RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सरल रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए।
(i) y = (2 – √3)x + 5 तथा y = (2 + √3)x – 7
(ii) 2y – 3x + 5 = 0 तथा 4x + 5y + 8 = 0
(iii) \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) तथा \(\frac { x }{ b } -\frac { y }{ a } =1\)
हल-
(i) रेखा y = (2 – √3)x + 5 की प्रवणता
m₁ = (2 – √3)
(y = mx + c से तुलना करने पर)
तथा रेखा y = (2 + √3)x – 7 की प्रवणता
m₂ = (2 + √3)
यदि दोनों रेखाओं के मध्य कोण θ है, तब

⇒ tan θ = √3 = tan 60°
⇒ θ = 60°
रेखाओं के मध्य दूसरा कोण = 180° – 60° = 120°

(ii) रेखा 2y – 3x + 5 = 0
2y = 3x – 5

(iii) दी गई रेखाएँ हैं
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
bx + ay = ab ३
ay = – bx + ab
\(y=-\frac { b }{ a }x+b\) ….(1)
रेखा (1) की प्रवणता (m1) = \(-\frac { b }{ a }\)

अतः दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं अर्थात् दोनों रेखाओं के मध्य कोण θ = 90°

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित सरल रेखाएँ समान्तर हैं।
(i) 2y = mx + c तथा 4y = 2mx
(ii) x cos α + y sin α = p तथा x + y tan α = 5 tan α
हल-
(i) दी गई रेखाएँ

अत: दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।

(ii) दी गई रेखाएँ हैं-
x cos α + y sin α = p
y sin α = – x cos α + p.

m₂ = – cot α
यहाँ m₁ = m₂ = – cot α.
अतः दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ जिनके समीकरण 4x + 5y + 7 = 0 तथा 5x – 4y – 11 = 0 है परस्पर लम्बवत् हैं।
हल-
दी गई रेखाएँ हैं
4x + 5y + 7 = 0
5y = – 4x – 7

अतः दी गई रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं।

प्रश्न 4.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(i) बिन्दु (4, 5) से गुजरती है तथा 2x – 3y – 5 = 0 रेखा के समान्तर है।
(ii) बिन्दु (1, 2) से गुजरती है तथा रेखा 4x + 3y + 8 = 0 के लम्बवत् है।
(ii) रेखा 2x + 5y = 7 के समान्तर है तथा बिन्दुओं (2, 7) तथा (-4, 1) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु से होकर जाती है।
(iv) बिन्दुओं (-3, 7) तथा (5, -4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 : 7 के अनुपात में विभाजित करती है तथा इस पर लम्ब है।
हल-
(i) दी गई रेखा है
2x – 3y – 5 = 0
3y = 2x – 5

रेखा (1) की प्रवणता = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
(y = mx + c से तुलना करने पर)।
दिया है कि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के समान्तर है अतः अभीष्ट रेखा की प्रवणता (m) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
तथा अभीष्ट रेखा (4.5) से गुजरती है तब रेखा का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = \(\frac { 2 }{ 3 }\)(x – 4)
3y – 15 = 2x – 8
2x – 3y + 7 = 0

(ii) दी गई रेखा है
4x + 3y + 8 = 0
3y = – 4x – 8

4y – 8 = 3x – 3
3x – 4y + 5 = 0

(iii) बिन्दु (2, 7) व (-4, 1) का मध्य बिन्दु के निर्देशांक

= (-1, 4)
दी गई रेखा 2x + 5y = 7
रेखा (1) के समान्तर रेखा का समीकरण
2x + 5y = λ
रेखा (2) यदि बिन्दु (-1, 4) से गुजरती है तब
2(-1) + 5(4) = λ
λ = -2 + 20 = 18 ….(3)
अतः बिन्दु (2, 7) व (-4, 1) के मध्य बिन्दु (-1, 4) से जाने वाली तथा रेखा 2x + 5y = λ के समान्तर रेखा का अभीष्ट समीकरण
2x + 5y = 18

(iv) बिन्दु (-3, 7) व (5, -4) को 4 : 7 में अन्त:विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक

⇒ 121y – 363 = 88x + 8
⇒ 88 – 121y + 371 = 0

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज के शीर्ष (0, 0), (4, -6) और (1, -3) हैं, इन बिन्दुओं से त्रिभुज की सम्मुख भुजाओं पर डाले गये लम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
माना त्रिभुज के शीर्ष A(0, 0), B(4, -6) व C(1, -3) हैं।
माना AD ⊥ BC, BE ⊥ CA, CF ⊥ AB
हमें AD, BE व CF के समीकरण ज्ञात करने हैं।

BC की प्रवणता

अत: BC के लम्बवत् रेखा AD की प्रवणता = \(-\frac { 1 }{ (-1) }\) = 1
अत: BC के लम्बवत् रेखा AD का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 1(x – 0)
y = x
y – x = 0
इसी प्रकार, AB की प्रवणता

तब AB के लम्बवत् रेखा CF का समीकरण

तब AC के लम्बवत् BE का समीकरण

⇒ 3y + 18 = x – 4
⇒ x – 3y = 22

प्रश्न 6.
उस त्रिभुज का लम्ब केन्द्र ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2, 0), (3, 4) और (0, 3) हैं।
हल-

माना त्रिभुज के शीर्ष A(2, 0), B(3, 4) व C(0, 3) हैं।
माना AD ⊥ BC, BE ⊥ CA, CF ⊥AB
तब, AD, BE तथा CF एक ही बिन्दु O से संगामी होते हैं जिसे लम्बकेन्द्र कहते हैं ।
लम्बकेन्द्र O के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए हम दो लम्बों AB व BE को ज्ञात करते हैं।

अतः BC के लम्बवत् रेखा AD का समीकरण
⇒ y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 0 = -3(x – 2)
⇒ y = -3x + 6
⇒ 3x + y = 6 ….(1)
इसी प्रकार, AC की प्रवणता = \(\frac { 3-0 }{ 0-2 }\)
= \(\frac { 3 }{ 2 }\)
अतः AC के लम्बवत् रेखा BE का समीकरण
⇒ y – 4 = \(-\frac { 1 }{ -3/2 }(x-3)\)
⇒ y – 4 = \(\frac { 2 }{ 3 }(x-3)\)
⇒ 3y – 12 = 2x – 6
⇒ 2x – 3y = -12 + 6
⇒ 2x – 3y = – 6 ….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर अभीष्ट लम्ब केन्द्र

प्रश्न 7.
किसी त्रिभुज के दो शीर्ष (3, -1) तथा (-2, 3) हैं । त्रिभुज का लम्ब केन्द्र मूल बिन्दु पर है। तीसरे शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल-

माना त्रिभुज के शीर्ष A(x₁, y₁), B(3, -1) तथा C(-2, 3) हैं तथा AD ⊥ BC, BE ⊥ AC
त्रिभुज ABC का लम्ब केन्द्र O(0, 0) है, जो AD व BE का प्रतिच्छेद बिन्दु
अत: AO ⊥ BC तथा BO ⊥ AC
तब (AO की प्रवणता) (BC की प्रवणता) = -1

प्रश्न 8.
बिन्दुओं (2, -3) तथा (-1, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्बे अर्द्धक का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
बिन्दु (2, -3) व (-1, 5) का मध्य बिन्दु

= (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1)
बिन्दुओं (2, -3) व (-1, 5) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता

बिन्दुओं (2, -3) व (-1, 5) को मिलाने वाली रेखा का लम्ब अर्द्धक इनके मध्य बिन्दु (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) से गुजरता है तथा इसके लम्बवत् होता है। अतः अभीष्ट लम्ब अर्द्धक का समीकरण

⇒ 16y – 16 = 6x – 3
⇒ 6x – 16y + 13 = 0

प्रश्न 9.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सरल रेखा \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) पर, उस बिन्दु से जहाँ वह x-अक्ष से मिलती है, लम्ब है।
हल-
दी गई रेखा है

इस रेखा की प्रवणता = \(\frac { b }{ a }\)[y = mx + c से तुलना करने पर]
दी गई रेखा x-अक्ष पर जहाँ मिलती है वहाँ y = 0 होगा तब
\(\frac { x }{ a } -\frac { 0 }{ b } =1\)
⇒ x = a
अतः रेखा x-अक्ष को (a, 0) बिन्दुओं पर मिलती है।
अब प्रश्नानुसार अभीष्ट रेखा (a, 0) से जाती है तथा दी गई रेखा (1) के लम्बवत् है तब अभीष्ट रेखा का समीकरण
y – y₁ = m(x – x₁)

by = -ax + a²
ax + by = a²

प्रश्न 10.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 2x + 3y + 11 = 0 के समान्तर है तथा अक्षों पर काटे गए अन्तखण्डों का योग 15 है।
हल-
रेखा 2x + 3 + 11 = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण
2x + 3y + λ = 0 ….(1)
⇒ 2x + 3 = -λ

λ = -18 समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट समीकरण
2x + 3y – 18 = 0

प्रश्न 11.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, -3) से गुजरती हैं तथा सरल रेखा 3x – 2y = 4 से 45° का कोण बनाती हैं।
हल-
∵ एक दिये हुए बिन्दु (x₁, y₁) से गुजरने वाली तथा दी गई रेखा y = mx + c के साथ दिया गया कोण α बनने वाली रेखाओं के समीकरण

प्रश्नानुसार यहाँ (x₁, y₁) = (2, -3), α = 45°, ∴ tan α = tan 45 – 1 तथा m, रेखा 3x – 2 = 4 की प्रवणती है।

इनके मान समीकरण (1) व (2) में रखने पर अभीष्ट रेखाओं के समीकरण

5y + 15 = x – 2
5y – x + 17 = 0

प्रश्न 12.
उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4, 5) से गुजरती हैं तथा रेखाओं 3x = 4y + 7 और 5y = 12x + 6 से समान कोण बनाती हैं।
हल-
माना अभीष्ट रेखा का समीकरण है–
y – y₁ = m(x – x₁)
यहाँ (x₁, y₁) = (4, 3) रखने पर
y – 5 = m(x – 4) ….(1)
यहाँ m रेखाओं की प्रवणता है।
अब दी गई रेखाएँ हैं-
3x = 4y + 7 ….(2)
5y = 12x + 6 ….(3)
रेखा (2) की प्रवणता m₁ = \(\frac { 3 }{ 4 }\) ….(4)
[y = \(\frac { 3 }{ 4 }x\)–\(\frac { 7 }{ 4 }\) अर्थात् y = mx + c में बदलने पर)
रेखा (3) की प्रवणता m₂ = \(\frac { 12 }{ 5 }\) ….(5)
प्रश्नानुसार अभीष्ट रेखा, दी गई रेखाओं (2) व (3) से समान कोण बनाती है। माना कि यह कोण θ है। तब

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि उस रेखा का समीकरण निम्नलिखित होगा जो मूल बिन्दु से होकर गुजरती है तथा रेखा y = mx + c से θ कोण बनाती है।

हल-
माना कि मूलं बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है
y = m₁x …..(1)
तथा दी गई रेखा y = mx + c …..(2)
माना कि इन दोनों रेखाओं के बीच कोण θ है।

या (1 + m₁m) tan θ = ± (m₁ – m)
धनात्मक चिह्न लेने पर
(1 + m₁m) tan θ = m₁ – m
या tan θ + m₁m tan θ = m₁ – m
या m + tan θ = m₁ – m₁m tan θ
या m + tan θ = m₁ (1 – m tan θ)

ऋणात्मक चिह्न लेने पर
(1 + m₁m) tan θ = – (m₁ – m)
tan θ + m₁m tan θ = – m₁ + m
tan θ – m = – m₁ – m₁m tan θ
tan θ – m = – m₁ (1 + m tan θ)
m – tan θ = m₁ (1 + m tan θ)

अत: समीकरण (3) तथा (4) से स्पष्ट है कि

अतः सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण प्राप्त करने के लिए m₁ का मान समीकरण (1) में रखने पर

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a cos³θ, a sin³θ) से गुजरने वाली तथा सरल रेखा x sec θ + y cosec θ = a पर लम्ब सरल रेखा का समीकरण x cos θ – y sin θ = a cos 2θ है।
हल-
प्रश्नानुसार दी गई सरल रेखा
x sec θ + y cosec θ = a पर लम्ब रेखा का कोई समीकरण
x cosec θ – y sec θ = k होगा (जहाँ k स्वेच्छ है) ….(1)
अब यदि रेखा (1) बिन्दु (a cos³θ, a sin³θ) से गुजरती है तो x = a cos³θ, y = a sin³θ समीकरण (1) को सन्तुष्ट करेगी।
अतः a cos³θ x cosec³θ – a sin³θ sec θ = k

k के मान समीकरण (1) में रखने पर रेखा को अभीष्ट समीकरण होगा

प्रश्न 15.
एक समबाहु त्रिभुज के एक शीर्ष के निर्देशांक (2, 3) हैं तथा सम्मुख भुजा का समीकरण x + y = 2 है। शेष भुजाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
एक दिए हुए बिन्दु (x₁, y₁) से गुजरने वाली तथा दी गई रेखा y = mx + c के साथ दिया गया कोण α बनाने वाली रेखाओं के समीकरण

हल करने पर, (2 + √3)x – y = 1 + 2√3

प्रश्न 16.
उन दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (3, -2) से गुजरती हैं तथा रेखा x + √3y = 1 से 60° का कोण बनाती है।
हल-
दी गई रेखा x + √3y = 1 की प्रवणता m = \(-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
(x₁, y₁) = (3, -2)
α = 60° ⇒ tan 60° = √3
तब एक दिए हुए बिन्दु (x₁, y₁) से गुजरने वाली तथा दी गई रेखा y = mx + c के साथ कोण α बनाने वाली रेखा का समीकरण

RBSE Solutions for Class 11 Maths

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Ex 11.2

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों को झुकाव रूप तथा अन्त:खण्ड रूप में परिवर्तित कर इनके मानक रूप में प्रयुक्त अचर पदों के मान ज्ञात कीजिए।
(i) 7x – 13y = 15
(ii) 5x + 6y + 8 = 0
हल-
(i) दिया गया रेखा का समीकरण
7x – 13y = 14
⇒ – 13y = – 7x + 15

यह रेखा का झुकाव रूप y = mx + c है। जहाँ

यह रेखा का अन्त:खण्ड रूप \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) है, जहाँ
a = \(\frac { 15 }{ 7 }\) व b = \(\frac { -15 }{ 13 }\)

(ii) दिया गया रेखा का समीकरण
5x + 6y + 8 = 0
5x + 6 = – 8
6y = – 5x – 8

यह रेखा का झुकाव रूप y = mx + c है, जहाँ

यह रेखा का अन्त:खण्ड रूप \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) है, जहाँ
a = \(\frac { -8 }{ 5 }\) व b = \(\frac { -4 }{ 3 }\)

प्रश्न 2.
रेखा x cos α + y sin α = p की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा है
x cos α + y sin α = p.

y = (-cot α)x + p cosec α
इस समीकरण की तुलना रेखा के झुकाव रूप y = mx + c से करने पर
m = -cot α
जो कि अभीष्ट प्रवणता है।

प्रश्न 3.
निम्न रेखाओं के x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की। स्पर्शज्या ज्ञात कीजिए।
(i) √3x – y + 2 = 0
(ii) x + √3y – 2√3 = 0
हल-
(i) रेखा का समीकरण
√3x – y + 2 = 0
⇒ y = √3x + 2
इस समीकरण की तुलना रेखा के झुकाव रूप y = mx + c से करने पर,
m = √3
⇒ tan θ = √3 = tan 60°
अतः रेखा द्वारा -अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या
= tan 60°

(ii) रेखा का समीकरण
x + √3y – 2√3 = 0
⇒ √3y = – x + 2√3

इस समीकरण की तुलना रेखा के झुकावे रूप y = mx + c से करने पर,
\(m=-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
⇒ tan θ = \(-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) = – tan 30°
⇒ tan θ = tan (180°- 30°)
⇒ tan θ = tan 150°
अतः रेखा द्वारा x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या
= tan 150°

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि रेखा \(\frac { x }{ { 2x }_{ 1 } } +\frac { y }{ { 2y }_{ 1 } } =1\) द्वारा अक्षों पर काटे गये भाग के मध्य बिन्दु के निर्देशांक (x₁, y₁) होंगे।
हल-
दिया गया रेखा का समीकरण है-
\(\frac { x }{ { 2x }_{ 1 } } +\frac { y }{ { 2y }_{ 1 } } =1\)
इस समीकरण की तुलना रेखा के अन्त:खण्ड रूप \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) से करने पर

a = 2x₁, b = 2y₁
तब अक्षों के मध्य काटे गए भाग के सिरों के निर्देशांक
A(2x₁, 0) वे B(0, 2y₁)
इस भाग AB के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

प्रश्न 5.
सरल रेखा 3x + 4y = 6 से अक्षों के मध्य कटे हुए अन्त:खण्ड की लम्बाई और उसका मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल-
सरल रेखा को समीकरण
3x + 4 = 6

इस समीकरण की तुलना रेखा के अन्त:खण्ड रूप \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) से करने पर,
a = 2, b = \(\frac { 3 }{ 2 }\)
तब दी गई रेखा का अक्षों के मध्य कटे भाग के सिरों के निर्देशांक = (2. 0) व (0.\(\frac { 3 }{ 2 }\))
अतः इस अन्त:खण्ड की अभीष्ट लम्बाई

प्रश्न 6.
a और b के नाम बताओ जबकि समीकरण 5x – 4y = 20 और ax – by + 1 = 0 एक ही सरल रेखा को प्रदर्शित करें।
हल-
दी गई रेखाएँ हैं-
5x – 4y = 20 ….(1)
एवं ax – by + 1 = 0 ….(2)
समीकरण (1) से

अतः दी गई दोनों रेखाएँ एक ही रेखा को निरूपित करें तब a व b के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { -1 }{ 4 }\) व \(-\frac { 1 }{ 4 }\) हैं

प्रश्न 7.
निम्न समीकरणों को x cos α + y sin α = p के रूप में। परिवर्तित कीजिए।
(i) x + y + √2 = 0
(ii) √3x – y + 2 = 0
हल-
(i) x + y + √2 = 0
⇒ x + y = -√2
⇒ – x – y = √2

चूँकि cos α तथा sin α दोनों ऋणात्मक हैं अतः α तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः cos α = – cos 45° = cos(180° + 45°) = cos 225°
∴ α = 225°
अतः दिए गए समीकरण का अभीष्ट अभिलम्ब रूप
x cos 225° + y sin 225° = 1

(ii) √3x – y + 2 = 0
√3x – y = – 2
-√3x + y = 2 ….(1)

यहाँ cos α, ऋणात्मक एवं sin α धनात्मक है अतः α द्वितीय चतुर्थाश में होगा। अतः
cos α = – cos 30°
= cos(180° – 30°) = cos 150°
∴ α = 150°
अतः दिए गए समीकरण का अभीष्ट अभिलम्ब रूप
x cos 150° + y sin 150° = 1

प्रश्न 8.
सरल रेखा 3x – 4y – 11 = 0 को लम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए तथा इस रेखा पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्बे की लम्बाई और x-अक्ष से उसकी प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा का समीकरण है
3x – 4y – 11 = 0
3x – 4y = 11 ….(1)
समीकरण (1) में

5 का भाग दोनों पक्षों में करने पर,

इस समीकरण की तुलना रेखा के अभिलम्ब रूप x cos α + y sin α = p से करने पर
p = रेखा पर मूल बिन्दु से डाले गए लम्ब की लम्बाई
= \(\frac { 11 }{ 5 }\)
cos α = \(\frac { 3 }{ 5 }\) एवं sin α = \(-\frac { 4 }{ 5 }\)
तब tan α = रेखा पर मूल बिन्दु से डाले गए लम्ब की प्रवणता

प्रश्न 9.
सरल \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) तथा 2x – 3y = 5 एक ही रेखा निरूपित करते हैं, तो a व b का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा है
2x – 3y = 5

प्रश्न 10.
सरल रेखा y = mx + c एवं x cos α + y sin α = p एक ही रेखा को निरूपित करे तो रेखा का x-अक्ष से झुकाव कोण तथा y-अक्ष से काटे गये अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए। हल-
दी गई रेखा है
y = mx + c ….(1)
x cos α + y sin α = p ….(2)
ये दोनों समीकरण एक ही रेखा के हैं। समीकरण (2) से
y sin α = – x cos α + p

समी. (1) व (3) की तुलना करने पर,
रेखा को x-अक्ष से झुकाव = m = – cot α
⇒ m = tan(90 + α)
अतः अभीष्ट झुकाव कोण = 90 + α
y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड c = \(\frac { p }{ sin\alpha } \)

प्रश्न 11.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 3) से होकर जाती है और x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
हल-
रेखा द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण = 45°
अतः रेखा का झुकाव = m = tan 45° = 1
चूँकि रेखा (2, 3) से होकर जाती है अतः बिन्दु झुकाव रूप में रेखा का समीकरण ।
⇒ y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 3 = 1(x – 2)
⇒ y – 3 = x – 2
⇒ y = x – 2 + 3
⇒ x – y + 1 = 0

प्रश्न 12.
निम्न दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) (3, 4) और (5, 6)
(ii) (0, -a) और (b, 0)
(iii) (a, b) और (a + b, a – b)
(iv) (at₁, alt₁) और (at₂, alt₂)
(v) (a sec α, b tan α) और (a sec β, b tan β)
हल-
दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

(i) बिन्दु (3, 4) और (5, 6) तब अभीष्ट रेखा

⇒ y – 4 = x – 3
⇒ y – x = 4 – 3
⇒ y – x = 1

(ii) बिन्दु (0, – a) और (b, 0) से गुजरने वाली रेखा

⇒ by + ab = ax
⇒ ax – by = ab

(iii) (a, b) और (a + b, a – b) से गुजरने वाली रेखा

by – b² = (a – 2b)x – a² + 2ab
(a – 2b)x – by + b² + 2ab – a² = 0

(iv) (at₁, alt₁) और (at₂, alt₂) से गुजरने वाली रेखा

(v) (a sec α, b tan α) और (a sec β, b tan β) से गुजरने वाली रेखा

RBSE Solutions for Class 11 Maths

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Ex 11.1

प्रश्न 1.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के समान्तर है तथा
(i) मूल बिन्दु से ऊपर की ओर 5 इकाई की दूरी पर है।
(ii) मूल बिन्दु से नीचे की ओर 3 इकाई दूरी पर है।
हल-
(i) रेखा x-अक्ष के समान्तर है तथा मूल बिन्दु से ऊपर की ओर 5 इकाई दूरी पर है अतः अभीष्ट समीकरण y = 5
(ii) रेखा x-अक्ष के समान्तर है तथा मूल बिन्दु से नीचे की ओर 3 इकाई दूरी पर है अतः अभीष्ट समीकरण y = -3

प्रश्न 2.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के समान्तरे हैं और इससे
(i) a + b
(ii) a² – b²
(iii) b cos θ दूरी पर स्थित है।
हल-
x-अक्ष के समान्तर और मूल बिन्दु से c दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण
y = c
तब,
(i) जब c = a + b, तब रेखा का समीकरण y = a + b
(ii) जब c = a² – b², तब रेखा का समीकरण y = a² – b²
(iii) जब c = b cos θ, तब रेखा का समीकरण y = c cos θ

प्रश्न 3.
y-अक्ष के समान्तर उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से क्रमशः।
(i) 5
(ii) -3
(iii) \(\frac { 2 }{ 5 }\) इकाई दूरी पर हैं।
हल-
y-अक्ष के समान्तर और मूल बिन्दु से या y-अक्ष से c दूरी पर रेखा का समीकरण
x = c
(i) जब c = 5, तब रेखा का समीकरण x = 5
(ii) जब c = -3, तब रेखा का समीकरण x = -3
(ii) जब c = \(\frac { 2 }{ 5 }\), तब रेखा का समीकरण x = \(\frac { 2 }{ 5 }\)

प्रश्न 4.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष के समान्तर है तथा उनसे
(i) √7
(ii) -√3+2
(iii) p + q की दूरी पर स्थित है।
हल-
y-अक्ष के समान्तर और मूल बिन्दु यो y-अक्ष से c दूरी पर रेखा का समीकरण
x = c
(i) जब c = √7 तब रेखा का समीकरण x = √7
(ii) जब c = -√3+2, तब रेखा का समीकरण x = -√3+2
(iii) जब c = p + q, तब रेखा का समीकरण x = p + q

प्रश्न 5.
उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3, 2) से होकर जाती है तथा क्रमशः x-अक्ष के लम्बवत् एवं भू-अक्ष के समान्तर है।
हल-
बिन्दु (-3, 2) से जाने वाली एवं x-अक्ष के लम्बवत् अर्थात् y-अक्ष के समान्तर रेखा (l₁) को समीकरण
x = -3
या x + 3 = 0

(-3, 2) से जाने वाली एवं x-अक्ष के समान्तर रेखा (l₂) का समीकरण
y = 2

प्रश्न 6.
बिन्दु (3, 4) से होकर जाने वाली अक्षों के समान्तर रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए। इन रेखाओं से 8 इकाई की दूरी पर और इनके समान्तर रेखाओं के समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल-
बिन्दु (3, 4) से होकर जाने वाली तथा x-अक्ष के समान्तर रेखा (l1), x-अक्ष से 4 इकाई दूरी पर है अतः इसका समीकरण y = 4 ….(1)
बिन्दु (3, 4) से होकर जाने वाली तथा y-अक्ष के समान्तर रेखा (l2), y-अक्ष से 3 इकाई दूरी पर है, अतः इसका समीकरण x = 3 ….(2)
अब रेखा (1) से 8 इकाई की दूरी पर एवं इसके समान्तर रेखाओं के समीकरण
y = 4 ± 8

या y = 4 + 8 तथा y = 4 – 8 = – 4
या y = 12 तथा y + 4 = 0
इसी प्रकार रेखा (2) से 8 इकाई दूरी पर एवं इसके समान्तर रेखाओं के समीकरण
x = 3 ± 8
या x = 3 + 8 तथा x = 3 – 8
या x = 11 तथा x = – 5
या x = 11 तथा x + 5 = 0

प्रश्न 7.
x = ±4, और y = ±3 के प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक लिखिए और उनसे निर्मित आयत का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल-
x = ±4 तथा y = ±3 रेखाएँ क्रमशः y-अक्ष एवं x-अक्ष के समान्तर रेखाएँ हैं। इनके प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक (4, 3), (4, -3), (-4, 3) और (-4, -3) हैं।
जिनसे एक आयत का निर्माण होता है जिसकी लम्बाई = 2 x 4 = 8 इकाई एवं चौड़ाई = 2 x 3 = 6 इकाई है।
तब अभीष्ट क्षेत्रफल = 8 x 6 = 48 वर्ग इकाई

प्रश्न 8.
उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से होकर जाती है तथा
(i) x-अक्ष से -135° का कोण बनाती है।
(ii) प्रथम चतुर्थांश में OY से 60° का कोण बनाती है।
(ii) y-अक्ष की धनदिशा से 5 इकाई के बराबर अन्त:खण्ड काटती है और कोण XOY के समद्विभाजक के समान्तर है।
हल-
(i) मूल बिन्दु से होकर जाने वाली तथा x-अक्ष से -135° कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण

y = mx [∵ c = 0]
y = tan (-135°)x
y = – tan(135°)x
y = -(-1)x
y = x
x – y = 0

(ii) प्रथम चतुर्थांश में OY से 60° का कोण बनाने वाली रेखा OX से 30° का कोण बनाती है ।

तब रेखा की प्रवणता (m) = tan
30° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
तब मूल बिन्दु से जाने वाली एवं प्रवणता \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) वाली रेखा का समीकरण
y = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } x\) (y = mx)
या √3y = x
या x – √3y = 0

(iii) y-अक्ष की धनदिशा में 5 इकाई के बराबर अन्त:खण्ड काटने वाली रेखा के लिए c = 5 कोण XOY की समद्विभाजक रेखा द्वारा x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण = 45°
तब कोण XOY के समान्तर रेखा की प्रवणता = tan 45° = 1 अभीष्ट समीकरण

y = mx + c = (1)x + 5
या x – y + 5 = 0

प्रश्न 9.
उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष तथा y-अक्ष पर निम्नलिखित अन्त:खण्ड काटती है-
(i) 5, 3
(ii) -2, 3
हल-
(i) अन्त:खण्ड रूप में रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
यहाँ a = 5, b = 3 है, तब अभीष्ट समीकरण

या 3x + 5y = 15

(ii) जब a = -2, b = 3

⇒ 2y – 3x = 6
⇒ 3x – 2y + 6 = 0

प्रश्न 10.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 3) से गुजरती है तथा अक्षों पर बराबर अन्त:खण्ड काटती है।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में सरल रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
जब a = b अर्थात् अक्षों पर काटे गये अन्त:खण्ड बराबर हों तो
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ a } =1\)
या x + y = a …(1)
अब यदि रेखा (2, 3) से गुजरती हो तो यह बिन्दु रेखा के समीकरण को सन्तुष्ट करेगा। अतः
2 + 3 = a
या a = 5 ….(2)
समीकरण (1) व (2) से सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण
x + y = 5

प्रश्न 11.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2) से होकर जाती है तथा रेखा द्वारा x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड y-अक्ष पर काटे गये अन्त:खण्ड को दुगुना है।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में सरल रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) ….(1)
प्रश्नानुसार, x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड = 2 x y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड
⇒ a = 2b ….(2)
समीकरण (1) व (2) से
\(\frac { x }{ 2b } +\frac { y }{ b } =1\)
या \(\frac { x+2y }{ 2b }=1\)
या x + 2y = 2b ….(3)
सरल रेखा बिन्दु (1, 2) से होकर जाती है अतः यह बिन्दु सरल रेखा के समीकरण (3) को सन्तुष्ट करेगा।
(1) + 2(2) = 2b
या 2b = 5
या \(b=\frac { 5 }{ 2 }\) ….(4)
समीकरण (3) व (4) से हमें सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण प्राप्त होता है
x + 2y = 5

प्रश्न 12.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3, -5) से होकर जाती है तथा दोनों अक्षों के मध्य, रेखा का कटा हुआ अन्त:खण्ड इस बिन्दु पर समद्विभाजित करता है।
हल-
सरल रेखा का अन्त:खण्ड रूप में समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) ….(1)
तब x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड a एवं y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड b है। चित्रानुसार अक्षों के मध्य कटा हुआ अन्त:खण्ड AB है। इस AB का मध्य बिन्दु यदि (-3, -5) है तब

या \(\frac { a }{ 2 }\) = – 3, \(\frac { b }{ 2 }\) = – 5
या a = – 6, b = – 10
समी. (1) में a व b के मान रखने पर

या 5x + 3y = -30
या 5x + 3y + 30 = 0
अतः सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण 5x + 3y + 30 = 0 होगा।

प्रश्न 13.
ऐसी दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4,-3) से होकर जाती है तथा अक्षों से काटे हुए अन्त:खण्डों का योग 5 इकाई है।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में सरल रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) ….(1)
यदि सरल रेखा (1) बिन्दु (4,-3) से होकर जाती है तब यह बिन्दु समीकरण (1) को सन्तुष्ट करेगा।
\(\frac { 4 }{ a } +\frac { (-3) }{ b } =1\)
या 4b – 3a = ab ….(2)
पुनः प्रश्नानुसार अक्षों पर काटे हुए अन्त:खण्डों का योग 5 इकाई है तब
a + b = 5 ….(3)
समीकरण (3) से b = 5 – a, समीकरण (2) में रखने पर
⇒ 4(5 – a) – 3a = a(5 – a)
⇒ 20 – 4a – 3a = 5a – a²
⇒ 20 – 7a = 5a – a²
⇒ a² – 7a – 5a + 20 = 0
⇒ a² – 12a + 20 = 0
⇒ a² – 10a – 2a + 20 = 0
⇒ a(a – 10) + 2(a – 10) = 0
⇒ (a – 10) (a – 2) = 0
⇒ a = 10, 2
जब a = 10, तब b = 5 – 10 = – 5
जब a = 2, तब b = 5 – 2 – 3
अतः सरल रेखाओं के अभीष्ट समीकरण

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि उस सरल रेखा का समीकरण जिसके अक्षों पर अन्त:खण्डों के व्युत्क्रम a और b हैं, ax + by = 1 है।
हल-
दिया है कि सरल रेखा द्वारा अक्षों पर काटे गए अन्त:खण्डों के व्युत्क्रम a व b हैं, अर्थात् यदि सरल रेखा द्वारा अक्षों पर काटे गए अन्त:खण्ड A व B हैं तब
A = \(\frac { 1 }{ a }\) एवं B = \(\frac { 1 }{ b }\)
तब अन्त:खण्ड रूप में रेखा की समीकरण

या ax + by = 1 इतिसिद्धम्।

प्रश्न 15.
एक सरल रेखा अक्षों से क्रमशः 5 और 3 इकाइयों का अन्त:खण्ड काटती है । इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जब कि अन्त:खण्ड :
(i) अक्षों की धन दिशा में हो।
(ii) अक्षों की ऋण दिशा में हो।
(iii) पहला अन्त:खण्ड धन दिशा में और दूसरा ऋण दिशा में हो ।
हल-
अन्त:खण्ड रूप में सरल रेखा का समीकरण
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\) ….(1)
(i) अक्षों की धन दिशा में क्रमशः 5 व 3 इकाइयों के अन्त:खण्ड हों तब
a = 5 व b = 3
अतः अभीष्ट समीकरण
\(\frac { x }{ 5 } +\frac { y }{ 3 } =1\)
या 3x + 5y = 15
या 3x + 5y – 15 = 0

(ii) अक्षों की ऋण दिशा में क्रमशः 5 व 3 इकाइयों के अन्त:खण्ड हैं। तब
a = – 5 व b = – 3
अतः अभीष्टे समीकरण

या 3x + 3y = – 15
या 3x + 5y + 15 = 0

(iii) पहला अन्त:खण्ड धन दिशा में 5 इकाई व दूसरा अन्त:खण्ड ऋण दिशा में 3 इकाई है तब
a = 5 व b = -3
अतः अभीष्ट समीकरण

या 3x – 5y = 15
या 3x – 5y – 15 = 0

प्रश्न 16.
एक सरल रेखा पर मूल बिन्दु से डाला गया लम्ब y-अक्ष से 30° का कोण बनाता है तथा उसकी लम्बाई 2 इकाई है। इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
अभिलम्ब रूप (Normal Form) में सरल रेखा का समीकरण
x cos α + y sin α = p
यहाँ α = मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गये लम्ब द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण
p = मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई
दिया है p = 2
α = 90° – 30° = 60°
अतः अभीष्ट समीकरण

या x + y√3 = 4
या x + √3y – 4 = 0

प्रश्न 17.
रेखा x sin α + y cos α = sin 2α के उस भाग की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो अक्षों के मध्य में काटता है। इस भाग के मध्य बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया रेखा का समीकरण
x sin α + y cos α = sin 2α

अतः x-अक्ष पर रेखा द्वारा काटा गया अन्त:खण्ड = 2 cos α y-अक्ष पर रेखा द्वारा काटा गया अन्त:खण्ड = 2 sin α
अतः रेखा द्वारा अक्षों के मध्य काटे गये अन्त:खण्ड AB के सिरों A व B के निर्देशांक क्रमशः (2 cos α, 0) एवं (0,2 sin α) हैं। अतः AB की लम्बाई

इस मध्य भाग AB के मध्य बिन्दु के निर्देशांक

प्रश्न 18.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके लिए p = 3 तथा cos α = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) जहाँ p मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गये लम्ब की लम्बाई तथा α इस लम्ब द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण है।
हल-

⇒ √3x + y = 6 तथा √3 – y = 6

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