RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता Ex 14.3

प्रश्न 1.
घटना A की प्रायिकता \(\frac { 2 }{ 11 }\) है तो घटना ‘A नहीं ‘ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
घटना ‘A नहीं ‘ की प्रायिकता = P(A’)
= 1 – P(A)
= 1 – \(\frac { 2 }{ 11 }\)
= \(\frac { 9 }{ 11 }\)

प्रश्न 2.
ग्राम पंचायत में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ सदस्य हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक सदस्य चुना जाता है, तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी सम्भावना है ?
हल-
कुल सदस्य = 4 पुरुष सदस्य + 6 स्त्रियाँ सदस्य
= 10 सदस्य
एक समिति के लिए यादृच्छया एक सदस्य चुना जाता है तो कुल नि:शेष स्थितियाँ = ¹⁰C₁ = 10
तब एक स्त्री के चुने जाने की सम्भावना

प्रश्न 3.
एक पासा उछाले जाने पर निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या का आना,
(ii) 1 या 1 से छोटी संख्या आना,
(iii) 6 से छोटी संख्या का आना।
हल-
एक पासा उछालने पर नि:शेष स्थितियों का समुच्चय
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
तब
(i) अभाज्य संख्याएँ = {2, 3, 5}
एक अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता

(ii) एक या एक से छोटी संख्याएँ = {1}
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
(iii) छः से छोटी संख्याएँ = {1, 2, 3, 4, 5}
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 6 }\)

प्रश्न 4.
एक सिक्का चार बार उछाला जाता है। इन उछालों में से कम से कम तीन बार चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक सिक्का चार बार उछाला जाता है, एक सिक्के के एक उछाल में चित्त या पट दो स्थितियाँ बनती हैं। अत: 4 उछाल में बनने वाली कुल स्थितियाँ
= 2 × 2 × 2 × 2
= 16
अनुकुल स्थितियों में कम से कम तीन बार चित्त आना चाहिए।
∴ कम से कम तीन बार चित्त आने के तरीके
= ⁴C₃ + ⁴C₄
= 4 + 1
= 5
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 16 }\)
अन्य विधि–यहाँ प्रतिदर्श समष्टि = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, TTHH, THTH, THHT, TTTH, TTHT, THTT, HTTT, TTTT}
कुल = 16 स्थितियाँ, चित्त = H, पट = T
यहाँ कम से कम तीन बार चित्त आने वाली स्थितियाँ = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH}
कुल = 5 स्थितियाँ
अतः कम से कम तीन बार चित्त आने की प्रायिकता
= \(\frac { 5 }{ 16 }\)

प्रश्न 5.
यदि एक सिक्के तथा एक पासे को एक साथ उछाला जाये, तो सिक्के पर चित्त तथा पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी ?
हल-
सिक्का फेंकने पर चित्त आने की प्रायिकता को A से प्रदर्शित करें तो।
P(A) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
पासे पर सम अंक 2, 4, 6 आ सकते हैं। पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता

अन्य विधि–यहाँ एक सिक्के तथा एक पासे को एक साथ उछालें तो प्राप्त कुल स्थितियाँ = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
कुल = 12 स्थितियाँ
सिक्के पर चित्त तथा पासे पर सम संख्या आने वाली अनुकूल स्थितियाँ = {H2, H4, H6}

प्रश्न 6.
20 मनुष्यों की कम्पनी में 5 स्नातक हैं। यदि यादृच्छिक रूप में 3 मनुष्य चुने जाये तो क्या प्रायिकता है कि उनमें से एक स्नातक हैं।
हल-
20 में से 3 मनुष्य चुनने के तरीके
= ²⁰C₃
अत: नि:शेष स्थितियाँ = ²⁰C₃
अब एक स्नातक होने की स्थिति = ⁵C₁
तथा शेष दो अन्य होने की स्थिति = ¹⁵C₂
अतः अनुकूल स्थितियाँ = ¹⁵C₂ × ⁵C₁

प्रश्न 7.
किसी समस्या के हल करने के लिए A के विपक्ष में संयोगानुपात 4 : 3 है, B के पक्ष में संयोगानुपात 7 : 5 है। क्या सम्भावना है कि
(i) समस्या हल हो जायेगी ?
(ii) समस्या हल नहीं होगी?
(iii) केवल एक के द्वारा ही हल हो पायेगी ?
हल-
A के विपक्ष में संयोगानुपात = 4 : 3
अत: A द्वारा समस्या हल होने की प्रायिकता P(A) = \(\frac { 3 }{ 4+3 }\)
P(A) = \(\frac { 3 }{ 7 }\)
अतः A द्वारा समस्या हल नहीं होने की प्रायिकता
P(A’) = P(\(\overline { A } \)) = \(\frac { 4 }{ 7 }\)
अब B के पक्ष में संयोगानुपात = 7 : 5
अत: B द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता
P(B) = \(\frac { 7 }{ 7+5 }\) = \(\frac { 7 }{ 12 }\)
तथा B द्वारा समस्या हल नहीं करने की प्रायिकता
P(B’) = P(\(\overline { A } \)) = \(\frac { 5 }{ 12 }\)
(i) समस्या हल हो पायेगी यदि A अथवा B दोनों में से एक अथवा दोनों समस्या को हल कर दें।

(ii) समस्या हल नहीं होगी यदि A व B दोनों ही समस्या को हल नहीं कर पाये अर्थात् अभीष्ट प्रायिकता

(iii) केवल एक के द्वारा हल होने की अभीष्ट प्रायिकता

प्रश्न 8.
एक उपकरण तभी काम करेगा जबकि उसके तीनों घटक A, B और C काम कर रहे हों। एक वर्ष में A के खराब होने की प्रायिकता 0.15, B की 0.05 और C की 0.10 है। वर्ष के अन्त होने से पहले उपकरण के खराब होने की प्रायिकता क्या है ?
हल-
यदि A, B, C के खराब होने की प्रायिकता क्रमशः P(A), P(B) और P(C) से व्यक्त करें, तो
P(A) = 0.15
P(B) = 0.05
P(C) = 0.10
P(\(\overline { A } \)) = 1 – 0.15 = 0.85
P(\(\overline { B } \)) = 1 – 0.05 = 0.95
P(\(\overline { C } \)) = 1 – 0.10 = 0.90
चूँकि घटक A, B, C का ठीक काम करना परस्पर स्वतन्त्र घटनाएँ हैं। इसलिए मिश्र प्रायिकता प्रमेय से
P (\(\overline { A } \quad \overline { B } \quad \overline { C } \)) = P(\(\overline { A } \)). P(\(\overline { B } \)). P(\(\overline { C } \))
= 0.85 x 0.95 x 0.90
= 0.72675
अतः तीनों घटकों के ठीक काम करने की प्रायिकता = 0.72675
∴ किसी एक घटक के खराब होने की प्रायिकता
= 1 – 72675
= 0.27325
अब चूँकि उपकरण वर्ष के अन्त से पहले खराब हो जायेगा यदि
उसका कम से कम एक घटक खराब है।
∴ अभीष्ट प्रायिकता = 0.27326

प्रश्न 9.
एक ताश की गड्डी में से दो बार में दो-दो पत्ते यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। यदि पहली बार निकाले गये पत्ते गड्डी में वापस नहीं रखे जाते हैं, तो पहली बार में दो इक्के और दूसरी बार में दो राजा निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। इन पत्तों में से 2 पत्ते निकालने की कुल नि:शेष स्थितियाँ होंगी = ⁵²C₂
ताश की गड्डी में कुल चार इक्के होते हैं जिनमें 2 इक्के खींचे जाते हैं, इसलिए इनकी कुल अनुकूल स्थितियाँ = ⁴C₂
पहली बार 2 इक्के निकालने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
A और B दो घटनाएँ हैं जिसमें P(A) = \(\frac { 1 }{ 3 }\). P(B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) तथा P(AB) = \(\frac { 1 }{ 12 }\) है, तो \(P\left( \frac { B }{ A } \right) \) ज्ञात कीजिए।
हल-
P(A) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
P(B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)
यहाँ P(A) x P(B) = \(\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 12 } \)
अतः P(A) x P(B) = P(AB)
∴ A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं इसलिए
\(P\left( \frac { B }{ A } \right) \) = P(B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 11.
कल्पना करें कि पुरुष व बच्चों का अनुपात 1: 2 है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक परिवार में 5 बच्चों में
(i) सभी लड़के होंगे
(ii) उनमें से तीन लड़के एवं दो लड़कियाँ होंगी।
हल-
पुरुष व बच्चों का अनुपात = 1 : 2
लड़का होने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
लड़की होने की प्रायिकता = \(1-\frac { 1 }{ 2 }\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(i) परिवार में 5 बच्चों में से सभी लड़के होंगे तब इसकी प्रायिकता

(ii) तीन लड़के व दो लड़कियाँ होने की प्रायिकता

नोट-5 बच्चों में से लड़का (B) व लड़की (G) होने की कुल 32 स्थितियाँ होंगी। जैसे—B1B2B3B4B5; (पाँच लड़के), B1B2B3B4G5; (प्रथम चार लड़के व पाँचवीं लड़की), B1B2B3G4B5, B1B2G3B4B5, B1G2B3B4B5, …… इत्यादि । तीन लड़के व दो लड़कियों की कुल स्थितियाँ 10 होंगी। जैसे—B1B2B3G4G5, B1B2G3G4B5, B1B2G3B4G5; ……. इत्यादि।

प्रश्न 12.
A एक निशाने को 6 में से 3 बार सही लगा सकता है, B, 4 में से 2 बार सही लगा सकता है तथा C, 4 में से एक बार सही लगा सकता है। वे एक साथ निशाना लगाते हैं। बताइये कि कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाये जाने की प्रायिकता क्या होगी?
हल-
A के सही निशाना लगने की प्रायिकता

B के सही निशाना लगाने की प्रायिकता

C के सही निशाना लगाने की प्रायिकता

अतः कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाये जाने की प्रायिकता-

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Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता Ex 14.2

प्रश्न 1.
एक पासे को उछालने पर 4 से बड़ी अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक पासे के उछालने पर 6 तरह के अंक आने की सम्भावना रहती है।
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 6
प्रदत्त घटना के लिए 4 से बड़े अंक होंगे।
= {5, 6} आना अनुकूल स्थितियाँ
इनकी संख्या = 2 है
अतः घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ = 2
∴अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 2 }{ 6 }\) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)

प्रश्न 2.
एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। दोनों बार चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक सिक्के को दो बार उछालने पर प्राप्त स्थितियों का समुच्चय
= {HH, HT, TH, TH}
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 4
प्रदत्त घटना के लिए दोनों बार चित्त (TT) आना
= (TT)
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 1
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 3.
1 से 17 तक की प्राकृत संख्याओं में से एक संख्या का यादृच्छिक चयन किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह एक अभाज्य संख्या हो।
हल-
1 से 17 तक की प्राकृत संख्याओं में से एक संख्या का यादृच्छिक चयन 17 प्रकार से हो सकता है अर्थात्
{1, 2, 3,…….. 17}
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 17
प्रदत्त घटना के लिए अभाज्य अंक होंगे-
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} जो कि अनुकूल स्थितियाँ हैं।
इनकी संख्या = 7
अतः घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ = 7
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 7 }{ 17 }\)

प्रश्न 4.
एक सिक्के के लगातार तीन उछालों में एकान्तरत: चित्त या पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
एक सिक्के को लगातार तीन बार उछालने पर आने वाले समस्त
सम्भावित परिणाम
= {HHH, HHT, HTH, HTT, TTT, TTH, THT, THH}
इनकी कुल संख्या = 8
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 8
एकान्तरतः चित्त या पट आने की स्थितियाँ
= {HTH, THT}
इनकी कुल संख्या = 2
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 2
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 2 }{ 8 }\) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 5.
यदि दो पासों को एक साथ उछाला जाता है तो युग्मक (doublet) अथवा 9 प्रदर्शित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
दो पासों को एक साथ उछालने पर आने वाले समस्त सम्भावित
परिणाम- {(1,1), (1, 2), (1, 3)…………… (1, 6)
= (2, 1)………………………………… (2, 6)
= (3, 1)………………………………… (3, 6)
…………………………………………………….
…………………………………………………….
= (6, 1)…………………………………..(6, 6)}
इनकी कुल संख्या = 36
अतः घटना की नि:शेष स्थितियाँ = 36
अब युग्मक अथवा योग 9 आने की स्थितियाँ-
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)}
इनकी कुल संख्या = 10
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 10
∴ अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 10 }{ 36 }\) = \(\frac { 5 }{ 18 }\)

प्रश्न 6.
एक अलीप वर्ष में केवल 52 रविवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
अलीप वर्ष में दिनों की संख्या = 365
∴ अत: सप्ताहों की संख्या = \(\frac { 365 }{ 7 }\) = 52 सप्ताह तथा 1 दिन शेष 52 सप्ताह का अर्थ है कि अलीप वर्ष में 52 रविवार तो होंगे। ही। अब 1 शेष दिन निम्न में से कोई हो सकता है–
(रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार)
इनकी कुल स्थितियाँ = 1
अतः नि:शेष स्थितियाँ = 7
अब 52 रविवार तो अलीप वर्ष में होते ही हैं। इसलिए शेष 1 दिन रविवार न होकर अन्य दिवस होना चाहिए। अतः अनुकूल ‘स्थितियाँ = 6
अतः अलीप वर्ष में 52 रविवार आने की प्रायिकता = \(\frac { 6 }{ 7 }\)

प्रश्न 7.
ताश की एक गड्डी के 52 पत्तों में से एक पत्ता खींचा जाता है, उस पत्ते के इक्का होने के पक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ कुल स्थितियाँ = 52
अर्थात् नि:शेष स्थितियाँ = 52
इक्का होना अनुकूल स्थिति है।
अर्थात् अनुकूल स्थितियाँ = 4 (4 इक्के होते हैं)
प्रतिकूल स्थितियाँ = (52 – 4) = 48
अतः घटना के पक्ष में संयोगानुपात ।
= अनुकूल स्थितियाँ : प्रतिकूल स्थितियाँ
= 4 : 48
= 1 : 12

प्रश्न 8.
12 विद्यार्थियों की एक कक्षा में 5 लड़के और शेष लडकियाँ हैं । एक विद्यार्थी के चयन में लड़की होने के विपक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
हल-
विद्यार्थियों की कुल संख्या = 12
विद्यार्थी के चयन की नि:शेष स्थितियाँ = 12
विद्यार्थी के लड़की होने की अनुकूल स्थितियाँ
= लड़कियों की संख्या
= (12 – 5) = 7
तथा विद्यार्थी के लड़की नहीं होने की अनुकूल स्थितियाँ
= 12 – 7 = 5 प्रतिकूल स्थितियाँ
अतः लड़की होने के विपक्ष में संयोगानुपात
= प्रतिकूल स्थितियाँ : अनुकूल स्थितियाँ
= 5 : 7

प्रश्न 9.
n व्यक्ति एक गोल मेज के चारों तरफ बैठते हैं। दो विशिष्ट व्यक्तियों के एक साथ बैठने के विपक्ष में क्या संयोगानुपात होंगे ?
हल-
n व्यक्तियों के गोल मेज के चारों तरफ बैठने के कुल तरीके होंगे =

यदि दो विशिष्ट व्यक्ति एक साथ बैठते हैं तो शेष (n – 2) व्यक्ति =

तरीकों से बैठ सकते हैं। परन्तु वे दोनों भी एक साथ =

तरीकों से बैठ सकते हैं। अतः दो विशिष्ट व्यक्तियों के साथ बैठने की अनुकूल स्थितियाँ

प्रश्न 10.
तीन पत्र तथा तीन उनके संगत लिफाफे हैं। यदि सभी पत्र लिफाफों में यादृच्छया रखे जाते हैं, तो सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखने की क्या प्रायिकता है?
हल-
तीन पत्रों के तीन लिफाफों में रखे जाने के कुल तरीके

सही लिफाफों में रखने का केवल एक ही तरीका है।
अतः सभी पत्रों के सही लिफाफों में रखे जाने की प्रायिकता

∴ सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखे जाने की प्रायिकता

प्रश्न 11.
प्रथम दो सौ पूर्णाकों में से एक अंक यादृच्छया चुना जाता है, इसकी 6 या 8 से विभाजित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
पूर्णांकों की संख्या = 200
अतः नि:शेष स्थितियाँ = 200
अनुकूल स्थितियाँ = (6 से भाज्य संख्या) + (8 से भाज्य संख्या) – (24 से भाज्य संख्याएँ)
= {6, 12, 18, …. 198} + {8, 16, 24,….. 200} – {24, 48, 72, ….. 192}
= 33 + 25 – 8
= 58 – 8
= 50
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 50 }{ 200 }\) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 12.
तीन पासों की एक फेंक में योग 15 से अधिक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
तीन पासे फेंकने पर नि:शेष स्थितियाँ होंगी = 6 x 6 x 6 = 216
प्रदत्त घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ होंगी = अंकों का योग 15 से अधिक लाना है अर्थात् 16, 17 तथा 18 लाना।

• तीनों पासों के अंकों का योग 16 निम्नलिखित 6 प्रकार से आ सकता है- (4, 6, 6); (6, 4, 6); (6, 6, 4); (6, 5, 5); (5, 6, 5); (5, 5, 6)
• तीनों पासों के अंकों का योग 17 निम्नलिखित 3 प्रकार से . हो सकता है- (5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5) अर्थात् तीन तरह से
• तीनों पासों के अंकों का योग 18 निम्नलिखित 1 प्रकार से हो सकता है (6, 6, 6)

∴ तीनों पासों के अंकों का योग 15 से अधिक प्राप्त होने के कुल तरीकों की संख्या = 6 + 3 + 1 = 10
तब तीनों पासों के अंकों का योग 15 से अधिक आने की प्रायिकता
= \(\frac { 10 }{ 216 }\) = \(\frac { 5 }{ 108 }\)

प्रश्न 13.
शब्द ANGLE के अक्षर यादृच्छिक क्रम से एक पंक्ति में व्यवस्थित किये जाते हैं। स्वरों के एक साथ आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
ANGLE को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने पर बनने वाले क्रमचयों की संख्या

प्रश्न 14.
एक ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसके इक्का, राजा या रानी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
ताश की गड्डी में पत्तों की संख्या = 52
अतः नि:शेष स्थितियाँ = 52
ताश की गड्डी में इक्का, राजा या रानी की संख्या
= 4 + 4 + 4 = 12
अतः अनुकूल स्थितियाँ = 12
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 12 }{ 52 }\) = \(\frac { 3 }{ 13 }\)

प्रश्न 15.
एक थैले में 6 सफेद, 7 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इनमें से 3 गेंदें यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक निकाली जाती हैं। इन तीनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता क्या होगी जबकि निकाली गई गेंद वापस थैले में न रखी जाए?
हल-
6 सफेद, 7 लाल, 5 काली गेंदें हैं।
कुल गेंदों की संख्या = 6 + 7 + 5 = 18
जिनमें से 3 गेंद निकालनी हैं।

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