RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.4

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 14 त्रि – विमीयज्यामिति Ex 14.4

प्रश्न 1.
दिखाइए कि रेखाएँ

और

परस्पर प्रतिच्छेदी हैं। उनका प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना

पर किसी बिंदु के निर्देशांक (2r₁ + 1, 3r₁ + 2, 4r + 3) हैं।
माना

पर किसी बिंदु के निर्देशांक (5r₂ + 4, 2r₂ + 1, r₂) है। दोनों रेखायें परस्पर प्रतिच्छे करती हैं। अतः दोनों बिंदु उभयनिष्ठ होंगे और संपाती होंगे।
∴ 2r₁ + 1 = 5r₂ + 4 … (1)
3r₁ + 2 = 2r₂ + 1 …(2)
4r₁ + 3 = r₂ …(3)
सपी. (1) और (2),
2r₁ – 5r₂ = 3
3r₁ – 2r₂ = – 1
हल करने पर, r₁= – 1,r₂= – 1
∴ बिदु ( – 1, – 1, – 1)
स्पष्ट है कि दोनों रेवाएँ प्रतिच्छेद करती है और प्रतिच्छेद बिंदु ( – 1, – 1, – 1) है।

प्रश्न 2.
उर्धारित कर निम्न रेखाएँ प्रतिच्छेद है या नहीं

और

हल :
रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, अतः
(i – j) + λ(2i + k) = (2i – j) + µ(i + j – k)
(1 + 2λ)i – (1 – 0.λ)j + λk
= (2 + µ)i – (1 – µ)j – µk
तुलना करने पर,
1 + 2λ = 2 + µ …(1)
1 – 0.λ = 1 – µ …(2)
λ = – µ …(3)
हल करने पर समी. (2) से,
1 – µ = 1
⇒ µ = 0
∴ समी. (3) से, λ = 0
λ और µ के सान समी. (1) में रखने पर
1 + 2 × 0 = 2 + 0
1 ≠ 2
अतः रेखायें प्रतिच्छेदी नहीं है।

प्रश्न 3.
बिन्दु (2,3,4) से रेखा

पर डाले गये लम्ब का पाद ज्ञात कीजिए। साथ ही दिए गए बिन्दु से रेखा की लम्बवत् दूरी भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई रेखा का समीकरण

MN पर किसी बिंदु Q के निर्देशांक
Q(-2λ + 4, 6λ + 0, – 3λ + 1)
लम्ब PQ के दिक् अनुपात
a₁, b₁, c₁ = x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
= – 2λ + 4 – 2, 6λ + 0 – 3, – 3λ + 1 – 4
= – 2λ + 2, 6λ – 3, – 3λ – 3
रेखा MN के दिक् अनुपात
a₂, b₂, c₂ = -2, 6, -3
रेखा (1) व PQ लम्ववत् है।
इसलिए
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
(-2λ + 2)(-2) + (6λ – 3)(6) + (-3λ – 3)(-3) = 0
4λ – 4 + 36λ – 18 + 9λ + 9 = 0
49λ = 13
λ = \(\frac { 13 }{ 49 }\)
λ का मान Q में रखने पर पाद के निर्देशांक

डाले गए लम्ब की लम्बाई PQ

प्रश्न 4.
बिन्दु (2, 3, 2) से जाने वाले रेखा को सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा

के समान्तर है। इन रेखाओं के मध्य दूरी भी ज्ञात कीजिए।
हुल :
रेखा बिंदु (2,3, 2) से गुजरती है।
∴ बिंदु (2, 3, 2) का स्थिति सदिश