RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Ex 10.3

प्रश्न 1.
x = 10 पर x² – 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ पर f(x) = x² – 2
हम जानते हैं कि

प्रश्न 2.
x = 50 पर 49x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
∵ f(x) = 49x

प्रश्न 3.
प्रथम सिद्धान्त से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए

हल-
(i) माना कि f(x) = x³ – 16

(ii) माना कि f (x) = (x – 1) (x – 2)
= x² – 2x – x + 2
= x² – 3x + 2

(iii) माना कि

(iv) माना कि

प्रश्न 4.
फलन

के लिए सिद्ध कीजिए कि
f’ (1) = 100 f'(0).
हल-
दिया गया है

∴ f'(1) = 1 + 1 + ….. + 1 + 1 = 100
∵ 100 पद है।
या f'(1) = 100 x 1 = 100 f’ (0) ∵ f'(0) = 1
अतः f'(1) = 100 f'(0) इतिसिद्धम्।

प्रश्न 5.
किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए

का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि

प्रश्न 6.
किन्हीं अचरों a और b के लिए,
(i) (x – a) (x – b)
(ii) (ax² + b)²
(iii) \(\frac { x-a }{ x-b }\) के अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
(i) माना कि f(x) = (x – a) (x – b)
गुणन नियम का प्रयोग करने पर

= (x – a) [1 – 0] + (x – b) [1 – 0]
= (x – a) + (x – b)
= 2x – a – b

(ii) माना कि f(x) = (ax² + b)²

= (ax² + b) (2ax) + (ax² + b) (2ax)
= 4ax (ax² + b)

(iii) माना कि f(x) = \(\frac { x-a }{ x-b }\)
भागफल नियम का प्रयोग करने

प्रश्न 7.
किसी अचर a के लिए

का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि

भागफल नियम का प्रयोग करने पर

प्रश्न 8.
निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) 2x – \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(ii) (5x³ + 3x – 1) (x – 1)
(iii) x⁵ (3 – 6x^-9)
(iv) x^-4 (3 – 4x^-5)
(v) \(\frac { 2 }{ x+1 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 3x-1 } \)
हल-
(i) माना कि

(ii) माना कि f(x) = (5x³ + 3x – 1) (x – 1)


= (x – 1) [15x² + 3] + (5x³ + 3x – 1)
= 15x³ + 3x – 15x² – 3 + 5x³ + 3x – 1
= 20x³ – 15x² + 6x – 4

(iii) माना कि

(iv) माना कि

(v) माना कि

प्रश्न 9.
प्रथम सिद्धान्त से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि f (x) = cos x

= – sin x . 1
= – sin x

प्रश्न 10.
निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) sin x cos x
(ii) sec x
(iii) cosec x
(iv) 3 cot x + 5 cosec x
(vi) 5 sin x – 6 cos x + 7
हल-
(i) माना कि f(x) = sin x cos x
गुणन नियम का प्रयोग करने पर

= sin x (-sin x) + cos x (cos x)
= – sin² x + cos² x
= cos²x – sin²x
= cos 2x

(ii) माना कि f(x) = sec x

= sec x. tan x

(iii) माना कि f(x) = cosec x

= – cosec x . cot x

(iv) माना कि f(x) = 3 cot x + 5 cosec x

= – 3 cosec²x – 5 cosec x cot x

(v) माना कि f(x) = 5 sin x – 6 cos x + 7

= 5 cos x – 6 (- sin x) + 0
= 5 cos x + 6 sin x

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Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Ex 10.2

निम्न सीमाओं के मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

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Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Ex 10.1

प्रश्न 1.
प्रदर्शित कीजिए कि फलन

की x = 1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान हैं तथा इनका मान 1 है।
हल :
दिया गया फलन
\(f(x)=\frac { logx }{ x-1 }\)
x = 1 पर दायीं सीमा

= 1 – 0 + 0 = 1
⇒ f(1 + 0) = 1 ….(1)
x = 1 पर बायीं सीमा

अत: सिद्ध होता है कि \(f(x)=\frac { logx }{ x-1 }\) की x = 1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान हैं तथा इनका मान 1 है।

प्रश्न 2.
क्या x = 0 पर फलन \(f(x)=\frac { x+|x| }{ x }\) की सीमाएँ अस्तित्व में है।
हल :
दिया गया फलन
\(f(x)=\frac { x+|x| }{ x }\)
x = 0 पर फलन की दायीं सीमा

f(0 + 0) = 2 ….(1)
x = 0 पर फलन की बायीं सीमा

f(0 + 0) = 0 …..(2)
समीकरण (1) व (2) से स्पष्ट है कि
f(0 + 0) ≠ f(0 – 0)
इसलिए x = 0 पर दिये गये फलन की सीमा अस्तित्व में नहीं है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि x = 0 पर फलन f(x) = |x| + |x – 1| की सीमाएँ अस्तित्व में हैं।
हल :
दिया गया फलन है :
f(x) = |x| + |x + 1|
x = 0 पर बायीं सीमा

x = 0 पर दायीं सीमा

∴ x = 0 पर फलन f(x) = |x| + |x – 1| की सीमाएँ अस्तित्व में है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि x = 2 पर फलन

की सीमाएँ अस्तित्व में नहीं हैं।
हल-
x = 2 पर फलन की बायीं सीमा

x = 2 पर फलन की दायीं सीमा

= 4 + 0 + 0 + 2 + 0 + 2
= 8
स्पष्ट है कि f(2 – 0) ≠ f(2 + 0)
∴दिए गए फलन की x = 2 पर सीमाएँ अस्तित्व में नहीं हैं।

प्रश्न 5.
फलन f(x) = \(xcos\frac { 1 }{ x }\) की x = 0 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया फलन f(x) = \(xcos\frac { 1 }{ x }\)
x = 0 पर फलन की दायीं सीमा

= 0 x [-1, 1] के बीच कोई परिमित राशि के
⇒ f(0 + 0) = 0 …..(1)
x = 0 पर फलन की बायीं सीमा

= 0 x [-1, 1] के बीच कोई परिमित राशि
f(0 – 0) = 0 …..(2)

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