दोनों हैं, तो A एक :
(अ) विकर्ण आव्यूह है
(ब) शून्य सदिश है
(स) वर्ग आव्यूह है
(द) इनमें से कोई नहीं

(xi) फलन का अवकलज, यदि (x) = tan^-1x से दिया जाता है, तो होगा :
(अ) \(\frac{1}{1-x^{2}}\)
(ब) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
(स) \(\frac{1}{1+x^{2}}\)
(द) \(\frac{2 x}{1+x^{2}}\)

(xii) यदि \(\vec{a}\) व \(\vec{b}\) इकाई सदिश हैं तथा । इनके बीच का कोण हों तब, (\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) एक इकाई सदिश होगा यदिः
(अ) θ = \(\frac{\pi}{4}\)
(ब) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
(स) θ = \(\frac{\pi}{2}\)
(द) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए : ( 6 × 1 = 6)

(i) यदि f : R →R इस प्रकार परिभाषित है कि (x) = (3 – x³)^1/3, तब fof(x) ________ होगा।

(ii) यदि sin[sin^-1\(\left(\frac{1}{5}\right)\) + cos^-1x] = 1, तो : का मान ____________ होगा।

(iii) यदि A + B = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right]\) और A – 2B = \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) तब A का मान ________

(iv) यदि फलन f बिन्दु C पर असतत् है तो बिन्दु C को फलन f का ________ कहते हैं

(v) ∫\(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}\)dx का मान ________ होगा।

(vi) यदि a एक अशून्य सदिश है, तो (\(\vec{a}\).î)î + (\(\vec{a}\).ĵ)ĵ + (\(\vec{a}\).k̂)k̂ का मान ________

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न (12 × 1 = 12)
(i) यदि f: R → R इस प्रकार परिभाषित हो कि f(x)= 3x + 2 तो f(f(x)) ज्ञात कीजिए।

(ii) cot[sin^-1{cos(tan^-1(11)}] का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

(iii) आव्यूह A_3×3 = [a_ij] का अवयव a₂₃, लिखिए जिसका a_ij, अवयव \(\frac{|\hat{i}-\hat{j}|}{2}\) के अनुसार होगा।

(iv) यदि सारणिक \(\left|\begin{array}{cc}
2 x & 3 \\
5 & x
\end{array}\right|\) तथा \(\left|\begin{array}{rr}
16 & 3 \\
5 & 2
\end{array}\right|\) बराबर हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

(v) cos√x का अवकलन ज्ञात कीजिए।

(vi) ∫\(\sqrt{1-\sin 2 x}\) dx, \(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{\pi}{2}\) का मान ज्ञात कीजिए।

(vii) अवकल समीकरण y”’y² + e^y’ = 0 में समीकरण की घात व कोटि लिखिए।

(viii) यदि a व 6 का मापांक समान हो, तो उसे ज्ञात कीजिए जबकि उनके बीच कोण 60° तथा उसका सदिश गुणन 9/2 है।

(ix) यदि A व B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तो P(A ∪ B) ज्ञात कीजिए जबकि P(A) = 0.3 व P(B) = 0.4 हो।

(x) सारणिक \(\left|\begin{array}{cc}
a+i b & c+i d \\
-c+i d & a-i b
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।

(xi) समीकरण \(\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}\) = 0 का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

(xii) इकाई लम्बाई में सदिशों की संख्या ज्ञात कीजिए जो सदिशॆ \(\vec{a}\) = 2î + ĵ + 2k̂ तथा \(\vec{b}\) = ĵ + k̂ दोनों के लम्ब हो।

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है। (2)

प्रश्न 5.
यदि [x-3] \(\left[\begin{array}{c}
2 x \\
6
\end{array}\right]\) = 0 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए \(\left[\begin{array}{ccc}
a^{2}+2 a & 2 a+1 & 1 \\
2 a+1 & a+2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{array}\right]\) = (a – 1)³ (2)

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि फलन

पर सतत् है। (2)

प्रश्न 8.
∫\(\frac{1}{1+3 e^{x}+2 e^{x}}\)dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 9.
एक पाँसे को दो बार उछाला जाता है और प्रकट हुई संख्याओं का योग 6 पाया गया। संख्या 4 के न्यूनतम एक बार प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 5A + 7I = 0 है। (2)

प्रश्न 11.
यदि x = e^x-y हो, तो सिद्ध कीजिए \(\frac{d y}{d x}=\frac{\log x}{(1+\log x)^{2}}\). (2)

प्रश्न 12.
आव्यह \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 2 \\
2 & 3 & 5 \\
-2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) का सहखण्डज ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 13.

का मान ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}+\frac{1+y^{2}}{x y^{2}\left(1+x^{2}\right)}\) = 0 को हल कीजिए। (2)

प्रश्न 15.
यदि \((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})\) = 8 और |\(\vec{a}\)| = 8|\(\vec{b}\)| हो, तो |\(\vec{a}\)| एवं |\(\vec{b}\)| ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 16.
पासों के एक जोड़े को उछालने पर द्विकों की संख्या की प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। (2)

खण्ड – (स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
समीकरण sec^-1\(\left(\frac{x}{a}\right)\) – sec^-1\(\left(\frac{x}{a}\right)\) = sec^-1(b) – sec^-1(a) को हल कीजिए। (3)
अथवा
समीकरण cos^-1x + cos^-12x = \(\frac{2 \pi}{3}\) को हल कीजिए। (3)

प्रश्न 18.
tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right)\) का cos^-1\(\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)\) के सापेक्ष अवकलन कीजिए। (3)
अथवा
f(x) = (x) – (x + 1) द्वारा परिभाषित फलन के सभी असांतत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए। (3)

प्रश्न 19.
∫\(\frac{\log x}{(1+\log x)^{2}}\) dx का मान ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
∫\(\frac{1}{1+x+x^{2}+x^{3}}\) dx का मान ज्ञात कीजिए। (3)

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि यदि सदिश \(\vec{a} \vec{b}, \vec{c}\) एक समतलीय हैं, तो सदिश \(\vec{a}+\vec{b}, \vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}\) भी एक समतलीय हैं। (3)
अथवा
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 1, 2), B(2, 3. 5) तथा C(1, 5, 5) हैं। (3)

खण्ड – (द)
निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

का मान ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा

का मान ज्ञात कीजिए। (4)

प्रश्न 22.
अवकल समीकरण xdy – ydx sin\(\left(\frac{y}{2}\right)\) = (ydx + xdy)xcos \(\left(\frac{y}{x}\right)\) को हल कीजिए। (4)
अथवा
अवकल समीकरण (1 + x²) + 2xy = y = 0 यदि x = 1 के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। (4)

प्रश्न 23.
एक पासा दो बार उछाला गया है। पासे पर विषम संख्या प्राप्त होने को सफलता कहा गया है। सफलताओं के बंटन का प्रसरण ज्ञात कीजिए। (4)
अथवा
एक युग्म पासे को चार बार फेंकने से द्विक की संख्या के प्रायिकता बंटन का प्रसरण ज्ञात कीजिए। (4)

RBSE Class 12 E-Mathematics Self Evaluation Test Paper 2 in Hindi

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न (12 × 1 = 12)
(i) यदि f: Q → R इस प्रकार है कि f(x) = x², तो f^-1(25) है :
(अ) {-5, 5}.
(ब) {25, 5}
(स) {5, -25
(द) इनमें से कोई नहीं

(ii) sec² (tan^-1 3) + 6 cosec² (cot^-12) का मान है :
(अ) -13
(ब) 13.
(स) 12
(द) इनमें से कोई नहीं

(iii) समीकरण sin^-1x + sin^-12x = \(\frac{\pi}{3}\) में x का मान होगा :
(अ) \(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{7}}\)
(ब) \(\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{7}\)
(स) \(\frac{1}{2} \frac{3}{\sqrt{7}}\)
(द) इनमें से कोई नहीं

(iv) \(\left|\begin{array}{lll}
\frac{1}{a} & a^{2} & b c \\
\frac{1}{b} & b^{2} & c a \\
\frac{1}{c} & c^{2} & a b
\end{array}\right|\) का मान है :
(अ) abc
(ब) 0
(स) 1
(द) a + b+c

(v) यदि x = at² तथा y = 2at हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) का मान होगा:
(अ) 2at
(ब) 2a
(स) t
(द) \(\frac{1}{t}\)

(vi) ∫\(\frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}\) का मान होंगा :
(अ) tan x + cot x + c
(ब) tan x + cosec x + c.
(स) -tan x + cot x + c.
(द) tan x + sec x + c

(vii) अवकल समीकरण y²y’ + y² + 1 = 0 का हल है:
(अ) x + y = tan^-1y
(ब) x – y = tan^-1y
(स) x + y = tan^-1x
(द) x – y = tan^-1x

(viii) यदि सदिश \(\vec{a}\) =3î + λĵ – k̂ तथा \(\vec{b}\) = 2î + ĵ + μk̂ लम्बबत् हो, तथा \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\), तब λ व μ होंगे :
(अ) \(\frac{-31}{12}, \frac{-41}{12}\)
(ब) \(\frac{31}{12}, \frac{41}{12}\)
(स) \(\frac{-31}{12}, \frac{41}{12}\)
(द) \(\frac{31}{12}, \frac{-41}{12}\)

(ix) एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन p(x) इस प्रकार है:

तो k का मान होगा :
(अ) \(\frac{1}{6}\)
(ब) \(\frac{5}{6}\)
(स) \(\frac{2}{6}\)
(द) इनमें से कोई नहीं

(x) cos θ\(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\) + sin θ\(\left[\begin{array}{cc}
\sin \theta & -\cos \theta \\
\cos \theta & \sin \theta
\end{array}\right]\)
का सरलतम रूप हैं :
(अ) \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
(ब) \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
(स) 1
(द) 2

(xi) यदि y = 5 cos x – 3 sin x, तब
(अ) – 5 sin x – 3 cosx
(ब) – 5 cos x + 3 sin x
(स) 3 sin x – 5 cos x
(द) 3 cos x + 5 sin x

(xii) (a-b)x(a + b) का मान है :
(अ) 2\((\vec{a}+\vec{b})\)
(ब) 2\((\vec{a}-\vec{b})\)
(स) 2\((\vec{a} \times \vec{b})\)
(द) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए
(i) यदि * एक N पर द्विआधारी संक्रिया इस प्रकार हो कि a * b = LCM(a, b), ∀ a, b ∈ N, तब 5 * 7 का मान _________________ होगा।।

(ii) tan^-1\(\left(\frac{7 \pi}{6}\right)\) का मान _________________ होगा।

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 5 \\
6 & 7
\end{array}\right]\) हो, तो A + A’ का मान _________________ होगा।

(iv) यदि y = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right)\) तब \(\frac{d y}{d x}\) का मान _________________ होगा।

(v)

का मान _________________ होगा।

(vi) यदि \(\vec{a} \perp \vec{b}\) तथा \((\vec{a}+\vec{b})\) = 13, |\(\vec{a}\)| = 5 तब |\(\vec{a}\)| का मान _________________ होगा।

प्रश्न 3.
अतिलघूत्तरात्मय प्रश्न : (12 × 1 = 12)
(i) यदि f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\) तो fof^-1(x) ज्ञात कीजिए।

(ii) tan^-1[2cos(2 sin^-1\(\frac{1}{2}\)] का मान ज्ञात कीजिए।

(iii) 2 × 2 क्रम का एक आव्यूह A_i = [a_ij] का निर्माण कीजिए जिसके अवयव a_ij = \(\frac{(i+2 j)^{2}}{2}\) द्वारा दिये गये हों।

(iv) यदि ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
5 & 3 & 8 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|\), तो अवयव a₃₂, के सहखण्ड लिखिए।

(v) tan_-1\(\left(\frac{1+\cos x}{\sin x}\right)\) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

(vi) ∫cos4x cosxdx का मान ज्ञात कीजिए।

(vii) अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

(vii) बिन्दुओं P(2, 3, 4) तथा Q(4, 1, – 2) को मिलाने वाले सदिश के मध्य बिन्दु के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

(x) x के किस मान के लिए आव्यूह \(\left[\begin{array}{cc}
2 x+4 & 4 \\
x+5 & 3
\end{array}\right]\) एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है?

(xi) यदि वक्रों के कुल को समीकरण \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 द्वारा दर्शाया जाए तो a व b का विलोपन कर अवकल समीकरण का निर्माण कीजिए। । (xii) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 1, 1), B(1, 2, 3) तथा C(2, 3, 1) हों।

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
यदि : R→ R और g : R → R इस प्रकार परिभाषित हैं कि j(x) = x + 3x; g(x) = 1 – \(\frac{1}{(1-x)}\) हो, तो fog(x) तथा go/tx) ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 5.
एक ऐसे 2 × 2 आव्यूह : A = [a_ij] की रचना कीजिए जिसके अवयव a_ij = (-5î + 2ĵ) द्वारा दिये जाते हैं। (2)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए : \(\left[\begin{array}{ccc}
1+a & b & c \\
a & 1+b & c \\
a & b & 1+c
\end{array}\right]\) = (1 + a + b + c) (2)

प्रश्न 7.
a व b के किन मानों के लिए फलन f(x), x = 1 पर सतत् होगा? जहाँ (2)

प्रश्न 8.
∫\(\frac{(3 \sin x-2) \cos x}{5-\cos ^{2} x-4 \sin x}\)dx का मान ज्ञात कीजिए | (2)

प्रश्न 9.
दो पासों को युग्मतः उछाला गया। यदि X छक्कों की प्रायिकता को व्यक्त करता है तो x की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 10.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\
\tan \frac{\alpha}{2} & 0
\end{array}\right]\)
और I समान कोटि का इकाई आव्यूह है, तो दिखाइए कि: (2)
(I + A) = (I – A)\(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\)

प्रश्न 11.
यदि x\(\sqrt{1+y}\) + y\(\sqrt{1+x}\) = 0 तथा – 1

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 3 \\
1 & 4 & 3 \\
1 & 4 & 4
\end{array}\right]\) तो सत्यापित कीजिए कि : A.adj A = |A|. (2)

प्रश्न 13.

का मान ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण x²(y + 1)dx + y²(x – 1)dy = 0 को हल कीजिए। (2)

प्रश्न 15.
एक एकक सदिश ज्ञात कीजिए जो सदिश 3î + 2ĵ – k̂ तथा 2î + 5ĵ – 5k̂ दोनों पर लम्ब है। (2)

प्रश्न 16.
तीन विद्यार्थियों को गणित की एक समस्या को हल करने के लिए दिया गया। इनके द्वारा हल करने की प्रायिकता क्रमशः है। समस्या के हल हो जाने की प्रायिकता क्या है? (2)

खण्ड – (स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए : tan^-1\(\left(\frac{3}{4}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) – tan^-1\(\left(\frac{8}{19}\right)\) (3)
अथवा
sin[\(\frac{\pi}{4}\) – sin^-1\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)] का मान ज्ञात कीजिए। (3)

प्रश्न 18.
tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right)\) का sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\) के सापेक्ष अवकलन कीजिए। (3)
अथवा
फलन f(x) = x² + 2, जहाँ x ∈ [-2, 2] के लिए रोले की प्रमेय को सत्यापित कीजिए। (3)

प्रश्न 19.
∫\(\frac{x^{2} \tan ^{-1} x}{1+x^{2}}\) dx का मान ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
∫\(\frac{d \theta}{b \cos \theta+c \sin \theta}\) का मान ज्ञात कीजिए। (3)

प्रश्न 20.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ सदिश î + 2ĵ + 2k̂ तथा 3î – 2ĵ + k̂ से निरूपित हों तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
सिद्ध कीजिए : \([\vec{a}+\vec{b} \vec{b}+\vec{c} \vec{c}+\vec{a}]=2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\). (3)

खण्ड – (द)
निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए: (4)

अथवा
सिद्ध कीजिए: (4)

प्रश्न 22.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}+\frac{1+y^{2}}{x y^{2}\left(1+x^{2}\right)}\) = 0 को हल कीजिए। (4)
अथवा
अवकल समीकरण (3xy + y²)dx + (x² + xy)dy = 0 को हल कीजिए। (4)

प्रश्न 23.
एक व्यक्ति के बारे में ज्ञात है कि वह 5 में से 3 बार सत्य बोलता है। वह एक पासे को उछालता है और बताता है कि उस पर आने वाली संख्या 1 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में 1 है। (4)
अथवा
एक कलश में 4 सफेद तथा 2 लाल गेंदें हैं। दो गेंदों के यादृच्छया निकालने में लाल गेदों की संख्या का प्रायिकता बंटन तथा इसका माध्य भी ज्ञात कीजिए। (4)

RBSE Class 12 E-Mathematics Self Evaluation Test Paper 3 in Hindi

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न
(i) यदि : R→ R इस प्रकार है कि f(x) = [x]; जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन है, तो फलन f =
(अ) एकैकी आच्छादक है।
(ब) न तो एकैकी, न ही आच्छादक है
(स) एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं
(द) इनमें से कोई नहीं

(ii) tan^-1 \(\left(\frac{1-x^{2}}{2 x}\right)\) + cot^-1\(\left(\frac{1-x^{2}}{2 x}\right)\) बराबर है:

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) हो, तो A² + B²A बराबर होगा:
(अ) A
(ब) B.
(स) A – B
(द) इनमें से कोई नहीं

(iv) \(\left[\begin{array}{ccc}
y+z & y & z \\
x & x+z & z \\
x & y & x+y
\end{array}\right]\) का मान है-
(अ) 4xyz
(ब) xyz.
(स) 4x²y²z²
(द) x²y²z².

(v) यदि x = a (θ – sin θ) तथा y = a (1 + cos θ) हो, तो θ = \(\frac{\pi}{3}\) पर \(\frac{d y}{d x}\) का मान होगा :
(अ) √5
(ब) √3
(स) – √3
(द) 1

(vi) ∫\(\frac{d x}{x^{2}+16}\) का मान है :
(अ) tan^-1\(\left(\frac{x}{4}\right)\) + c
(ब) \(\frac{1}{4}\)tan-^-1\(\left(\frac{x}{4}\right)\) + c
(स) cot^-1 (x) + c
(द) \(\frac{1}{4}\)cot^-1 (x) + c

(vii) अवकल समीकरण y’ = \(\frac{y^{2}}{1-x y}\) का हल है:
(अ) xy = logy + c
(ब) y = log x + c.
(स) y = log(xy) + c
(द) इनमें से कोई नहीं

(viii) यदि समान्तर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ 2î – 4ĵ + 5k̂ तथा î – 2ĵ – 3k̂ हैं, तो इसका क्षेत्रफल हैं :
(अ) 5√11 वर्ग इकाई
(ब) 11 वर्ग इकाई
(स) 11√5 वर्ग इकाई
(द) इनमें से कोई नहीं

(ix) यदि किसी द्विपद बंटन का माध्य 10 है तथा इसका विचलन 2 है तो q का मान है :
(अ) 0.4
(ब) 0.6
(स) 1.0
(द) 0.5

(x) यदि दो आव्यूह A व B इस प्रकार हैं कि AB का अस्तित्व है तब BA का आस्तित्व:
(अ) होगा
(ब) नहीं होगा
(स) हो भी सकता है और नहीं भी
(द) इनमें से कोई नहीं

(xi) यदि y = tan^-1x, तब \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) का मान होगा:
(अ) \(\frac{-2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}\)
(ब) \(\frac{-2 x}{1+x^{2}}\)
(स) \(\frac{-1}{1+x^{2}}\)
(द) \(\frac{1}{1+x^{2}}\)

(xii) यदि \(\vec{a}\) = 2î – ĵ + 2k̂ तथा \(\vec{b}\) = -î + ĵ – k̂ हो, तो \(\vec{a}+\vec{b}\) के अनुदिश मात्रक सदिश है
(अ) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(î + ĵ)
(ब) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(î + k̂)
(स) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(î + ĵ + k̂)
(द) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए (6 × 1 = 6)
(i) यदि f : R → R, f(x) = sin x तथा g; R→ R, g(x) = x² हो, तो fogo f(x) = ………………….. होगा।

(ii) cos \(\left[\tan ^{-1}\left(\cot \frac{\pi}{4}\right)+\cos ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{4}\right)\right]\) का मान ……………………. होगा।

(iii) यदि A – B = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right]\) तथा A + 2B = \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
0 & -1
\end{array}\right]\) हो, तो ……………………………. होगा।

(iv) [- √5, 0] में फलन f(x) = x³ – 5x एर रोल प्रमेय के लिए C का मान …………………… होगा।

(v)

का मान ………………. होगा।

(vi) यदि \(\vec{a}\) = 4î – ĵ + k तथा \(\vec{b}\) = 2î – 2ĵ + k तथा सदिश के समान्तर इकाई सदिश ………………………. होगा।

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न (12 × 1 = 12)
(i) यदि f : R → R, तथा f(x) = x² + 5x +9, तो f^-1(9) ज्ञात कीजिए।

(ii) फलन tan^-1 \(\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\), – \(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{3 \pi}{4}\) को सरलतम रूप में लिखिए।.

(iii) यदि A = \(\left[\begin{array}{r}
-2 \\
4 \\
5
\end{array}\right]\) तथा B = [1, 3, -6], तब सिद्ध कीजिए कि: (AB)’ = B’A’

(iv) \(\left[\begin{array}{cc}
x+1 & x-1 \\
x-3 & x+2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
4 & -1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\) हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

(v) sin^-1(e^x) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

(vi) ∫\(\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{3}}}\)dx का मान ज्ञात कीजिए।

(vii) दिखाइए कि अवकलन समीकरण 2\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) + x\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) – y = 0 का हल y = ax + 2a² होगा।

(vii) सिद्ध कीजिए कि \((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})\)

(ix) एक परिवार में दो बच्चे हैं। यदि यह ज्ञात हो कि उनमें से कम से कम एक बच्चा लड़का है, तब दोनों बच्चों के लड़का होने की प्राविकता ज्ञात कीजिए।

(x) दर्शाओं कि बिन्दु A(a, b + c); B(b, c+ a) तथा C(c, a + b) तीनों सरेख हैं।

(xi) सिद्ध कीजिए कि समीकरण x + y = tan^-1 y, अवकल समीकरण y²y” + y + 1 = 0 का हल है।

(xii) यदि \(\vec{a}\) = 5î – ĵ – 3k̂ तथा \(\vec{b}\) = î + 3ĵ – 5k̂ तब \(\vec{a}+\vec{b}\) तथा \(\vec{a}-\vec{b}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि सभी पूर्णांकों के समुच्चय z में एक सम्बन्ध R, जोकि (x, y) ∈ R ⇔ (x, y),3 से भाज्य है, द्वारा परिभाषित है, एक तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 5.
यदि \(\left[\begin{array}{cc}
x-y & z \\
2 x-y & w
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 4 \\
0 & 5
\end{array}\right]\) हो, तो x, y, z तथा w का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
सारणिक \(\left[\begin{array}{ccc}
x+y & y+z & z+x \\
z & x & y \\
-3 & -3 & -3
\end{array}\right]\) का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7.
यदि फलन

पर सतत है तो k का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8.
∫\(\frac{\cos x}{\sqrt{\sin ^{2} x-2 \sin x-3}}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 9.
यदि एक सिक्के को 10 बार उछाला जाता है तो ठीक-ठीक चार पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 10.
यदि एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A² = I, तब (A – I)³ + (A + I³ = 7A को सरल कीजिए।

प्रश्न 11.
sin^-1\(\left(\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\right)\) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -3 \\
-4 & 7
\end{array}\right]\) हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.

का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 14.
निम्न अवकल समीकरण के लिए, ऐसा विशिष्ट फलन ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है: cos\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = a (a ∈ R): y = 1 जब x = 0

प्रश्न 15.
λ तथा µ ज्ञात कीजिए यदि (2î + 6ĵ + 27k̂) × (î + λĵ + uk̂) = 0

RBSE Class 12 E-Mathematics Self Evaluation Test Paper 4 in Hindi

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
बहुविकल्पीय प्रश्न (12 × 1 = 12)
(i) द्विआधारी संक्रिया * समुच्चय S = {1, i, – 1, -1}, जहाँ i = √-1 इस प्रकार परिभाषिते है कि a * b = ab, ∀ab ∈ S तो * के लिए तत्समक अवयव है: (1)
(अ) 1
(ब) i
(स) – 1
(द) इनमें से कोई नहीं

(ii) sin^-1\(\left(\cos \frac{3 \pi}{5}\right)\) का मान है:
(अ) \(\frac{\pi}{10}\)
(ब) \(\frac{3 \pi}{5}\)
(स) – \(\frac{\pi}{10}\)
(द) – \(\frac{3 \pi}{5}\)

(iii) यदि A = [2 -3 4], B = \(\left[\begin{array}{l}
3 \\
2 \\
2
\end{array}\right]\), X= [1 2 3] और Y = \(\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
4
\end{array}\right]\) तब AB + XY होगा:
(अ) [2 8]
(ब) [2 4]
(स) 2 8
(द) 2 4

(iv) यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
1 & 4 & 9 \\
1 & 8 & 27
\end{array}\right]\) हो, तो |adi A| का मान है:
(अ) 72
(ब) 144
(स) 36.
(द) 2 4

(v) यदि x = a cos θ तथा y = a sin θ तब \(\frac{d y}{d x}\) होगा:
(अ) cot θ
(ब) tan θ
(स) cosec² θ
(द) – cot θ

(vi) ∫\(\frac{1}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}\) dx का मान है :
(अ) tan x + cot x + c
(ब) tan x – cot x + c.
(स) tan x + cot x + c
(द) tan x – cot 2x + c

(vii) अवकल समीकरणं y’ – 2x – 2 = 0 का हल है:
(अ) y = x² + 2x + c
(ब) y² = x² – 2x+c
(स) y = x² – 2x + c
(द) इनमें से कोई नहीं

(viii) यदि ∆ABC का केन्द्रक G हो, तो \(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{GB}}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{GC}}\) बराबर है:
(अ) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)
(ब) \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}\)
(स) \(\overrightarrow{0}\)
(द) इनमें से कोई नहीं

(ix) यदि x एक द्विपद चर B(5, P) तथा P(X = 2) = P(X= 3) है, तब P का मान होगा :
(अ) \(\frac{1}{2}\)
(ब) \(\frac{1}{4}\)
(स) \(\frac{1}{3}\)
(द) \(\frac{1}{5}\)

(x) याद A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\), तब A एक इकाई सदिश हो तो a का मान होगा:
(अ) 0
(ब) \(\frac{\pi}{2}\)
(स) \(\frac{\pi}{4}\)
(द) π

(xi) यदि दिया गया फलन

x = 5 पर सतत है तो k का मान होगा: (1)
(अ) 5.
(ब) 0
(स) 0
(द) 25

(xii) सदिश î + 3ĵ + 7k̂ का सदिश 7î – ĵ + 8k̂ पर प्रक्षेप होगा:
(अ) \(\frac{60}{\sqrt{114}}\)
(ब) \(\frac{60}{\sqrt{115}}\)
(स) \(\frac{60}{\sqrt{111}}\)
(द) \(\frac{60}{\sqrt{114}}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए. (6 × 1 = 6)
(i) यदि R = {(x,y) : (x, y ∈ I, x² + y² ≤ 4} हो, तब R का प्राप्त ………………… होगा।

(ii) sin^-1 [sin(\(\frac{2\pi}{3}\))] का मान …………………… होगा।

(iii) यादि A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 3 \\
-1 & 0 & 2
\end{array}\right]\) तब 2A – B का मान ………………….. होगा।

(iv) यदि f(x) = |x, तब f”(x) का मान ……………………… होगा।

(v)

का मान ……………………… होगा।

(vi) यदि \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = – 2î + 4ĵ + 5k̂ तथा \(\vec{c}\) = î – 6ĵ + 7k̂तब \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) ………………….. होगा।

प्रश्न 3.
अति लघूत्तरात्मक प्रश्न (12 × 1 = 12)
(i) यदि फलन f: R → R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = x³ – 3, तो f(x) ज्ञात कीजिए।

(ii) सिद्ध कीजिए कि 3 sin^-1x = sin^-1(3x – 4x³) जहाँ x ∈ \(\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\)

(iii) आव्यूह \(\left[\begin{array}{c}
x+y+z \\
x+z \\
y+z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
9 \\
5 \\
7
\end{array}\right]\) में x, y, z को ज्ञात कीजिए।

(iv) यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
4 & 2
\end{array}\right]\) तो सिद्ध कीजिए |2A| = 4|A|

(v) सिद्ध कीजिए कि फलन (x) = sin(x²) एक सतत् फलन है।

(vi) ∫\(\frac{2-3 \sin x}{\cos ^{2} x}\) का मान ज्ञात कीजिए।

(vii) जाँच कीजिए कि क्या फलन y = e^-3x अवकल समीकरण \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}\) – 6y = 0 का हल है?

(viii) बिन्दुओं (2, 1) तथा (-5, 7) को मिलाने वाले सदिश के अदिश तथा सदिश घटक ज्ञात कीजिए।

(ix) एक न्याय्य सिक्के को 10 बार उछाला गया तो अधिकतम छः चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(x) यदि त्रिभुज के शीर्ष (-4, 5), (-4, – 2) तथा (k, – 5) हो, तथा इसका क्षेत्रफल, \(\frac{63}{2}\) वर्ग इकाई हो तब k का मान ज्ञात कीजिए।

(xi) समीकरण xy = C cos x वक्रों के कुल को दर्शाता है जहाँ C कोई स्वेच्छ चर है तो C का विलोपन कर अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

(xii) यदि \(\vec{a}\) एक इकाई सदिश î के साथ \(\frac{\pi}{3}\), ĵ के साथ \(\frac{\pi}{4}\) तथा k̂ के साथ θ कोण बनाता है तो θ का मान ज्ञात कीजिए।

खण्ड – (ब)
लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 4.
यदि f, g : R → R फलन इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = x² + 1, g(x) = 2x – 3 तो fog(x), gof(x) तथा gog(3) ज्ञात कीजिए। (2)

प्रश्न 5.
यदि 2A + B = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -1 \\
2 & 4
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & -5 \\
0 & 2
\end{array}\right]\) हो, तो A ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1+3 x \\
1+3 y & 1 & 1 \\
1 & 1+3 z & 1
\end{array}\right]\) = 9(3xyz + xy + zx)

प्रश्न 7.
a व b के किन मानों के लिए फलन

सतत होगा?

प्रश्न 8.
∫\(\frac{1}{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 9.
एक बॉक्स में 100 बल्ब है, जिसमें 10 त्रुटियुक्त हैं। 5 बल्ब के नमूने में से किसी भी बल्ब के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 10.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 5 \\
-6 & 8 & 3 \\
-4 & 6 & 5
\end{array}\right]\) का सममित तथा विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

प्रश्न 11.
y = (cos x)^{sin x} + x^x का x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 12. यदि A = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -3 & 4 \\
2 & -3 & 4 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right]\) हो, तो A^-1 ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.

का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (1 +x²)sec²y dy + 2x tan y dx = 0 को हल कीजिए जबकि y = \(\frac{\pi}{4}\) तथा x = 1

प्रश्न 15.
a के किस मान के लिए सदिश 2î – 3ĵ + 4k̂ तथा aî + 6ĵ – 8k̂ संरेख हैं।

प्रश्न 16.
ताश के 52 पत्तों को अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से दो पत्ते उत्तरोत्तर प्रतिस्थापना के साथ निकाले जाते हैं। कूक्कों की संख्या की प्रायिकता – बंटन ज्ञात कीजिए।

खण्ड – (स)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए: tan^-1\(\left(\frac{1}{4}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{2}{9}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)cos^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)sin^-1\(\left(\frac{4}{5}\right)\)
अथवा
सिद्ध कीजिए: tan^-1\(\left(\frac{1}{7}\right)\) + 2 tan^-1\(\left(\frac{1}{3}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 18.
(x² – 5x + 8)(x³ + 7x + 9) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
अथवा
फलन f(x) = x² – 5x + 6, के लिए अन्तराल [2, 3] पर रोले प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

प्रश्न 19.
∫\(\frac{\cos x}{(1+\sin x)(2+\sin x)}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
अथवा
∫\(\frac{4}{(x-2)\left(x^{2}+4\right)}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 20.
समतल ABC के स्थिति सदिश A, B तथा C क्रमशः 2î – ĵ + k̂, î + ĵ + 2k̂ व 2î + 3k̂ हैं। इस समतल के लम्वबत् इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A(2î – ĵ + k̂), B(î – 3ĵ – 5k̂) तथा C(3î – 4ĵ – 4k̂) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

खण्ड – (द)
निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 21.

का मान ज्ञात कीजिए।
अथवा
सिद्ध कीजिए:

प्रश्न 22.
\(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = 2x + x² cot x, (x ≠ 0) का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)
अथवा
अवकल समीकरण (1 + y²)dx = (tan^-1y – x)dy का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 23.
दो सिक्कों को एक बार उछालने से प्राप्त चित्तों की संख्या का माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।
अथवा
माना पासों के एक जोड़े को उछाला जाता है और यादृच्छिक चर X, पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग लिया जाता है। X का माध्य या प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।