RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
निम्न, समीकरणों के हल वैदिक विधि से ज्ञात कीजिए
(i) x² + 4x + 13 = 0
(ii) 2x² + 5x + 4 = 0
(iii) ix² + 4x – \(\frac { 15 }{ 2 }\) = 0
हल-
(i) यहाँ पर D₁ = 2x + 4,

(ii) 2x² + 5x + 4 = 0
यहाँ पर D₁ = 4x + 5

(iii) ix² + 4x – \(\frac { 15 }{ 2 }\) = 0
यहाँ पर D₁ = 2ix + 4

प्रश्न 2.
द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल
(i) 5 तथा -2 हैं।
(ii) 1 + 2i
हल-
(a) दिया है
α = 5, β = -2
अभीष्ट समीकरण
x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – (5 – 2)x + (5) x (-2) = 0
x² – 3x – 10 = 0

(ii) 1 + 2i
दिये गये मूल का संयुग्मी मूल = 1 – 2i
∴ α = 1 + 2i और β = 1 – 2i
अभीष्ट समीकरण
x² – (मूलों का योग)x + मूलों को गुणनफल = 0
x² – (1 + 2i + 1 – 2i)x + (1 + 2i) × (1 – 2i) = 0
x² – 2x + (1)² – (2i)² = 0
x² – 2x + 1 + 4 = 0
x² – 2x + 5 = 0

प्रश्न 3.
यदि समीकरण x² – px + q = 0 का एक मूल दूसरे का दुगुना है तो सिद्ध कीजिए कि 2p² = 9q.
हल-
माना दिये गये समीकरण x² – px + q = 0 के मूल α तथा β है|

प्रश्न 4.
वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिसमें समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल m : n के अनुपात में हैं।
हल-
माना दिये गये समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल αm तथा αn हैं।
∴ मूलों का योग = \(-\frac { b }{ a }\) ∴ αm + αn = \(-\frac { b }{ a }\)

⇒ b²mn = ac(m + n)²
⇒ mnb² = ac(m + n)²

RBSE Solutions for Class 11 Maths

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्न सम्मिश्र संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) – 5 + 12i
(ii) 8 – 6i
(iii) – i
हल-

प्रश्न 2.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल-

माना 4 + 3√20i = (x + iy)²
4 + 3√20i = x² – y² + 2xyi
वास्तविक एवं काल्पनिक भागों को अलग-अलग करने पर
x² – y² = 4 ………(1)
एवं 2xy = 3√20 …..(2)

प्रश्न 3.
निम्न के घनमूल ज्ञात कीजिए
(i) -216
(ii) -512
हल-
(i) माना (-216)^1/3= x
∴ x = (-216 x 1)^1/3
x = (-216)^1/3 x (1)^1/3
= – 6 x (1, w, w²)
∵ 1, w, w² इकाई के घनमूल हैं।
x = – 6, – 6w, – 6w²

(ii) माना (-512)^1/3 = x
∴ x = (-512)^1/3 = (-512 x 1)^1/3
x = -8 x (1)^1/3 = -8(1, w, w²)
x = -8, -8w, -8w²

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए
(i) 1 + wⁿ + w²ⁿ = 0, जबकि n = 2, 4
(ii) 1 + wⁿ + w²ⁿ = 3, जबकि n, 3 की गुणज है।
हल-
(i) L.H.S.= 1 + wⁿ +w²ⁿ
जब n = 2
तब L.H.S. = 1 + w² + w⁴ = 1 + w² + w³.w
L.H.S. = 1 + w² + w ∵ w³ = 1
L.H.S. = 0 = R.H.S.
∵ 1 + w + w² = 0
जब n = 4
तब L.H.S. = 1 + w⁴ + w⁸
L.H.S. = 1 + w³.w + w³.w³.w³
L.H.S. = 1 +w³.w + (w³)².w²
L.H.S. = 1 + w + w² ∵ w³ = 1
L.H.S. = 0 = R.H.S.
∵ 1 + w + w² = 0

(ii) L.H.S. = 1 + wⁿ + w²ⁿ
जब n, 3 का गुणन है, तब
माना n = 3m
∴ L.H.S. = 1 + w^3m + w^2.3m
L.H.S. = 1 + (w³)^m + (w³)^2m
= 1 + (1) + (1)^m ∵ w³ = 1
L.H.S. = 1 + 1 + 1 = 3 = R.H.S.

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए
(i)

(ii) (1 + 5w² + w)(1 + 5w + w²)(5 + w + w²) = 64
हल-
(i) माना

= (w)²⁹ + (w²)²⁹
= w²⁹ + w⁵⁸
= (w³)⁹.w² + (w³)¹⁹.w
= 1.w² + 1.w ∵ w³ = 1
∵ 1 + w + w² = 0
= w² + w = -1 = R.H.S.

(ii) (1 + 5w² + w)(1 + 5w + w²)(5 + w + w²) = 64
LHS = (1 + 5w² + w)(1 + 5w + w²)(5 + w + w²)
LHS = (1 + 4w² + w² + w)(1 + 4w + w + w²) x (5 + w + w²)
∵ w² + w + 1 = 0 ⇒ w² + w = -1
LHS = (1 + 4w² – 1)(1 + 4w – 1)(5 – 1)
LHS = 4w² x 4w x 4 = 64w³ = 64 = R.H.S.

प्रश्न 6.
1, w, w² इकाई के घनमूल हो तो सिद्ध कीजिए
(1 + w)(1 + w²)(1 + w⁴)(1 + w⁸)……… 2n गुणनखण्ड = 1
हल-
LHS = (1 + w)(1 + w²)(1 + w⁴)(1 + w⁸) ……… 2n गुणनखण्ड
LHS = (1 + w)(1 + w²)(1 + w³.w)(1 + w³.w³.w²) ……… 2n गुणनखण्ड
LHS = (1 + w)(1 + w²)(1 + w)(1 + w²) ………. 2n गुणनखण्ड
LHS = (-w²)(-w)(-w²)(-w) ………. 2n गुणनखण्ड
LHS = w³.w³.w³………. n बार
LHS = 1.1.1.1.1.1 …….. n बार = 1

RBSE Solutions for Class 11 Maths

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्न सम्मिश्र संख्याओं के कोणांक ज्ञात कीजिए

हल-
(i) \(\frac { 1+i }{ 1-i }\)
अंश तथा हर में (1 – i) के संयुग्मी से गुणा करने पर

(ii) – 1 + √3i
यहाँ पर स्पष्ट है a < 0, b > 0 (द्वितीय चतुर्थांश)
तब कोणांक

(iii) \(\frac { 5+i\sqrt { 3 } }{ 4-i2\sqrt { 3 } } \)
अंश तथा हर में 4 – 2i√3 के संयुग्मी 4 + 2i√3 से गुणा करने पर

प्रश्न 2.
निम्न सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त कीजिए

हल-
(i) माना

वास्तविक तथा काल्पनिक भाग अलग-अलग करने पर
\(\frac { 1 }{ 2 }\) = r cos θ ….(1)

(ii)

(iii)

प्रश्न 3.
यदि z₁ तथा z₂ दो अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ हों, तो सिद्ध कीजिए कि

हल-
माना कि z₁ = r₁ (cos θ₁, + i sin θ₁)
तथा z₂ = r₂ (cos θ₂ + i sin θ₂)
कोणांक z₁ = θ₁ तथा कोणांक z₂ = θ₂,

RBSE Solutions for Class 11 Maths

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित को सरलतम रूप में लिखिए
(i) i⁵²
(ii) √-2√-3
(iii) (1 + i)⁵(1 – i)⁵
हल-
(i) i2 = (i) = (1) = 1 ∵ i = 1 होता है।
(ii) √-2√-3 = √2 x √-1 x √3 x √-1
= √2i x √3i = √2 x √3i²
= √6i²
= √-6 ∵ i² = -1
(iii) (1 + i)⁵(1 – i)⁵
= [(1 +i) (1 – i)]⁵ = ((1)² – (i)²)⁵
= (1 + 1)⁵ = 2⁵ = 32 ∵i² = -1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के योज्य एवं गुणन प्रतिलोम ज्ञात कीजिए-
(i) 1 + 2i
(ii) \(\frac { 1 }{ 3+4i }\)
(iii) (3 + i)²
हल-
(i) माना 1 + 2i का योज्य प्रतिलोम (a + ib) है।
⇒ (1 + 2i) + (a + ib) = 0 + i0
⇒ (1 + a) + i(2 + b) = 0 + i0
⇒ 1 + a = 0 एवं 2 + b = 0
⇒ a = -1 एवं b = -2
अतः (1 + 2i) का योज्य प्रतिलोम (-1 – 2i) है।

(ii) \(\frac { 1 }{ 3+4i }\)
a + ib के रूप में लिखने के लिए अंश तथा हर में (3 + 4i) के संयुग्मी से गुणा करने पर

(iii) (3 + i)² = (3)² + 2 x 3 x i + i²
= 9 + 6i – 1 ∵ i² = -1
8 + 6i
माना 8 + 6i का योज्य प्रतिलोम (a + ib) है।
⇒ (8 + 6i) + (a + ib) = 0 + 0.i
= (8 + a) + (6 + b)i = 0 + 0.i
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों को अलग-अलग करने पर
8 + a = 0 ∴ a = -8
‘इसी तरह से 6 + b = 0 ∴ b = 0 – 6 = -6
अतः (8 + 6i) का योज्य प्रतिलोम = (-8 – 6i) है।
8 + 6i का गुणन प्रतिलोम = \(\frac { 1 }{ 8+6i }\)

प्रश्न 3.
सम्मिश्र संख्या \(\frac { { \left( 2+i \right) }^{ 3 } }{ 3+i } \) की संयुग्मी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल-

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के मापांक ज्ञात कीजिए
(i) 4 + i
(ii) – 2 – 3i
(iii) \(\frac { 1 }{ (3-2i) }\)
हल-
(i) माना z = 4 + i

(ii) z = – 2 – 3i

(iii) माना \(z=\frac { 1 }{ 3-2i }\)
अंश तथा हर में (3 – 2i) के संयुग्मी से गुणा करने पर

प्रश्न 5.
यदि a² + b² = 1 तो \(\frac { 1+b-ia }{ 1+b+ia }\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
\(\frac { 1+b-ia }{ 1+b+ia }\)
अंश तथा हर में (1 + b – ia) के संयुग्मी से गुणा करने पर।

लेकिन दिया गया है a² + b² = 1 मान रखने पर

प्रश्न 6.
यदि a = cos θ + i sin θ तब \(\frac { 1+a }{ 1-a }\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है a = cos θ + i sin θ

प्रश्न 7.
समीकरण

हल-

प्रश्न 8.
यदि z₁ तथा z₂, कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि
|z₁ + z₂|² + |z₁ + z₂|² = 2|z₁|² + 2|z₂|²
हल-

प्रश्न 9.
यदि a + ib = \(\frac { c+i }{ c-i }\), जहाँ c एक वास्तविक संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि a² + b² = 1 और है \(\frac { b }{ a } =\frac { 2c }{ { c }^{ 2 }-1 } \)
हल-
दिया है a + ib = \(\frac { c+i }{ c-i }\) …..(1)
इसका संयुग्मी लिखने पर
a – ib = \(\frac { c-i }{ c+i }\) …..(2)
समी. (1) तथा (2) का गुणा करने पर

प्रश्न 10.
यदि (x + iy)^1/3 = (a + ib) है तो सिद्ध कीजिए कि

हल-
दिया गया है।
(x + iy)^1/3 = (a + ib)
दोनों तरफ घन करने पर
((x + iy)^1/3)³ = (a + ib)³
x + iy = (a + ib)³
या (a + ib)³ = x + iy
या a³ + i³b³ + 3ia²b + 3i²ab² = x + iy
या a³ – ib³ + 3ia²b – 3ab² = x + iy
या (a³ – 3ab²) + i(3a²b – b³) = x + iy
वास्तविक तथा काल्पनिक भाग को अलग-अलग करने पर
अतः x = a³ – 3ab²
तथा 3a²b – b³

प्रश्न 11.
यदि \(\frac { { \left( x+i \right) }^{ 2 } }{ 3x+2 } =a+ib\) है, तो सिद्ध कीजिए कि

हले-
प्रश्नानुसार

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