RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन Ex 15.1

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 15 रैरिवक प्रोग्रामन Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक प्रोगामन समस्याओं को आलेखीय विधि से हल करो
निम्नतम Z = – 3x + 4y
व्यवरोध x + 2y ≤ 8
3x + 2y ≤ 12
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
अवरोध के रूप में दी गई सभी असमिका को समीकरणों में बदलने पर,
x + 2y = 8 …(1)
3x + 2 = 12 …(2)
असमिका x + 2 = 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र—
रेखा x + 2y = 8 निर्देशी अक्षों को A(8, 0) तथा B(0, 4) बिंदुओं पर मिलती है।
x + 2y = 8 के मानों के लिए सारणी

x	8	0
y	0	4

A(8, 0), B(0, 4)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 < 8 असमिका सन्तुष्ट होती हैं। अतः असमिका को हल क्षेत्र मूल बिन्दु की ओर होगा।
असमिका 3r + 2y ≤ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र–
रेखा 3x + 2y = 12 निर्देशी अर्को को क्रमश: C(4, 0) तथा D(0, 6) बिंदुओं पर मिलती है।
3x + 2y = 12 के मानों के लिए सारणी

x	4	0
y	0	6

C(4, 0), D(0, 6)
बिन्दु C और D को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिन्दु (0, 0) को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 2(0) = 0 < 12 असमिका सन्तुष्ट होती है। अत: असमिका का हल थक्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा । x > 0, y > 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूंकि प्रथम पाद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।

छायांकित क्षेत्र QCEB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल क्षेत्र है। छायांकित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), C(4, 0), E(2, 3) तथा B(0, 4) है। जहाँ बिंदु E को दोनों रेखाओं।
x + 2y = 8 तथा 3x + 2y = 12 के प्रतिच्छेद से प्राप्त किया गया है। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये है।

बिन्द,	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन Z = 3x+4y
O	0	0	ZO = – 3(0)+4(0) = 0
C	4	0	ZC = – 3(4)+4(0) = -12
E	2	3	ZE = – 3(2)+4(3) = 6
B	0	4	ZB = – 3(0)+4(4) = 16

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु C(4, 0) पर फलन का मान निम्नतम है। अतः x = 4, y = 0 दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथा निम्नतम मान – 12 है।

प्रश्न 2.
अधिकतम Z = 3x + 4y
ध्यवरोध x + y ≤ 4
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई समिका x + y ≤ 4 को समीकरण में परिवर्तित करने पर
x + y = 4
असमिका x + y = 4 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 4 निर्देशी अक्षों को क्रमशः A(4, 0) तथा B(0, 4) बिंदुओं पर मिलती है।
x + y = 4 के मानों के लिए सारणी

x	4	0
y	0	4

A(4,0); B(0, 4)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 ≤ 0 ≤ 4 असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अत: हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0

द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र चूंकि प्रथम पद का प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिकाओं x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र प्रथम पाद है।
छायांकित क्षेत्र OAB उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यही क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन संख्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। छायांकित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक O(0, 0), A(4, 0) तथा B(0, 4) हैं।
इन बिन्दुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये हैं।

बिन्द,	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन Z = 3x+4y
O	0	0	ZO = – 3(0)+4(0) = 0
A	4	0	ZA = 3(4)+4(0) = 12
B	0	4	ZB = 3(0)+4(4) = 16

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु (0, 4) पर
फलन का मान अधिकतम है। अतः x = 0, y = 4 पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथा अधिकतम मान Z = 16 है।

प्रश्न 3.
निम्नतम Z = – 50x + 20y
व्यवरोध 2x – y ≥ – 5
3x + y ≥ 12
2x – 3y ≤ 12
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण के रूप में लिखने पर।
2x – y = – 5 …(1)
3x + y = 12 ….(2)
2x – 3y = 12
असमिका 2x – y = – 5 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेख 2x – y = – 5 निर्देशी अक्षों को क्रमश: A(\(\frac { -5 }{ 2 }\),0) तथा B(0, 5) बिंदुओं पर मिलती है।
x – y = – 5 के मानों के लिए सारणी

x	-5/2	0
y	0	5

A(-5/2, 0); B(0, 5)
बिंदुओं A तथा B को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते है। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर
2(0) – (0) = 0 ≥ = – 5
असमिका को सन्तुष्ट करते है अतः समस्या का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
3x + y ≥ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + y = 12 निर्देशी अक्षों को क्रमशःA(4,0) तथा B(0, 12) बिंदुओं पर मिलती है।
3x + y =12 के मानों के लिए सारणी

x	4	0
y	0	12

C(4, 0); D(0, 12)
बिंदुओं C तथा D को अंकित कर रेखा का आलेख खचते है। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर
3(0) + 0 = 0 ≥ 12
अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
2x – 3y ≤ 12 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x – 3y = 12 निर्देशी अक्षों को क्रमशः A(6,0) तथा B(0, -4) बिंदुओं पर मिलती है।
2x – 3y = 12 के मानों के लिए सारणी

x	6	0
y	0	– 4

E(6, 0); F(0, – 4)
बिंदुओं E तथा F को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर ।
2(0) – 3(0) = 0 ≤ 12
असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बंदु की ओर ही होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूंकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है अतः सुसंगत हुल क्षेत्र प्रथम पाद होगा।
2x – y = – 5 तथा
3x + y = 12 का प्रतिच्छेद बिंदु

आलेख में छांयाकित क्षेत्र एक अपरिबद्ध क्षेत्र है जो दिये गये सभी व्यवरोधों को सन्तुष्ट नहीं करता।
अतः दिये गये अवरोधों के लिये उद्देश्य फलन का कोई निम्नतम मान विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 4.
निम्नतम Z = 3x + 5y
व्यवरोध x + 3y ≥ 3
x + y ≥ 2
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में परिवर्तित करने पर
x + 3y = 3 ….(1)
x + y = 2 …(2)
असमिका x + 3y ≥ 3 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 3y = 3 निर्देशी अक्षों को क्रमशः A(3, 0) तथा B(0, 1) बिंदुओं पर मिलती है।
x + 3y = 3 के गानों के लिए सारणी

x	3	0
y	0	1

A(3, 0), B(0, 1)
बिंदुओं A(3, 0) तथा B(0, 1) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते हैं। असमिका में मूलबिंदु प्रतिस्थापित करने पर
0 + 3(0) = 0 ≥ 3
अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है, इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x + y ≥ 2 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 2 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(2, 0) तथा D(0, 2) बिंदुओं पर मिलती है।
x + y = 2 के मानों के लिए सारणी

x	2	0
y	0	2

C(2, 0); D(0, 2)
बिंदुओं C(2, 0) तथा D(0, 2) को अंकित करके रेखा का आलेख खींचते है। असमिका में मूल बिंदु प्रतिस्थापित करने पर,
0 + 0 = 0 ≥ 2
अत: असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है इसलिये असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा।

x + 3y = 3 तथा x + y = 2 के प्रतिच्छेद बिंदु E के निर्देशांक होंगे।
छायांकित क्षेत्र AED सुसंगत अपरिबद्ध है। उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक A(3, 0), E(\(\frac { 3 }{ 2 }\), \(\frac { 1 }{ 2 }\)) D(0, 2) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान निम्न तालिका में दिये गये हैं।

बिन्द,	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन Z = 3x+4y
O	3	0	ZO = 3×3+5(0) = 0
E	\(\frac { 3 }{ 2 }\)	\(\frac { 1 }{ 2 }\)	ZE = \(3\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) +5\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = 7
D	0	2	ZD = 3(0)+5(2) = 10

सारणी से स्पष्ट है कि बिंदु E(\(\frac { 3 }{ 2 }\), \(\frac { 1 }{ 2 }\)) पर फलन का मान निम्नतम है। अतः x = \(\frac { 3 }{ 2 }\), y = \(\frac { 1 }{ 2 }\) पर दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल है तथ निम्नतम मान Z = 7 है।

प्रश्न 5.
निम्नतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए
जहाँ Z = 3x + 9y
व्यवरोध x + 3y ≤ 60
x + y ≥ 10
तथा x ≥ 0,y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में बदलने पर,
x + 3y = 60 …(1)
x + y = 10 …(2)
x = y …(3)
सबसे पहले हम (1) से (3) तक ही रैखिक समीकरणों के निकाय के सुसंगत क्षेत्र का आलेख खींचते हैं। सुसंगत क्षेत्र ABCD को चित्र में दिखाया गया है। क्षेत्र परिबद्ध है। कोनीय बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमश: (0, 10), (5, 5), (15, 15) और (0, 20) है। अब हम Z के न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए कोनीय बिंदु विधिा का उपयोग करते हैं।

अत: Z का न्यूनतम मान 60 है जो कोनीय बिन्दु B(5, 5) पर है। Z का अधिकतमान मान सुसंगत क्षेत्र के दो कोनीय बिंदुओं प्रत्येक C(15, 15) और D(0, 20) पर 180 प्राप्त होता है।

प्रश्न 6.
निम्नतम Z = x + 2y
व्यवरोध 2x + y ≥ 3
x + 2y ≥ 6
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यक्त करने पर,
2x + y = 3 …(1)
x + 2y = 6 …(2)
असमिका 2x + y ≥ 3 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 2x + y = 3 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(3/2, 0) तथा B(0, 3) पर मिलती है।
2x + y = 3 के मानों के लिए सारणी

x	3/2	0
y	0	3

A(3/2, 0), B(0, 3)
बिंदुओं (3/2, 0) तथा B(0, 3) को अंकित करते हुये रेख का समीकरण खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
2(0) + (0) = 0 ≥ 3
अतः असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है, इसलिये असमिका का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x + 2y ≥ 6 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x + 2y = 6 निर्देशी अक्षों को क्रमशः बिंदु C(6, 0) तथा B(0, 3) पर मिलती है।
x + 2y = 6 के मानों के लिए सारणी

x	6	0
y	0	3

C(6, 0), B(0, 3)
बिंदुओं C(6, 0) तथा B(0, 3) को अंकित करते हुए रेखा का आलेख खचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
0 + 2(0) ≥ 6
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत और होगा।
असमिका r ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम पाट में होगा।
रेखाओं 2x + y = 3 और x + 2y = 6 के प्रतिच्छेद बिंदु B के निर्देशांक x = 0 तथा y = 3 हैं।

छायांकित क्षेत्र OCB में रेखा CB पर स्थित प्रत्येक बिंदु दी हुई। असमिकाओं को सन्तुष्ट कर रहा है। अतः इन बिंदुओं पर फलन के निम्नतम मान निम्न सारणी में दिये गये हैं।

बिन्द,	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन Z = x+2y
O	0	0	ZO = 0+2(0) = 0
B	0	3	ZB = 0+2(3) = 6
C	6	0	ZC = 6+2(0) = 6

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्ट्तम हल रेखा BC पर स्थित प्रत्येक बिंदु है तथा इन बिंदुओं पर निम्नतम मान Z = 6 है।

प्रश्न 7.
निम्नतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए-
जहाँ Z = 5x + 10y
व्यवरोध x + 2y ≤ 120
x + y ≥ 60
x – 2y ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यक्त करने पर
x + 2y = 120 …..(1)
x + y = 60 …(2)
x – 2y = 0 …(3)
असमिका x + 2y ≤ 120 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + 2y = 120 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(120, 0) तथा B(0, 60) पर मिलती है अतः
x + 2y = 120 के मानों के लिए सारणी

x	120	0
y	0	60

A(120, 0); B(0, 60)
बिंदुओं A(120, 0) तथा B(0, 60) को अंकित करते हुये आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,
0 + 2(0) = 0 ≤ 120
दी हुई असमिका को सन्तुष्ट करते है। अतः असमिको का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
असमिका x + y ≥ 60 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 60 निर्देशी अक्षों के बिंदु C(60, 0) तथा (0, 60) पर मिलती है।
x + y = 60 के मानों के लिए सारणी

x	60	0
y	0	60

C(60, 0); D(0, 60)
बिंदुओं C(60, 0) और D(0, 60) को अंकित करते हुये रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
0 + 0 ≥ 60
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करते है। अतः असमिका का सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होता है।
असमिका x – 2y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x – 2y = 0 निर्देशी अक्षों के बिंदु E(0, 0) तथा F(60, 30) पर मिलती है।
x – 2y = 0 के मानों के लिए सारणी

x	0	60
y	0	30

E(0, 0); F(60, 30)
बिंदुओं E(0, 0) तथा F(60, 30) को अंकित करते हुये रेखा को आलेख खींचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,
0 – 2(0) = 0
असमिका को सन्तुष्ट करते हैं। अतः असमिका का सुसंगत हल मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0,y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद में होगा।
रेखा x + 2y = 120 तथा x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक (0, 60) होंगे।
रेखा x + 2y = 120 तथा x – 2y = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक (60, 30) होंगे।
रेखा x + y = 60 तथा x – 2y = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक (20, 40) हैं।

छायांकित क्षेत्र ACEF उपरोक्त असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र प्रदर्शित करता है। यह क्षेत्र दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत हल क्षेत्र है। इस क्षेत्र के कोनीय बिन्दुओं के निर्देशांक A(120, 0), C(60, 0), E(40, 20) तथा F(60, 30) हैं।
इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन कै मान निम्नलिखित सारणी में दिये गये है।

बिन्द,	x निर्देशांक	y निर्देशांक	उद्देश्य फलन Z=5x+10y
A	120	0	ZA=5(120)+10(0)=600
C	60	0	ZC=5(60)+10(0)=300
E	40	20	ZE=5(40)+10(20)=400
F	60	30	ZF=5(60)+10(30)=600

उपरोक्त सारणी से स्पष्ट है कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल बिंदु (60, 0) पर निम्नतम मान 300 तथा बिंदु A(120, 0) तथा F(60, 30) को मिलाने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर अधिकतम मान 600 है।
अत: बिंदु (60, 0) पर निम्नतम मान Z = 300
बिंदु (120, 0) तथा बिंदु (60, 30) वाली रेखा पर अधिकतम मान Z = 600.

प्रश्न 8.
अधिकतम Z = x + y
व्यवरोध x – y ≤ – 1
– x + y ≤ 0
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोध के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण में व्यक्त करने पर,
x – y = – 1 …(1)
– x + y = 0 …(2)
असमिका x – y ≤ – 1 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र
रेखा x – y = – 1 निर्देशी अक्षों के बिंदु A(-1, 0) तथा B(0, 1) पर मिलती है।
x – y = – 1 के मानों के लिए सारणी

x	-1	0
y	0	1

A(-1, 0); B(0, 1)
बिंदुओं A(-1, 0) तथा B(0, 1) को अंकित करते हुये रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर
0 – 0 ≤ – 1
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका – x + y ≤ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा – x + y = 0 निर्देशी अक्षों को बिंदु C(0, 0) तथा D(1, 1) पर मिलती है।
– x + y = 0 के मानों के लिए सारणी

x	1	2
y	1	2

C(1, 1); D(2, 2)
बिंदुओं C(0, 0) तथा D1, 1) को अंकित करते हुये रेखा का आलेख खचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,
– (0) + 0 = 0 ≤ 0
असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका का हल क्षेत्र मूल बिंदु की ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूँकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिंदु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद ही होगा।

आलेख से स्पष्ट है कि बिंदुओं A(-1, 0) तथा B(0, 1) को मिलाने वाली रेखा, बिंदु C(1, 1) तथा D(2, 2) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
अतः असमिकाओं का उभयनिष्ठ सुसंगत हल सम्भव नहीं है।
अतः दिये गये अवरोधों के लिये उद्देश्य फलन का कोई अधिकतम मान विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 9.
निम्नतम Z = 3x + 2y
व्यवरोध x + y ≥ 8
3x + 5y ≤ 15
तथा x ≥ 0, y ≥ 0
हल :
व्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण के रूप में व्यक्त करने पर
x + y = 8 …(1)
3x + 5y = 15 …(2)
असमिका x + y ≥ 8 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 8 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(8, 0) तथा B(0, 8) पर मिलती है।
x + y = 8 के मानों के लिए सारणी

x	8	0
y	0	8

A(8, 0); B(0, 8)
बिंदुओं A(8, 0) तथा B(0, 8) को अंकित करते हुये रेखा को आलेख खींचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,
0 + 0 = 0 \(\ngeq \) 8
असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः असमिका को हल क्षेत्र । मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका 3x + 5y ≤ 15 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा 3x + 5y = 15 निर्देशी अक्षों को बिंदु C(5,0) तथा D(0, 3) पर मिलती है।
3x + 5y = 15 के मानों के लिए सारणी

x	5	0
y	0	3

C(5, 0); D(0, 3)
बिंदुओं C(5, 0) तथा D(0, 3) को अंकित कर आलेख खचते हैं।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 3(0) + 5(0) = 0 ≤ 15 असमिका को सन्तुष्ट करता है। अतः असमिका हल क्षेत्र मूल बिंदु का ओर होगा।
x ≥ 0 तथा y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
चूंकि प्रथम पाद में प्रत्येक बिन्दु इन दोनों असमिकाओं को सन्तुष्ट करती है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र प्रथम पाद ही होगा।

आलेख से स्पष्ट है कि दी गई असमिकाओं का कोई उभयनिष्ठ हल क्षेत्र नहीं है। अतः दिये गये अवरोधों के लिये उद्देश्य फलने का कोई निम्नतम मान विद्यमान नहीं है।

प्रश्न 10.
अधिकतम
Z = – x + 2y
व्यवरोध x ≥ 3
x + y ≥ 5
x + 2y ≤ 6
तथा y ≥ 0
हल :
व्यवरोधों के रूप में दी गई असमिकाओं को समीकरण रूप में व्यक्त करने पर,
x = 3 ….(1)
x + y = 5 …(2)
x + 2y = 6 …(3)
y = 0
असमिका x + y ≥ 5 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र –
रेखा x + y = 5 निर्देशी अक्षों को बिंदु A(5, 0) तथा B(0, 5) पर मिलती है।
x + y = 5 के मानों के लिए सारणी

x	5	0
y	0	5

A(5, 0); B(0, 5)
बिंदु A(5, 0) तथा B(0, 5) को अंकित कर रेखा का आलेख खींचते है।
असमिका में मूल बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 0 = 0 ≥ 5 असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।
असमिका x + 2y ≥ 6 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र–रेखा x + 2y = 6 निर्देशी अक्षों को बिंदु C(6, 0) तथा D(0, 3) पर मिलती है।
x + 2y = 6 के मानों के लिए सारणी

x	6	0
y	0	3

C(6, 0); D(0, 3)
बिंदु C(6, 0) तथा D(0, 3) को अंकित करते हुये रेखा का आलेख खींचते हैं।
असमिका में मूलबिंदु को प्रतिस्थापित करने पर 0 + 2(0) = 0 ≥ 6 असमिका को सन्तुष्ट नहीं करती है। अत: सुसंगत हल क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत ओर होगा।

असमिका x ≥ 3, y ≥ 0 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र रेखा x = 3 का आलेख y के प्रत्येक मान के लिये प्रथम पाद में होगा तथा y = 0 का क्षेत्र भी प्रथम पाद,में ही होगा ।
आलेख से स्पष्ट है कि दी गई असमिकाओं का कोई उभयनिष्ठ हल क्षेत्र नहीं है। अत: दिये गये व्यवरोधों के लिये उद्देश्य फलन का कोई अधिकतम मान विद्यमान नहीं है।

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